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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
门头沟区 2024 年初三年级综合练习（一）
数学
考生须知：
1．本试卷共10页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见简单几何体的三视图，结合俯视图是从上往下看到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
【详解】解： 该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，让游客充分感受地域文化，据统计，某市 2023年的游客接待量为
210000000人次，将210000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整数；当
原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
根据轴对称图形定义：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形”；及“将图形绕着某一点旋转 与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即
可．
【详解】解： A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 一个正n边形的每一个外角都是60°，则这个正n边形是（ ）
A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形
【答案】C
【解析】
【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解
【详解】解：∵一个正n边形的每一个外角都是60°，
∴n＝360°÷60°＝6．
这个多边形是正六边形，
故选C．
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【点睛】本题考查了多边形内角与外角，牢记多边形的外角和为360°是解题的关键．
5. 数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足 ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴a，b同号，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
6. 如图， ， 平分 交 于点 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等得出 的度数，再根据角平分线的定义即可求出 的度数．
【详解】解： ，
，
，
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，
平分 ，
，
故选：C．
7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格表示出所有可能出现的结果，再根据概
率公式计算即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
由表可得，共有 种等结果，其中朝上的一面点数之和为整数的平方的结果有 种，
∴朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为 ，
故选： ．
8. 如图，在等边三角形 中，有一点P，连接 、 、 ，将 绕点B逆时针旋转 得到
，连接 、 ，有如下结论：① ；② 是等边三角形；③如果
，那么 ．以上结论正确的是（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①根据等边三角形的性质得出 ， ，根据旋转的性质得出
，即可求证；②根据旋转的性质得出 ，即可证明
是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出 根据全等三角形的性质得出 ，则
，即可推出 ．
【详解】解：①∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵ 是等边三角形，
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∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题
的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判
定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可求出 的取值范围．
在
【详解】解：∵ 实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件．
10. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式后利用完全平方公式分解即可求得．
【详解】解：原式= ，
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，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用提公因式法及完全平方公式因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作
可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______．
【答案】 的圆周角所对的弦是直径
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，掌握“ 的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．
根据圆周角定理进行判断即可．
【详解】解：根据“ 的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，
故答案为： 的圆周角所对的弦是直径．
12. 在 中， ， ， ，点P在线段 上（不与B、C两点重合），如果
的长度是个无理数，则 的长度可以是______．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，无理数的定义，解题的关键是掌握垂线段最短，以及无理数的定义．
根据垂线段最短得出 ，则 ，即可解答．
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【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则
∴ ，
∴ 的长度可以是 ，
故答案为： （答案不唯一， ）
13. 已知一元二次方程 ，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件
的a、b的值_________．
【答案】 ， （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程 的两个根为 ， ，
则两根分别与方程系数之间有如下关系： ， ．
根据 得到 ，两根之和为正数，两根之积是负数可知 ， ，找出一组符合题意的数即可．
【详解】解： 一元二次方程 有两个根，
，
，
两根之和为正数，两根之积是负数，
∴ ， ，
，
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令 ， ．
故答案为： ， （答案不唯一）．
14. “洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由
四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为 米，则该门洞的通过面积为
_______平方米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图
是解题的关键．
【详解】解：该门洞的通过面积为 ，
故答案为： ．
15. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：
月用电量x（千瓦时/户/月）
户 数（户） 6 15 11 14 4
已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的
家庭有______户．
【答案】400
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体．先计算样本中月用电量第三档的百分比，由此可计算出总体中月用电
量第三档的数量．
【详解】解：样本中月用电量第三档的百分比为 ，
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∴由此估计全小区500户家庭中用电量在第三档的家庭有 （户）．
故答案为：400
16. 5月20日是中国学生营养日，青少年合理膳食是社会公共卫生关注的问题之一．某食堂为了均衡学生
的营养，特设置如下菜单，每种菜品所含的热量，脂肪和蛋白质如下：
编 类 热量/千 脂 蛋 白
菜名
