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考点巩固卷 38
曲线运动与能量结合的综合应用
建议用时：50分钟
考点序号 考点 题型分布
考点1 曲线运动与机械能结合的综合应用 4单选+3多选+2解答
考点2 曲线运动与能量守恒定律结合的综合应用 1单选+1多选+3解答
考点01：曲线运动与机械能结合的综合应用（4单选+3多选+2解答）
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一
样，这被称为“魔力陀螺”。它可简化为一质量为m的质点在固定竖直圆轨道外侧运动的模型，如图乙所
示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点与分别为轨道的最高点最低点，C、D两点与
圆心O等高，质点受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为7mg，不计摩擦和空气阻力，重
力加速度为g，若质点能始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，则（ ）
A．质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为6mg
B．质点经过A点的最大速度为
C．质点由A到B的过程中，轨道对质点的支持力逐渐增大
D．质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力可能为0
【答案】B
【详解】A．设质点经过C、B两点的速度为分别为 与 ，轨道对其支持力分别为 与
由牛顿第二定律知，对C点和B点分别有
，
由机械能守恒定律知
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1联立解得
由牛顿第三定律知，质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为3mg，故A错误；
B．要使质点始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，在最低点B，质点的向心力
由此可知，质点经过B点速度最大时，轨道对质点的支持力为0，由
知质点经过B点的最大速度为
由机械能守恒定律知
解得
故B正确；
C．从A到B的过程中，设质点在轨道上的某点的速度为v，速度与水平向右方向的夹角为 ，则由牛顿第
二定律知
则
由于从A到B的过程中， 角逐渐增大，速度v逐渐增大，故轨道对质点的支持力 逐渐减小，故C错误；
D．假设质点经过C、D点时轨道对质点的支持力为0，则由牛顿第二定律知
对C点
得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2由能量守恒定律知，这是不可能的，故在质点绕轨道做完整圆周的情况下，质点经过C、D两点时，轨道
对质点的支持力不可能为0，故D错误。
故选B。
2．（2023·江西宜春·校联考二模）如图所示，有一根长 的细线水平伸直，绳子左端固定在O点，右端
连接一个质量 的小球，在绳子的下方某处固定一个钉子，当小球运动到最低点时，细绳刚好断裂，已
知钉子与O点之间的连线与水平方向成 ，绳子能够承受的最大拉力是 ，取 ，则钉子离
O的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设小球到达最低点时的速度为 ，细线与钉子接触时小球的速度为 ，细线的长度为 ，钉子离
O的距离为 ，最低点绳子的最大拉力为 ，则由机械能守恒有
由动能定理有
由牛顿第二定律有
联立解得
故选D。
3．（2023·河北衡水·校联考二模）天文学家于2022年1月6日发现了小行星2022AE1，对其跟踪观察并完
善其轨迹发现，小行星2022AE1的直径约为 ，质量 ，运动轨迹为抛物线，它将会在2023
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3年7月4日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R的均质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度
大小为g，预计小行星2022AE1距地心为 时的速度大小为空 ，方向与它和地心连线所成的角为 ，
如图所示。已知小行星2022AE1的弱引力势能 ，式中r为行星2022AE1到地心的距离，小行
星2022AE1与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出
（ ）
A．小行星2022AE1与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
B．小行星2022AE1距地球表面的最小距离为
C．小行星2022AE1的最大速度为
D．小行星2022AE1的最大加速度为
【答案】C
【详解】A．小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积
