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2020－2021 学年北京市丰台区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的
1. 如图，数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】解：如图，
数轴上表示不等式的解集为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
2. 的平方根是（ ）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
【答案】D
【解析】
【分析】先计算 的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵ =3，
∴ 的平方根是± ．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得 的值.
3. 如图，直线l与直线a、b分别相交，且a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2
的度数．
【详解】∵a∥b，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣110°=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线以及对顶角的性质，熟练掌握，即可解题.
4. 空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要的介绍空气的组成情况，较好的描述数据，最适合使用的
统计图是（ ）
A. 扇形图 B. 条形图 C. 折线图 D. 直方图
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的
特点，应选择扇形统计图．
故选A．
的
5. 如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误 是
（ ）A. AD∥BC B. AB∥CD
C. ∠ABD＝∠CDB D. ∠BAD＋∠ADC＝180°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质逐项判断即可得．
【详解】解： ，
，选项B正确；
， ，选项C、D均正确；
根据已知条件无法证出 ，选项A错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
6. 如果x，y满足方程组 ，那么x﹣2y的值是（ ）
A. ﹣4 B. 2 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用方程组中的第二个方程减去第一个方程即可得．
【详解】解： ，
由② ①得： ，
即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
7. 2021年是中国共产党建党100周年暨红军长征胜利85周年．长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为（4，﹣3），表示遵
义会议的点的坐标为（ ，﹣2），那么表示吴起镇会师的点的坐标为（ ）
A. （3，0） B. （0，3） C. （3，1） D. （1，3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知点的坐标建立平面直角坐标，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下（每个方格的长度即为单位长度1）：则表示吴起镇会师的点的坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了求点坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折
回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；
如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，
列出二元一次方程组．
【详解】设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，得，故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
9. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可
得．
【详解】解：大正方形的边长为 ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
，
，
与 最接近的整数是4，
即大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
10. 已知关于x的不等式组 有以下说法：
①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜1
②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜1，那么a＝﹣3
③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，那么a＝﹣2
④如果不等式组无解，那么a≥1
其中所有正确说法的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，再逐个分析即可得．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
如果 ，那么不等式组的解集是 ，即说法①正确；
如果不等式组的解集是 ，那么 ，即说法②正确；
如果不等式组的整数解只有 ，那么 ，则说法③错误；
如果不等式组无解，那么 ，即说法④正确；
综上，所有正确说法的序号是①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 如果∠A＝135°，那么∠A的邻补角的度数为 ___°．
【答案】45
【解析】
【分析】根据邻补角的定义即可得．
【详解】解： ，
的邻补角的度数为 ，故答案为：45．
【点睛】本题考查了邻补角，熟记定义是解题关键．
12. 如图，利用直尺和三角板，过直线AB外一点P画直线CD，使CD∥AB，画图的依据是____．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定即可得．
【详解】解：由图可知，画图的依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
13. 如果点P（﹣1，m﹣3）到x轴的距离等于2，那么m的值为____．
【答案】1或5
【解析】
【分析】根据点到坐标轴的距离的定义可得一个关于 的绝对值方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得： ，
即 或 ，
解得 或 ，
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握理解点到坐标轴的距离的定义是解题关键．
14. 写出一个c的值，说明命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题，这个值可以是____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据假命题的定义、不等式的性质即可得．
【详解】解：要使得命题“如果 ，那么 ”是假命题，则由不等式的性质得：只需 不是正数即可，
因此，这个值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了命题、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
15. 某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午9：00达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准
如图：
（1）如果他9：50离开，那么应缴费____元；