号 别 焦 肪/g 质/g
荤
1 宫保鸡丁 1033 18 7
菜
荤
2 炸鸡排 1254 19 20
菜
荤
3 糖醋鱼块 2112 18 14
菜
土豆炖牛 荤
4 1095 23 16
肉 菜
素
5 香菇油菜 911 11 7
菜
素
6 家常豆腐 1020 16 13
菜
素
7 清炒冬瓜 564 7 1
菜
韭菜炒豆 素
8 49 12 3
芽 菜
主
9 米饭 360 1 8
食
紫菜鸡蛋
10 汤 100 5 8
汤
学校规定每份午餐由1份荤菜，2份素菜，1份汤和1碗米饭搭配．小明想要搭配一份营养午餐，那么他摄
入的脂肪最低量是____________g．（12岁 岁的青少年男生午餐营养标准：摄入热量为2450千焦，摄
入蛋白质为65g，蛋白质越接近标准越营养）
【答案】52
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，根据蛋白质越接近标准越营养，找出最接近标准的菜品，从而计算出脂
肪量即可解答．
【详解】解：根据蛋白质越接近标准 越营养，可选择编号2、5、6、9、10的菜品，
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∵2号菜品在荤菜中蛋白质含量最高，5、6号菜品在素菜中蛋白质含量最高，
且它们总的蛋白质含量为 ，
∴选择这个方案最符合营养标准，
∴输入脂肪量为 ．
故答案为：52
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，
第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可．
【详解】解：原式
．
18. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，掌握不等式组的解法成为解题的关键．
先分别求出各不等式的解集，然后确定解集的公共部分即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①可得： ，
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解不等式②可得： ，
所以该不等式组的解集为 ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代
入思想．
先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再合并同类项，求出 ，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
，
，
原式 ．
20. 如图所示，在长为11、宽为10的矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求
每个小矩形的面积．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，
列出方程组求解．
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设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可得一个长+两条宽=10，两条长+一条宽=11，列出方程租求解
即可．
【详解】解：设每个小矩形的长为x，宽为y，
根据题意可得： ，解得： ，
∴每个小矩形的面积 ．
21. 如图，在四边形 中， ， ， ，点E为 中点，射线 交 的
延长线于点F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是掌握
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）先证明 ，则 ，得出四边形 是平行四边形，结合 即
可求证四边形 是菱形；
（2）根据菱形的性质得出 ，进而得出 ，
最后根据勾股定理即可得出 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵点E为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由 的图象向上平移2个单位得到，
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反比例函数 的图象过点 ．
（1）求一次函数表达式及m的值；
（2）过点 平行于x轴的直线，分别与反比例函数 一次函数 的图象相交于点
M、N，当 时，画出示意图并直接写出n的值．
【答案】（1） ，
（2）4或 或2
【解析】
【分析】（1）根据平移的规律即可求得一次函数的解析式，利用待定系数法即可求得 的值；
（2）表示出点 、 的坐标，由 得出 ，整理得 ，解方程即可
求得 的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求反比例函数的
解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确表示点 、 的坐标是
解题的关键．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象由 的图象向上平移2个单位得到，
一次函数表达式为 ，
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反比例函数 的图象过点 ，
；
【小问2详解】
解：过点 平行于 轴的直线，分别与反比例函数 、一次函数 图象相交于点 、
，
则 ， ， ，
，
，整理得 ，解得 或 ，
令 代入 ，得 ，
∴直线与 y轴的交点为 ，
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当 时，此时点P与N重合，满足 ，
故 值的为4或 或2．
23. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均 之间的关系，收集了 年 个城市的
人均 数据（单位：万元）以及城市 排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．
．城市的人均 的频数分布直方图（数据分成 组： ， ， ，
， ）：
频数（城市个数）
．城市的人均 （万元）的数值在 这一组的是： ；
．以下是 个城市 年的人均 （万元）和城市 排名情况散点图：
根据以上信息，回答下列问题
（1）某城市的人均 为 万元，该城市 排名全国第_____；
（2）在 个城市 年的人均 和城市 排名情况散点图中，请用“ ”画出城市 排名的
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中位数所表示的点；
（3）观察散点图，请你写出一条正确的结论．
【答案】（1） ；
（2）画图见解析； （3）结论见解析．
【解析】
【分析】( )根据城市的人均 的频数分布直方图和城市的人均 (万元)的数值在 这一
组的数据即可求解；
( )根据收集了 年 个城市的人均 数据，可得城市 排名的中位数是第 个，即可解答；
( )答案不唯一，根据散点图写出一条正确的结论即可；
此题考查了频数分布直方图，中位数，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据城市的人均 的频数分布直方图得， 和 两组的城市共有 个，
由城市的人均 (万元)的数值在 这一组的数据得，某城市的人均 为 万元，该城
市 排名全国第 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵收集了 年 个城市的人均 数据，
∴城市 排名的中位数是第 个，画图如下，
【小问3详解】
解：观察散点图可得，人均 (万元)大的和城市 的排名也靠前．
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24. 如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求证：直线 是以点 为圆心， 为半径的 的切线；
（2）如果： ， ，求 的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“平行线＋角平分线”得等腰三角形即可证明；
（2）先由锐角三角函数求出 ，由 ，设 ， ，则
，则得到 ，即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
∴ ，
，
，
，
平分 ，
，
，
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，
∵点O到直线 的距离为 ，半径为 ，
直线 是以点 为圆心， 为半径的 的切线；
【小问2详解】
解： ，
，
， ，
，
，
，
设 ， ，
在 中， ，
，
，
，
∴ ，
的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握切线
的判定定理是解题的关键．
25. 如图是某跳台滑雪场 的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A
点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距 所在直
线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据：