故A错误；
BC．小行星与地球最近时，小行星在抛物线的顶点，此时加速度及速度均达到最大，结合机械能守恒定律
有
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4故B错误，C正确；
D．根据黄金代换有
解得
故D错误。
故选C。
4．（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道 ，半径为 ，小球以一
定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到 的过程中，其速度平方与其对
应高度的关系图像。已知小球在最高点 受到轨道的作用力为 ，空气阻力不计， 点为 轨道中点，
重力加速度 取 ，下列说法错误的是（ ）
A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中
C．小球在B点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确，不符合题意；
D．由图2可得在最高点，小球的速度 ，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5故D正确，不符合题意；
B．小球从A运动到 的过程中，由机械能守恒定律
解得
故B正确，不符合题意；
C．小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律
解得
小球在B点受到轨道作用力为
故C错误，符合题意。
故选C。
二、多选题
5．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，长为 的不可伸长轻绳一端系于固定点O。另一端系一质
量 的小球，将小球从O点左侧与O点等高的A点以一定初速度 水平向右抛出，经一段时间后
小球运动到O点有下方的B点时，轻绳刚好被拉直，此后小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动。已知
O、A的距离为 ，轻绳刚被拉直时与竖直方向的夹角为 。重力加速度取 。
，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A．小球抛出时的初速度大小
B．轻绳被拉直前瞬间小球的速度为
C．小球做圆周运动摆到最低点时的动能为
D．小球做圆周运动摆到最低点时，轻绳对小球的拉力大小为
【答案】AD
【详解】A．小球抛出后经时间t轻绳刚好被拉直，根据平抛运动规律有
解得
，
选项A正确；
B．轻绳刚被拉直前，小球竖直方向的分速度大小为
此时小球的瞬时速度
选项B错误；
C．轻绳被拉直后沿着轻绳方向的速度为零，垂直于轻绳的速度
小球之后做圆周运动摆到最低点过程中，则根据机械能守恒定律有
解得
选项C错误；
D．小球圆周运动摆到最低点时，根据牛顿第二定律有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7其中
解得
选项D正确。
故选AD。
6．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，水平传送带以 的速率顺时针转动，左右两端点A、
间距 。光滑水平面 、足够长的光滑斜面 及传送带左侧平滑相连，竖直面内半径 的
光滑半圆形轨道 与传送带右侧相切于 点（物块通过各连接处时无机械能损失）。现将一质量
的小物块（视为质点）自斜面 上高度为 的某点由静止释放，能顺利通过传送带从半圆轨道 点水平拋
出。已知物块与传送带间的动摩擦因数 ，重力加速度 。下列判断正确的是（ ）
A．物块通过半圆轨道 点时对轨道的最小压力为零
B．物块通过 点时的最小速度为
C．若物块总能以相同的速度通过轨道 点，则 最小为
D．若物块总能以相同的速度通过轨道 点，则 最大为
【答案】CD
【详解】A．物块通过半圆轨道 点对轨道的最小压力为零时，有
此时
无论h值多少，物块运动到D点时，速度均大于 ，所以物块通过半圆轨道 点时对轨道的最小压力
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8不可能为零，故A错误；
B．若物块从A点由静止开始运动，根据
解得，运动到B点时速度
由因为从h高度滑下，所以物块通过 点时的最小速度一定大于 ，故B错误；
C．根据机械能守恒，若物块总能以相同的速度通过轨道 点，则总能以相同的速度通过B点，通过B点
时速度
当h取最小时，物块在传送带上做加速运动，根据动能定理
解得
故C正确；
D．当h取最大时，物块在传送带上做减速运动，根据动能定理
解得
故D正确。
故选CD。
7．（2023·山东青岛·统考三模）如图，水平直杆AB与光滑圆弧杆BC在B点平滑连接，固定在竖直平面内，
一直径略大于杆的圆环穿在水平直杆上的A点。现让圆环以 的初速度由A向B运动，同时在竖直
面内对圆环施加一垂直于杆向上的恒力F，运动到B点时撤去恒力F，之后圆环沿圆弧杆BC上滑。已知
AB长度 ，BC半径 ，圆环质量 ，圆环与直杆AB间动摩擦因数 ，恒力
