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2021－2022 学年北京市丰台区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
的
2. 经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年 重要时刻，我国脱贫攻坚战取
得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，将9899用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：9899=9.899×103．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答.
【详解】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
4. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. |﹣4| B. ﹣（﹣4） C. （﹣4）2 D. ﹣42
【答案】D
【解析】
【分析】化简各数，再判断即可．
【详解】解：∵|﹣4|=4；﹣（﹣4）=4；（﹣4）2=16；﹣42=-16，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的运算与化简，解题关键是熟练化简各数，准确进行判断．
5. 如图，O是直线AB上一点，则图中互为补角的角共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】B
【解析】
【分析】根据补角定义解答．
【详解】解：互为补角的角有：∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共2对，
故选：B．
【点睛】此题考查了补角的定义：和为180度的两个角互为补角，熟记定义是解题的关键．
6. 如图是我国某市12月份连续4天的天气预报数据，其中日温差最大的一天是（ ）A. 12月13日 B. 12月14日 C. 12月15日 D. 12月16日
【答案】A
【解析】
【分析】根据“日温差=当日的最高气温 当日的最低气温”求出这4天的日温差，由此即可得．
【详解】解：12月13日的日温差为 ，
12月14日的日温差为 ，
12月15日的日温差为 ，
12月16日的日温差为 ，
则日温差最大的一天是12月13日，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数减法的应用，掌握日温差的计算方法是解题关键．
7. 下面计算正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减：合并同类项逐项判断即可．
【详解】A、 ，此项错误
B、 与 不是同类项，不可合并，此项错误
C、 ，此项错误
D、 ，此项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减：合并同类项，熟记运算法则是解题关键．
8. 只借助一副三角尺拼摆，不能画出下列哪个度数的角（ ）
A. 15° B. 65° C. 75° D. 135°
【答案】B
【解析】【分析】利用三角板的各个角30°，45°，60°，90°进行拼摆即可．
【详解】解：30°与45°角拼摆可得75°或15 ，45°与90°角可拼摆出135°角．
故选：B． °
【点睛】本题考查角的拼摆，要对三角板的各个角的度数了解，属于基础题．
9. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a、b的位置判断a、b的大小和符号，然后对各结论逐一进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得， ， ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
，选项B错误，不符合题意；
，选项C错误，不符合题意；
，选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，以及根据点在数轴的位置判断式子的正负，熟练掌握数
轴有关的基本知识是解题的关键．
10. 如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第9个图案需要的棋子个数为（ ）
A. 81 B. 91 C. 109 D. 111
【答案】B
【解析】【分析】根据题意得：第1个图案的棋子个数为 ；第2个图案的棋子个数为 ；第3
个图案的棋子个数为 ；第4个图案的棋子个数为 ；……由此发现，第 个图
案的棋子个数为 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1个图案的棋子个数为 ；
第2个图案的棋子个数为 ；
第3个图案的棋子个数为 ；
第4个图案的棋子个数为 ；
……
由此发现，第 个图案的棋子个数为 ，
∴第9个图案需要的棋子个数为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形累的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 单项式5x2y的系数是______，次数是______．
【答案】 ①. 5 ②. 3
【解析】
【分析】直接根据单项式的系数和次数的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：单项式5x2y的系数是：5，次数是：2+1=3．
故答案为：5，3．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握相关定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项
式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，是解题关键．
12. 任意写出一个绝对值大于1的负有理数________________.
【答案】-3答案不唯一
【解析】
【分析】利用绝对值的运算法则、有理数的大小比较即可.【详解】因
则负有理数 的绝对值大于1
为
故答案 ： .（注：答案不唯一）
【点睛】本题考查了绝对值的运算法则：负数的绝对值等于它的相反数，以及有理数的大小比较，掌握绝
对值的运算法则是解题关键.