（2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长可能是____分钟．（写出一个即可）
【答案】 ①. ②. 130（答案不唯一，在大于等于120且小于135内的数值均可）
【解析】
【分析】（1）根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得；
（2）先根据离开时缴费15元可得出他是在 之间某个时间点离开的，再根据白天收费标准
列出式子即可得．
【详解】解：（1）如果他 离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，且为3个计时单位，
因此，应缴费为 （元），
故答案为： ；
（2）如果他在 离开，则应缴费为 ，
如果他在 离开，则应缴费为 ，
因此，他是在 之间某个时间点离开的，
因为 ，所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了4个计时单位，即 （分钟），
设停车的时长为 分钟，
因为不足一个计时单位不收取费用，
所以 ，即 ，
则停车的时长可能是130分钟，
故答案为：130（答案不唯一，在大于等于120且小于135内的数值均可）．
【点睛】本题考查了有理数加减乘除的实际应用，正确列出各运算式子是解题关键．
16. 在平面直角坐标系xOy中，对点P进行如下操作：把点P的横、纵坐标乘以同一个实数a，将得到的
点先向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到点P的对应点P′．如图，点A，B经过上
述操作后得到的对应点分别是点A′，B′．
（1）如果点C（6，﹣2）经过上述操作后得到的对应点是点C′，那么点C′的坐标为____．
（2）如果点D经过上述操作后得到的对应点D′与点D重合，那么点D的坐标为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】（1）先根据点 可得 的方程组，解方程组可得 的值，再根据点坐标的平
移规律即可得；
（2）设点 的坐标为 ，从而可得点 ，再根据点坐标的平移变换规律建立方程，解方程即
可得．
【详解】解：（1）由题意得： ，解得 ，
，
，即 ，
故答案为： ；
（2）设点 的坐标为 ，则点 ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标 的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
三、解答题（本题共52分，第17－23，25题，每小题5分，第24，26题，每小题5分）
17. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先计算有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算有理数的加减运算即可得．【详解】解：原式 ，
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是
解题关键．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：
由①得 ③
将③代入②，得 ，
6-9y-y=-4，
-10y=-10，
∴ ．
将 代入③，得 ．
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19. 解不等式组：
【答案】 ．
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
在
20. 平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣1），B（0，1）．
（1）将线段AB向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，平移后得到对应线段AB，请画出线段
1 1
AB，并写出点A，B 的坐标；
1 1 1 1
（2）平移线段AB得到线段BB，使得点A与点B 重合，写出一种由线段AB得到线段BB 的运动过程．
1 2 1 1 2
【答案】（1）图见解析， ；（2）将线段 向右平移3个单位长度，向上平移1个单
位长度得到线段 ．
【解析】
【分析】（1）根据线段的平移作图即可得线段 ，再根据点 的位置写出它们的坐标即可；
（2）根据点 即可得出平移方式．
【详解】解：（1）如图，线段 即为所求．则 ；
（2） ，
将点 向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点 ，
则将线段 向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段 ．
【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换规律，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
21. 为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》通知要求，培养学生劳动习惯与劳
动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从校七至九年级各
随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、
整理和描述．下面是其中的部分信息：
a．90名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：
分组 频数
20≤x＜25 9
25≤x＜30 m
30≤x＜35 15
35≤x＜40 24
40≤x＜45 n
45≤x＜50 9
合计 90
b．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
c．每日平均家务劳动时长在35≤x＜40这一组的是：35 35 35 35 36 36 36 36 36 37 37 37
38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39
d．小东每日平均家务劳动时长为37min．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出频数分布表中的数值m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东每日平均家务劳动时长 样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；（填“超过”或“没
超过”）
（4）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到40min及以上的学生评为“家务小能手”，如果该
校七至九年级共有420名学生，请估计获奖的学生人数．
【答案】（1）12，21；（2）图见解析；（3）超过；（4）估计获奖的学生人数为140名．
【解析】
【分析】（1）先根据频数分布直方图可得 的值，再利用90减去其他已知的人数即可得 的值；
（2）根据 的值补全频数分布直方图即可；
（3）根据 这一组的数据可得样本中每日平均家务劳动时长达到 及以上的学生人数，
由此即可得出答案；
（4）利用420乘以每日平均家务劳动时长达到 及以上的学生所占百分比即可得．
【详解】解：（1）由频数分布直方图得： ，
，
故答案为：12，21；
（2）根据 补全频数分布直方图如下：（3）在 这一组内，每日平均家务劳动时长达到 及以上的学生人数为15人，
则在样本中，每日平均家务劳动时长达到 及以上的学生人数为 （人），
因此，每日平均家务劳动时长低于37min的人数为45人，故小东每日平均家务劳动时长超过了样本中一半
学生的每日平均家务劳动时长，
故答案为：超过；
（4） （名），
答：估计获奖的学生人数为140名．
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是
解题关键．
22. 如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB
于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
（1）依题意，补全图形；
（2）完成下面的解题过程．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ °（ ）（填推理的依据）