，重力加速度 ， ，下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9A．圆环到达B点时的速度为2m/s
B．圆环能够到达的最大高度为0.2m
C．圆环在BC上运动的时间约为8s
D．圆环能返回A点
【答案】ABC
【详解】A．直杆对圆环的弹力大小为
方向竖直向下，对圆环分析有
解得
根据速度与位移关系有
解得
A正确；
B．圆环能够到达的最大高度的过程有
解得
B正确；
C．根据上述可知
则圆环在圆弧上的运动可以等效为单摆，则
圆环在BC上运动的时间约为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10解得
C正确；
D．圆环返回B点至停止过程有
解得
可知，圆环不能返回A点，D错误。
故选ABC。
三、解答题
8．（2023·西藏·统考模拟预测）如图所示，光滑斜面AB与粗糙斜面CD为两个对称斜面，斜面的倾角均为
θ，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面BEC的两端相切，一个物体在离切点B的高度为H处，
以初速度v 沿斜面向下运动，物体与CD斜面的动摩擦因数为μ。
0
（1）物体首次到达C点的速度大小；
（2）物体沿斜面CD上升的最大高度h；
（3）请描述物体从静止开始下滑的整个运动情况，并简要说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）根据机械能守恒定律
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11（2）物体沿CD上升的加速度
解得
（3）AB段和CD段物块所受合力恒定不变，加速度恒定，物块做匀变速运动，BEC段物块所受合力不断
变化，物块变速运动，若重力的分力小于摩擦力，则最后停止于CD斜面上不动，反之也可能在BC间做
等幅振动。
9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内距离水平地面高度为3h处固定一光
滑的半径为R的圆弧形轨道（轨道长度小于四分之一圆弧长），圆弧形轨道右端与一光滑水平轨道相切，
在光滑水平轨道右侧固定一倾角为 的光滑斜面，斜面高度为2h。一质量为m的小球自圆弧形轨道的最
高点由静止滑下，小球刚好从斜面顶端沿切线落入斜面，并沿斜面下滑到斜面底端，不计空气阻力，重力
加速度为g。求：
（1）圆弧形轨道最高点和最低点之间的高度差。
（2）小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小。
（3）小球沿斜面运动的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由平抛运动规律，可得
其中
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12根据动能定理，有
解得圆弧形轨道的高度
（2）小球运动到圆弧形轨道最低点时，有
解得
由牛顿第三定律可知，小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小
（3）由牛顿第二定律，小球沿斜面运动时，有
小球落在斜面上的速度
斜面长度
根据匀变速直线运动的公式有
解得小球沿斜面运动的时间
考点02：曲线运动与能量守恒定律结合的综合应用（1单选+1多选+3解答）
一、单选题
1．（2023·上海徐汇·统考二模）嫦娥五号返回舱关闭推进器，沿如图轨迹以类似“打水漂”的方式两度进
入大气层，途经相同高度的A、C两点时具有的机械能分别为E 、E ，在B点受空气作用力F 与重力G，
A C B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】嫦娥五号由A点到B点再到C点过程，需克服空气阻力做功一部分机械能要转化为内能，所以
；B点附近一段轨迹可以看作圆周运动的一部分圆弧，分析嫦娥五号在B点时，竖直方向合力向上，
空气对嫦娥五号的作用力的竖直分力大于重力，水平分力与运动方向相反为空气阻力，竖直分力与水平分
力的合力为空气对嫦娥五号的作用力，故嫦娥五号在B点受的空气作用力FB大于重力G，故A正确，BCD
错误。
故选A。
二、多选题
2．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）轻质弹簧原长为L，现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一
端与物块P接触但不连接。AB是长度为3L的水平轨道，B端与半径为 的光滑半圆轨道BCD相切，半
圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.2。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度
，使其具有2mgL的弹性势能然后静止释放，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。则下列说法正确
