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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
丰台区 2024 年九年级学业水平考试综合练习（二）数学试卷
考生须知
1. 本练习卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2. 在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号．
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4. 选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5. 练习结束，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 榫卯 是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出
部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，
进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为：
故选：D．
2. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．
目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】科学计数法的记数形式为： ，其中 ，当数值绝对值大于1时， 是小数点向右
移动的位数；当数值绝对值小于1时， 是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解： ，
故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
3. 如图， ，点O在直线 上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与 交于A，
B两点，若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，求出 是解题关键．先求出 ，然后根据对
顶角相等即可得出 ．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
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1 1
A. B. C. > D.
a b
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的了有理数与数轴，有理数的运算，解题的关键是会利用数轴进行判断．利用数轴上数
的位置判断大小，然后分别进行判断即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴选项A正确，选项B、C、D错误．
故选：A．
5. 如图， 内接于 ， ， ，则劣弧BC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所
对的圆心角度数．连接 ， ，根据圆周角定理求出圆心角 ，求出 ，根据弧长公式求解即
可．
【详解】解：连接 ， ，
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，
，
，
，
劣弧BC的长为 ，
故选：A．
6. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据反比例函数 判断此函数图象所在的象限，再根据 判断出 ，
所在的象限即可得到答案．
【详解】∵反比例函数 的图象在一、三象限，而 ，
∴点 在第三象限反比例函数 的图象上， 在第一象限反比例函数 的图象上，
∴ ，
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∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，
则最符合这一结果的试验是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D. 不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了事件的概率和频数图，根据信息进行对比是解题的关键．
求出各选项的概率后跟频率进行对比即可．
【详解】解：∵A的概率为 ，B的概率为 ，C的概率为 ，D的概率为 ，且图象的频率在 左右，
∴A最接近，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系 中 ，已知 关于 的函数图象与 轴有且只有三个公共点，坐标分别为
， ， ．关于该函数的四个结论如下：①当 时， ；②当 时，
有最小值；③将该函数图象向右平移 个或 个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点
是该函数图象上一点，则符合要求的点 只有两个．其中正确的结论有（ ）
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键．
通过观察可判断①②③，通过 点得到 所在的直线表达式，作出图象后可判断 ．
【详解】解：①：当 时， 或 ，故①错误；
②：由图象可知，当 时， 有最小值，故②正确；
③：将该函数图象向右平移 个单位后，原图象上坐标为 的点会过原点，将该函数图象向右平移
个单位后，原图象上坐标为 的点会过原点，故③正确；
④：令 ， ，
∴ ，
∴点 在直线 的函数图象上，如图所示：
由图象可得，它们有三个交点，故④错误；
∴正确的有②③，
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故选：B．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是_________.
【答案】x≥4
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】由题意得x-4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
【答案】a（b﹣2）2
【解析】
【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）
=a（b﹣2）2
故答案为a（b﹣2）2．
11. 方程 的解是____．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
把方程化为 ，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
，
，
或 ，
解得： ．
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故答案为： ， ．
12. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______．
【答案】 ##1260度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟悉掌握内角和公式是解题的关键．
根据多边形内角和公式运算即可．
【详解】解：正九边形内角和 ，
故答案为： ．
13. 在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=_______．
【答案】3：5
【解析】
【分析】试题分析：∵ANCD 为平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD ∴ ∵EDCE::AECB==1E:C2 ：∴
CD=2:3 ,∵△ABF∽△CEF
∴BF:EF=AB:EC=3:2 ∴BF:BE=3:5
考点：三角形相似的应用
【详解】请在此输入详解！
14. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情
况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不
太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．若该校共有
名学生，结合图中的信息，估计全校“非常了解”交通法规的有_____人．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的结合、样本估计总体，正确从统计图获取信息是解题的关
键．先利用 种的人数和占调查总人数百分比求得调查总人数，再利用样本估计总体求解．
【详解】解：∵ 种调查人数为 ，占调查总人数百分比为 ，
∴调查总人数为 （人），
∵ 种调查人数为 ，该校共有 名学生，
∴估计全校“非常了解”交通法规的有 （人），
故答案为： ．
15. 如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，分别以点 和点 为
圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长
为______．
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【答案】
【解析】
【分析】先由等腰三角形性质求出CD以及 ，再利用作图方式确定MN垂直平分AC，得到
CE=AE，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解:∵ 中， ， ， 平分
∴ ，且 ，（等腰三角形“三线合一”）
∴ ，
由分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，可知，
MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 的长为 ；
故答案为： ．
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【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、勾
股定理等内容，要求学生理解并掌握相关概念，能熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段
之间的关系等．
16. 在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为 ，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距
的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换．