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水平距离
0 2 4 6 8
d/米
垂直高度
h/米
4 8 8
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；
（3）求h 关 于d 的函数表达式；
（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为 ： ，当第一次和第二次距离 所在
直线的水平距离分别为 、 ，且 时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写
“能”或“不能”）完成空中动作．
【答案】（1）见详解 （2）
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（3）
（4）能
【解析】
【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可；
（2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值；
（3）用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（4）令 ，求解 ， ，然后作差看是否符合定义即可．
本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键．
【小问1详解】
解：①建立如图所示的平面直角坐标系，
②根据表中数据描点，
水平距离 米 0 2 4 6 8
垂直高度 米 4 8 8
③用平滑的曲线连接，
所画图象如图所示：
【小问2详解】
解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为 米，
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故答案为： ；
【小问3详解】
解：由图象可得，顶点 ，
设二次函数的关系式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
；
【小问4详解】
解：能，理由见详解
令 ，即 ，
解得： ，
令 ，即 ，
解得： ，
，
，
，
该运动员能完成空中动作．
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故答案为：能．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，设抛物线的
对称轴为直线 ．
（1）如果抛物线经过点 ，求 的值；
（2）如果对于 ， ，都有 ，求 取值范围；
（3）如果对于 ， 或 ，存在 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）把点 代入解析式求得 ，然后利用对称轴公式即可求解；
（2）分两种情况讨论：当 时，都有 ，则 ，求得 ；当 时，都有
，则 ，求得 ；即可得 ；
的
（3）因为 ，所以抛物线开口向上，根据二次函数 性质，分当 或 时，当 时，
两种情况讨论即可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
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解：∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线 开口向上，
当 ，即 时，都有 ，
则 ，
解得 ，
∴ ；
当 ，即 时，都有 ，
则 ，
解得 ，
∴ ；
综上所述， ；
【小问3详解】
解：由（1）知，
∴ ，
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∴二次函数的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
当 或 时，n最小值为 ，
∴一定存在 ，
当 时，当 取1或者12时n有最小值，
即n的最小值为 或 ，
∵存在 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
综上所述， 或 ．
27. 如图， ， ，点 在射线 上，且 ，点 在 上且 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 并延长至 ，使 ，连接 ．
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（1）如图1，当点 在线段 上时．
①用等式表示 与 的数量关系；
②连接 ， ，直接写出 ， 的数量关系和位置关系；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．
【答案】（1）① ；② ， ，理由见详解
（2）补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解
【解析】
【分析】（1）①证明 ，得出 ，则可得出结论；
②连接 ， ，证明 ，得出 ， ，则可得出结论；
（2）根据题意补全图形，证明 ，得出 ， ，则可得出结论．
【小问1详解】
解：（1）① ，
为 的中点，
，
， ，
，
，
，
；
② ， ，
理由：连接 ， ，
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，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
；
【小问2详解】
补全图形如下，②的结论还成立，
证明：连接 ， ，
同①可证 ， ，
设 ，则 ，
， ，
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，
，而 ， ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、
直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称
点在 上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”．
（1）已知如图1点 ．
①如图1，在点 中， 上存在点P关于点Q的“等距点”的是________；
②如图2，点 ， 上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________；
（2）如图3，已知点 ，点P在 的图象上，若 上存在点P关于点Q的“等距点”，求
b的取值范围．
【答案】（1）① ；②
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（2）
【解析】
【分析】（1）①求出点P关于 的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，
即可判断“等距点”；
②在 上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接 ，取 的中点即为点Q，连接 ，取其
中点 ，连接 ，根据中位线定理则判断出点Q的在以 为圆心，半径为1的 上，即可求
解；
（2）过点O作点Q的对称点 ，则点 为 ，则 上所有的点关于点Q的对称点都在以
为圆心，半径为2的 上，那么直线 与 有公共点即可，找到两个临界状态，即相切
位置，分别求b即可．
【小问1详解】
解：①如图，点P关于 的对称点分别为 ，则 ，
，
∴ 在上，
∴点P关于点Q的“等距点”的是
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故答案为： ；
②在 上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接 ，取 的中点即为点Q，连接 ，取其
中点 ，连接 ，
∴ ，
∴点Q的在以 为圆心，半径为1的 上，
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∵ 与 轴交于点 ，
∴ ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：过点O作点Q的对称点 ，则点 为 ，
∴ 上所有的点关于点Q的对称点都在以 为圆心，半径为2的 上，
∵点P在 的图象上，
∴当直线 与 相交即可，
当直线 与 第一次相切时，设切点为点E，直线与y轴交点G，当直线 与 第二
次相切时，设切点为点F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴其点Q与点O的水平距离与铅锤距离均是1，
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∴ ，
由相切得： ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
同理可求当直线 与 第二次相切时， ，
综上： ．
【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关
系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
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