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ （ ）（填推理的依据）
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝ ∠AOB＝30°（角的平分线的定义）∴∠MPO＝ °．
∵∠MPO＋∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ °．
【答案】（1）图见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行线和垂线的作图即可得；
（2）先根据垂直的定义、平行线的性质可得 ，再根据角平分线
的定义可得 ，从而可得 ，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：（1）依题意，补全图形如下：
（2）∵ 于点 ，
∴ （垂直的定义），
∵ ，
∴ ，
（两直线平行，内错角相等），∵ 平分 ，且 ，
∴ （角的平分线的定义），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解
题关键．
的
23. 在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程 一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐
标的点的全体叫做这个方程的图象．例如 是方程x﹣y＝1的一个解，用一个点（3，2）来表示，以
方程x﹣y＝1的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝1的图象，方程x﹣y＝1的图象是图中的直线l
1
（1）二元一次方程x＋y＝3的图象是直线l，在同一坐标系中画出这个方程的图象；
2
（2）写出直线l 与直线l 的交点M的坐标；
1 2
（3）过点P（﹣1，0）且垂直于x轴的直线与l，l 的交点分别为A，B，直接写出三角形MAB的面积．
1 2
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）9．
【解析】
【分析】（1）找出二元一次方程 的两个解，在平面直角坐标系中描点，再连接两点，画出直线即可得；
（2）联立两个方程，利用加减消元法解方程组即可得；
（3）先画出图形，再分别求出点 的坐标，然后根据点 的坐标可得 边上的高，最后利用三角形
的面积公式即可得．
【详解】解：（1）对于二元一次方程 ，
当 时， ，
当 时， ，
则点 在直线 上，
先描点，再连接两点，画出直线 如图所示：
（2） ，
由① ②得： ，解得 ，
由② ①得： ，解得 ，
则方程组的解为 ，
因此，直线 与直线 的交点 的坐标 ；
（3）由题意，画出图形如下：对于 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
对于 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
，
，
三角形 的 边上的高为 ，
则三角形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了画函数图象、解二元一次方程组等知识点，掌握函数图象的画法是解题关键．
24. 课上教师呈现一个问题：
如图，AB∥CD，点E是线段AB，CD所在直线外的一点，连接BE，DE，探究∠BED，∠ABE，
∠CDE之间的数量关系．
小凯画出了图1，图2，分析思路及结论如下：
分析思路：
要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．如图1，过点E作MN∥AB．
（1）由MN∥AB可知∠BEN＝∠ABE；
（2）由MN∥AB，AB∥CD得到MN∥CD，可知∠NED＝∠CDE；
（3）由∠BED＝∠BEN＋∠NED，
得到结论：∠BED＝∠ABE＋∠CDE
如图2，类似图1的分析…
得到结论：∠BED＋∠ABE＋∠CDE＝360°．
小明认为小凯只考虑了点E在直线AB，CD之间的情况，点E的位置应该还有其他情况．
根据以上材料，解答问题：画出一种点E不在直线AB，CD之间的图形，写出探究∠BED，∠ABE，
∠CDE之间的数量关系的分析思路及结论．
【答案】见解析（画出其中一种情况的图形，进行分析得出结论即可）．
【解析】
【分析】①画出点 在直线 的上方的图形，过点 作 ，先根据平行线的性质可得
，再根据平行公理推论可得 ，然后根据平行线的性质可得 ，
最后根据角的和差即可得出结论；②画出点 在直线 的下方的图形，同理可得
，再根据角的和差即可得出结论．
【详解】解：①如图，当点 在直线 的上方时，
过点 作 ，，
，
，
，
又 ，
；
②如图，当点 在直线 的下方时，
同理可得： ，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
25. “冰墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关
特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容
融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
销售量/件
月份 销售额/元
冰墩墩 雪容融第1个
100 40 14800
月
第2个
160 60 23380
月
（1）求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格；
（2）某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品，要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩
墩”的数量的2倍，且购买总资金不得超过9000元，请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数
量．
【答案】（1）此款“冰墩墩”的零售价格为118元/件，“雪容融”玩具的零售价格75元/件；（2）33件．
【解析】
【分析】（1）设此款“冰墩墩”的零售价格为 元/件，“雪容融”玩具的零售价格 元/件，根据销售表格数
据建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买“冰墩墩”的数量为 件，从而可得购买“雪容融”的数量为 件，根据“购买总资金不得超过
9000元”建立不等式，解不等式、结合 为正整数可得．
【详解】解：（1）设此款“冰墩墩”的零售价格为 元/件，“雪容融”玩具的零售价格 元/件，
由题意得： ，
解得 ，符合题意，
答：此款“冰墩墩”的零售价格为118元/件，“雪容融”玩具的零售价格75元/件；
（2）设购买“冰墩墩”的数量为 件，则购买“雪容融”的数量为 件，
由题意得： ，
解得 ，
因为 为正整数，
所以该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为33件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关
键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）．如果存在点N（a′，b′），满足a′＝|a＋b|，b′
＝|a﹣b|，则称点N为点M的“控变点”．
（1）点A（﹣1，2）的“控变点”B的坐标为 ；
（2）已知点C（m，﹣1）的“控变点”D的坐标为（4，n），求m，n的值；
（3）长方形EFGH的顶点坐标分别为（1，1），（5，1），（5，4），（1，4）．如果点P（x，﹣2x）
的“控变点”Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“控变点”的定义、绝对值运算法则即可得；
（2）根据“控变点”的定义、绝对值运算建立方程，解绝对值方程即可得；
（3）先根据“控变点”的定义求出点 的坐标，再根据“点 在长方形 的内部”建立不等式组，
解不等式组、化简绝对值即可得．
【详解】解：（1） ， ，
的
“控变点” 的坐标为 ，故答案为： ；
（2）由题意得： ，
解得 或 ，
即 或 ；
（3）在平面直角坐标系中，画出长方形 如下所示：
由题意得： ，即 ，
要使点 在长方形 的内部，
则 ，
解得 ，
即 或 ．【点睛】本题考查了坐标与图形、绝对值运算、一元一次不等式组的应用，掌握理解“控变点”的定义是
解题关键．