13. 在日常生活和生产中有很多现象可以用数学知识进行解释．如图，要把一根挂衣帽的挂钩架水平固定
在墙上，至少需要钉______个钉子．用你所学数学知识说明其中的道理______．
【答案】 ①. 2 ②. 两点确定一条直线
【解析】
【分析】根据两点确定一条直线解答．
的
【详解】解：至少需要钉2个钉子，所学 数学知识为：两点确定一条直线，
故答案为：2，两点确定一条直线．
【点睛】此题考查了线段的性质：两点确定一条直线，熟记性质是解题的关键．
14. 关于x的一元一次方程2x＋m＝6的解为x＝2，则m的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将 代入方程可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将 代入方程 得： ，
解得 ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解方程的解的概念（使方程中等号左右
两边相等的未知数的值叫做方程的解）是解题关键．
15. 如图，阴影部分的面积是______．【答案】
【解析】
【分析】阴影部分是由一个正方形和两个长方形组成，利用正方形和长方形的面积公式即可得．
【详解】解：阴影部分的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列代数式，正确找出阴影部分的构成是解题关键．
16. 《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足
术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：
有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？
物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题设共有x人，依题意，可列方程为______．
【答案】8x-3=7x+4
【解析】
【分析】根据物品的价格相等列方程．
【详解】解：设共有x人，依题意，可列方程为8x-3=7x+4，
故答案为：8x-3=7x+4．
【点睛】此题考查了古代问题的一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
17. 如图，延长线段AB到C，使BC＝ AB，D为线段AC的中点，若DC＝3，则AB＝______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据线段中点的性质，可得AC的长，再根据题目已知条件找到BC和AC之间的关系，用AC减去BC就得AB的长度
【详解】解：由D为AC的中点，得
AC=2DC
=2×3
=6
又∵BC= AB，AC=AB+BC．
∴ BC= AC
= ×6
=2
由线段的和差关系，得
AB=AC-BC
=6-2
=4
故答案为：4．
【点睛】本题先根据线段中点的定义求出有关线段的长，再根据线段之间倍数关系，列出求解所求线段的
式子即可．
18. 历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）
表示．例如多项式f（x）＝x2﹣x＋1，当x＝4时，多项式的值为f（4）＝42﹣4＋1＝13，已知多项式f
（x）＝mx3＋nx＋3，若f（1）＝12，则f（﹣1）的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】把x＝1代入多项式中，得出关于m、n的等式，再把x＝-1代入多项式，整体求值即可．
【详解】解：已知多项式f（x）＝mx3＋nx＋3，若f（1）＝12，把x＝1代入多项式中，
则 ，
变形得，
把x＝-1代入多项式得， ；
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题关键是熟练运用整体代入的方法求值．
三、解答题（本题共54分，第19－24题每小题5分，第25题6分，第26题5分，第27题6分，第28题7分）
19. 计算：（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）．
【答案】8
【解析】
【分析】先统一为加法，再计算即可．
【详解】解：（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）
=﹣12﹣5﹣14+39
=﹣31+39
=8．
【点睛】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是熟练运用有理数加减混合运算法则进行计算．
20. 计算：（﹣45）÷（﹣9）＋4×（﹣ ）
【答案】2
【解析】
【分析】先同时计算乘除法，再计算减法．
【详解】解：（﹣45）÷（﹣9）＋4×（﹣ ）
=5-3
=2．
【点睛】此题考查了有理数的四则混合运算，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
21. 计算：﹣24＋|6﹣10|﹣3×（﹣1）5
【答案】-9
【解析】
【详解】解：﹣24＋|6﹣10|﹣3×（﹣1）5
=-16+4-（-3）
=-12+3
=-9
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数混合运用法则和运算顺序，准确进行计算．
22. 解方程： ＝2 ．
【答案】x=-10
【解析】【分析】先去分母，再去括号、移项合并同类项，最后将系数化为1求解．
【详解】解： ＝2
去分母得2（x-1）=8+3x，
去括号得2x-2=8+3x，
移项合并同类项得-x=10，
系数化为1得x=-10．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程 的步骤及方法是解题的关键．
23. 如图，点A，B，C是同一平面内三个点，按要求画图，并回答问题．
（1）画直线AB；
（2）画射线AC，用圆规在线段AC的延长线上截取CD＝AC（保留作图痕迹）；
（3）连接BD，观察图形发现，AD＋BD＞AB，得出这个结论的依据是 ．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）两点之间线段最短．
【解析】
【分析】（1）根据直线的画法即可得；
（2）先画射线 ，再以点 为圆心、 长为半径画弧，交线段 的延长线于点 即可得；
（3）先连接 ，根据两点之间线段最短即可得．
【详解】解：（1）如图，直线 即为所求；
（2）如图，射线 和线段 即为所求；
（3）如图，连接 ，观察图形发现， ，得出这个结论的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了画直线与射线、作线段、两点之间线段最短，熟练掌握尺规作图和两点之间线段最短
是解题关键．
24. 先化简，再求值：b2﹣a2＋2（a2＋ab）﹣（a2＋b2），其中a＝ ，b＝ ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将 的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
将 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
.
25 补全解题过程．
已知：如图，∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，OD平分∠AOC．
求∠BOD的度数．
解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝ °．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠ （ ）（填写推理依据）．
∴∠AOD＝ °．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠ ．∴∠BOD＝ °．
【答案】110，AOC，角平分线的定义，55，AOB，15
【解析】
【分析】利用角的和差关系先求解 再利用角平分线的定义求解 最后利用
角的和差可得答案.