（1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为______（填
“B” “C”或“D”）；
（2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M经过三次“跳马变换到达格点N，则共
有_____中不同的跳法．
【答案】 ①. C ②. 12
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，圆的概念等知识，根据网格的特征和勾股定理可求出 ， ，
，然后根据新定义判断即可；以M为圆心， 为半径作 ，该圆经过6个格点，然后再以每一个
格点为圆心， 为半径作圆，判断此圆经过的各点到N的距离是否等于 即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
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∴从格点A经过一次“跳马”变换可以到达的格点为C；
以M为圆心， 为半径作 ，则 经过格点A、B、C、D、E、F、G、H，
以A为圆心， 为半径作 ，则 经过6个格点，其中 ， ，
∴ 或 两种跳法符合“跳马变换；
以H为圆心， 为半径作 ，则 经过6个格点，每个格点到N的距离都不等于 ，
故此种情况不存在；
以G为圆心， 为半径作 ，则 经过6个格点，其中 ， ，
∴ 或 两种跳法符合“跳马变换；
以F为圆心， 为半径作 ，则 经过6个格点，其中 ， ，
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∴ 或 两种跳法符合“跳马变换；
∴在 左侧的格点中有 种，
同理在 右侧格点中有6种，
∴一共有 种，
故答案为：C，12．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23 -26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式，绝对值，负指数幂，特殊的锐角三角函数值逐一进行化简运算即可．
【详解】
解：原式 ，
，
．
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18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，
再取公共部分即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值，掌握乘法公式和单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，最后用整体代入法求值．
【详解】
，
．
∵ ，
∴ ．
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∴原式 ．
20. 在 中， ， 是 的中点，过点 作 ，且 ， 连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形 的性质，菱形的性质及判定，等边三角形的判定及性质，合理作出辅助线
是解题的关键．
（1）由 ，且 可证出四边形 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线
是斜边的一半得到 ，即可判断四边形 是菱形；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，利用菱形的性质判定出 为等边三角形，再利用等
边三角形的性质分别求出 和 的长，再结合勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵ 且 ，
∴四边形 是平行四边形．
∵在 中， ，
是 的中点，
∴ ．
∴四边形 是菱形．
【小问2详解】
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过点 作 交 的延长线于点
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ．
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B
型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.求A，B
两种型号充电桩的单价各是多少万元?
【答案】A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价 万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万
元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可
得出A型充电桩的单价，再将其代入 中，即可求出B型充电桩的单价．
【详解】解：设B型充电桩的单价为 万元，
则A型充电桩的单价为 万元.
由由题意得：
解得
经检验： 是原分式方程的解， .
答：则A型充电桩的单价为0.9万元，
的
则B型充电桩 单价为1.2万元；
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 ．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关
键．
（1）根据平移 相同，得到 的值后，代入点 求解即可；
（2）把 代入 求出相交时的交点坐标后，代入 得到 的最大值，结合 的性
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质即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象 由函数 的图象平移得到，
∴ ，则 ，
∵一次函数过点 ，
∴把 ， 代入 可得： ，
解得： ，
∴一次函数解析式为： ；
【小问2详解】
解：把 代入 ，得： ，
把 ， 代入 可得： ，
解得： ，
∵当 时，函数 的值大于一次函数 的值，
∴ ．
23. 某校甲、乙两个班级各有 名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练
的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位： ），数据整理如下：
.甲班 名学生的身高：
， ，1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
班 平均 中位
众数
级 数 数
甲
乙
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.两班学生身高的平均数、中位数、众数如下表所示：
（1）写出表中 ， 的值；
（2）在甲班的 名学生中，高于平均身高的学生人数为 ，在乙班的 名学生中，高于平均身高的学
生人数为 ，则 （填“ ” “ ”或“ ”）；
（3）若每班只能有 人参加入场式队列表演，首先要求这 人与原来 人的身高平均数相同，其次要
求这 人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的 名学生的身高分别为_____ ．
【答案】（1） ，
（2）
（3） ， ，
【解析】
【分析】（ ）根据中位数、众数的定义将甲班的身高排序找出最中间的数据，出现次数最多的即可解答；
（ ）根据甲班和乙班平均数、中位数、众数得到 ， 即可解答；
（ ）根据参与入场表演身高要求是与原来 人的身高平均数相同，其次要求这 人身高的方差尽可能
小，从而找出甲班身高与平均身高的差最大的 个身高即可．
【小问1详解】
解：∵甲班 名学生的身高：
， ，1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴甲班的最中间的数为 ，出现次数最多的为 ，
∴甲班的中位数为 ，众数为 ，
∴ ， ，
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∴表格中 的值为 ， 的值为 ；
【小问2详解】
解：∵甲班的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，
∴甲班的第 个数为 ，
∴甲班的 名学生中，高于平均身高的学生人数为 ，
∵乙班的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，
∴乙班的第 个数为 ，
∴乙班的 名学生中，高于平均身高的学生人数为 ，
∴ ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：∵参与入场表演身高要求是与原来 人的身高平均数相同，其次要求这 人身高的方差尽可能小，
∴甲班平均数为 ，甲班 人中与平均数差最大的三个身高是 ，
∴甲班未入选的 名学生的身高分别为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数等相关知识点，掌握统计调查的相关知识点是解题的关键。
24. 如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且
．
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（1）求证：EF与 相切；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证明
，推出 ，即可证明结论成立；
（2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在 中，
解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 半径，
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∴EF与 相切；
【小问2详解】
解：设 半径为x，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
∴ 半径为4，则 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25. 某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提
高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速
度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑
制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．
经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示：
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.
x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 10
.
y 100 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31
1
y 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23
2
设营养素用量为x毫克（ ），10℃温度下幼苗生长速度为 毫米/天，12℃温度下幼苗生长速
度为 毫米/天．
（1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天；
（2）根据表中数据，发现 ， 都可近似看作 的函数．在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值
所对应的点（ ， ），并用平滑曲线连接这些点；
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）；
②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______
（结果保留小数点后两位）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键．
（1）根据表格信息解答即可；
（2）根据表格信息描点作图即可；
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（3）根据图象信息解答即可．
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为 毫米/天；
【小问2详解】
解：如图所示：
【小问3详解】
解：由图象可得：在12℃温度下，使用约 毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；
由图象可得：当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范
围为 ；
26. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是抛物线
上的三个点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若对于 ， ，都有 ，求证： ；
（3）若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴
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（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据对称轴 运算求解即可；
（2）设点 关于对称轴的对称点为 ，利用对称性得到 的取值范围，利用二次函数的
图象性质求解即可；
（3）分类讨论 点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线的对称轴 ．
【小问2详解】
证明：设点 关于对称轴的对称点为 ，
∵抛物线的对称轴 ， ，
∴ ，
∵点 ， 在对称轴左侧， ，且 ，
根据二次函数性质， 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴当 时， ，
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把 代入函数解析式得 ．
【小问3详解】
∵抛物线的对称轴 ， ，
∴点 在对称轴右侧，
在
①当点 对称轴右侧时，
∵ 时， ，
根据二次函数性质， 时， 随 的增大而增大，
∴ ，
②当点 在对称轴左侧时，
设点 关于对称轴的对称点为 ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
根据二次函数性质， 时， 随 的增大而增大，
∴ ，则 ，
综上可知， 或 ．
27. 如图，等边 中，过点 在 的右侧作射线 ，设 ．点 与点
关于直线 对称，连接 ，且 分别交射线 于点 ．
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（1）依题意补全图形；
（2）求 的大小；
（3）用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见详解
（2）
（3） ．证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形；
（2）利用对称求解；
（3）连接 ，在 上截取 ，连接 ，证明 ，推出 ，再证明
，可得结论．
【小问1详解】
依题意补全图形．
【小问2详解】
解： 点 与点 关于直线 对称，
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．
，
，
．
．
．
【小问3详解】
猜想： ．
证明：连接 ，在 上截取 ，连接 ．
由（2）可知 ．
，
是等边三角形．
．
是等边三角形，
．
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．
．
．
点 与点 关于直线 对称，
．
，
．
．
，
．
【点睛】本题考查作图、轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 2，对于点 和 的弦 ，给出如下定义：若
，则称弦 是点 的“关联弦”．
（1）如图1，已知点 ，点 ， ， ， ， ，
，在弦 ， ， 中，点 的“关联弦”是 ；
（2）如图2，已知点 ， 在 上，弦 是点 的“关联弦”，直接写出 长
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度的最大值；
（3）如图3，已知点 ， ，对于线段 上一点 ，存在 的弦 ，使得弦
是点 的“关联弦”，若对于每一个点 ，将其对应的“关联弦” 长度的最大值记为 ，则当点 在
线段 上运动时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 长度的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意判断角是否为 即可；
（2）根据直径所对的圆周角为 ，找出 的运动轨迹后求解即可；
（3）分类讨论 的长度，求出关联弦 的取值范围，再根据 的取值范围求解即可．
【小问1详解】
连接 ， ， ， ， ， ， 如图所示：
解：∵点 ，点 ， ， ， ，
∴ ， ， 和 是点 的关联点；
∵ ， ，
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∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
综上点 的“关联弦”是 和 ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
设 的中点为 ，则 ，
∵ ， 的长为定值，
∴点 的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆上，如图所示：
∴当 在 轴上时 最大，此时 ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设 是点 的关联弦， ，
当点 在圆心上时，即 ，如图所示：
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此时 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
当点 在圆上时，即 时，如图所示：
此时 为等腰直角三角形， ，
∴当 时，设 的中点为 连接 ， ， 如图所示：
∴ ，
∴当 越大， 越小时 越大，即 ，
∴ 此时 得到最大值，如图：
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∴ ，
∵当点 在圆外且 与 相切时， 如图所示：
此时四边形 为正方形，此时 ，
∴当 时，设 的中点为 连接 ， ， 如图所示：
∴ ，
∴当 越大， 越小时 越大，即 ，
所以 此时 得到最大值，如图：
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∴ ，
综上所述 ；
又∵连接 ， ，当 时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 时关联弦的取值为： ，
∴ ．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根
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据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键．
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