【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝110°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC（ 角平分线的定义）．
∴∠AOD＝55°．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB．
∴∠BOD＝15°．
故答案为：110，AOC，角平分线的定义，55，AOB，15
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，理解题中的逻辑关系，熟练的运用角平分线与角
的和差进行推理是解本题的关键.
26. 列方程解应用题：京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施．考虑到不同路段的特殊情况，
将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地
上区间两部分，地下清华园隧道运行速度为80千米/小时．地上区间运行速度为120千米/小时．按此运行
速度，地下清华园隧道运行时间比地上区间运行时间多2分钟，求地下清华园隧道全长为多少千米．
【答案】地下清华园隧道全长为6千米.
【解析】
【分析】设地下清华园隧道全长为x千米，根据“地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（ 小时）”列
出方程，再解方程即可．
【详解】解：设地下清华园隧道全长为x千米，则地上区间全长为（11-x）千米，依题意得： ，
整理得：
解得：
答：地下清华园隧道全长为6千米.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列方程．
27. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数
学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘
以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266
（1）如图2用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ ，y＝ ；
（2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝ ，n＝ ；
（3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝
【答案】（1）3，2 （2）1，2
（3）5
【解析】
【分析】（1）设方格右边的两位数的十位数字为m，利用“格子乘法”的计算方法，求出x，y的值即可；
（2）由题意得出 ，根据“格子乘法”的计算方法求解即可，也可
由积为2176，利用“格子乘法”的计算方法得出 求解；
（3）设方格右边的两位数的十位数字为e，由“格子乘法”列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设方格右边的两位数的十位数字为r，由“格子乘法”法则可知，，解得， ；
所以， ，解得， ；
，解得， ；
故答案为：3，2
【小问2详解】
由题意bd＝16． ， ， ，
∴ ，
画出“格子乘法”如图：
因为积为三位数，故左上角数字为0，阴影斜行和为2，当mn=1时，m=1， n=1三个三角形中只有中间
的数为mn，另两个为0，不符合题意；当mn=2时，三个三角形中只有中间的数为mn，另两个为0，其他
格子填数如图；
根据“格子乘法”法则得， ， ，
因为m、n为正整数，
∴m和n的值分别为1和2．
另解：根据乘积为2176可知表格如图：由“格子乘法”法则得， ，即 ，当 ， 时，符合题意；当 ，
时， ，因为 ，不符合题意，舍去；
故答案为：1，2
【小问3详解】
解：设方格右边的两位数的十位数字为e，由“格子乘法”法则可知，
则有 ，
因为k、e为正整数，
解得：k＝5，e＝1．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是准确理解题意，根据题意列出相应的方程．
28. 已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，
则称点P为点A和点B的“关联点”．
（1）已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P，P，P，
1 2 3
P，其中是点A和点B的“关联点”的是 ；
4
（2）已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值；
（3）已知点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B
的“关联点”时，直接写出PB﹣PA的值．
【答案】（1）P 或P
1 4（2）7或-7 （3）0或4
【解析】
【分析】（1）先求出点A、点B距原点的距离，再求出点P到原点的距离，确定点P表示的数即可；
（2）先求出点P到原点的距离，进而根据 “关联数”的定义确定到原点的距离，确定点P表示的数即可；
（3）由题意可知，点A点A表示a，点B表示a+4，然后根据 “关联数”的定义求出点P到原点的距离，
确定点P表示的数；然后再求出PB、PA，最后作差即可．
【小问1详解】
解：∵点A表示1，点B表示﹣3
∴点A、点B到原点距离的和为：1+3=4
∵点P为点A和点B的“关联点”
∴点P到原点的距离为2
∴点P表示的数为2或-2．
故答案是：P 或P．
1
【小问2详解】
解：∵点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，
∴点A、点B到原点距离的和为：5×2=10
∵点A表示3
∴点A到原点距离为3
∴点B到原点距离为10-3=7
∴点A表示7或-7
∴m的值为7或-7．
【小问3详解】
解：∵点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B
∴点B表示的数为a+4
∴点A、点B到原点距离的和为：a+a+4=2a+4
∵点P为点A和点B的“关联点”
∴点P到原点的距离为（2a+4）÷2=a+2
∴点B表示的数为a+2或-（a+2）
当P表示a+2时，PB= a+4-（a+2）=2，PA= a+2-a=2，
∴PB﹣PA=2-2=0
当P表示-（a+2）时，PB= a+4-[-（a+2）]=2a+6，PA= a-[-（a+2）]=2a+2，
∴PB﹣PA=2a+6-（2a+2）=4．
综上，PB﹣PA=0或4．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及“关联数”的定义，掌握数轴上两点间的距离的计算方法
是解答本题的关键．