的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14A．P与弹簧相互作用的过程中，P与弹簧组成的系统机械能守恒
B．若P的质量为m，则P到达B点时速度的大小为
C．若P的质量为m，它能沿圆弧轨道到达D点
D．若P能滑上圆轨道，但仍能沿圆轨道滑下，则P的质量的取值范围 m M<4m
【答案】BD
【详解】A．P与弹簧相互作用的过程中，因为有摩擦力做功，所以P与弹簧组成的系统机械能不守恒。A
错误；
B．根据动能定理得
其中
解得
B正确；
C．假设能沿圆弧轨道到达D点，从B到D根据动能定理得
解得
而物体到达最高点的最小速度为
假设不成立。C错误；
D．若P能滑上圆轨道，则物体在B点的速度要大于零，即
解得
P能沿圆轨道滑下，则有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15解得
所以P的质量的取值范围
m M<4m
D正确。
故选BD。
三、解答题
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图所示，某一游戏装置由轻弹簧发射器、长度 的粗
糙水平直轨道AB与半径可调的光滑圆弧状细管轨道CD组成。质量 的滑块1被轻弹簧弹出后，
与静置于AB中点、质量 的滑块2发生完全非弹性碰撞并粘合为滑块组。已知轻弹簧贮存的弹
性势能 ，两滑块与AB的动摩擦因数均为 ，两滑块均可视为质点，各轨道间连接平滑且
间隙不计，若滑块组从D飞出落到AB时不反弹且静止。
（1）求碰撞后瞬间滑块组的速度大小；
（2）调节CD的半径 ，求滑块组进入到圆弧轨道后在C点时对轨道的压力大小；
（3）改变CD的半径R，求滑块组静止时离B点的最远距离 ，并写出 应满足的条件。
【答案】（1）3m/s；（2）1N；（3）0.8m，R大于等于0.1m
【详解】（1）滑块1被弹簧弹出的速度为 ，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16滑块1与滑块2碰撞前速度为 ，有
滑块1与滑块2粘在一起后速度为 ，有
解得
（2）滑块组在碰撞后到C点的过程中有
解得
由牛顿第三定律有
（3）当半径为 时，其滑块组恰好能到达D点，因为是细管管道，所以此时在D点速度为零，有
解得
所以当圆弧轨道半径小于0.1m时，滑块组能从D点飞出，之后做平抛运动，继续调节圆弧轨道半径，其
从D点飞出的速度不同，其落在水平轨道上距离B点的距离也不同，设半径为R时，有
滑块组在D点之后做平抛运动，有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17整理有
根据数学知识有，当 时，s取最大值，其值为0.2m。
当圆弧轨道半径大于0.1m时，滑块组不能从D点飞出，沿轨道滑回水平轨道，最终静止在水平轨道上，
设在水平轨道上滑动路程为s'，由能量守恒
解得
s'=1.8m
则滑块组静止时离B点的最远距离为
4．（2023·天津·模拟预测）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内粗糙半圆形轨道在B点平滑相接，半圆
形轨道半径为R，一质量为 的物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，获得向右速度后脱
离弹簧，经过B点进入半圆形轨道后瞬间对轨道的压力大小为其重力的8倍，之后沿圆周运动，到达C点
时对轨道的压力恰好为0。重力加速度为g，求：
（1）释放物块时弹簧的弹性势能；
（2）物块从B点运动到C点过程中克服摩擦力做的功；
（3）物块离开C点后落回水平面时，重力的瞬时功率大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）物体在B点时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18解得
根据能量守恒可知弹簧的弹性势能为
（2）物体在C点时
化简得
物体从B到C的过程中
解得物体克服摩擦力做功
（3）物体从C点飞出后做平抛运动，竖直方向有
所以重力的功率为
5．（2023·全国·模拟预测）如图，水平桌面上一个质量 的物体（视为质点）将弹簧压缩至A点
后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度后脱离弹簧，之后从桌子边缘B点平抛出去，并从C点
沿CD方向进入竖直平面内，由斜直轨道CD和圆弧形轨道DEFGH平滑连接而成的光滑轨道上运动，CD
与水平面成 角，EG为竖直直径，FH为水平直径。已知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，AB间
的距离 ，物体与桌面间的动摩擦因数 ，C点距离桌面的水面距离 ，B、C两点间的
高度差 ，C、D两点间的高度差 ，重力加速度g取 ， ，
，求：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19（1）弹簧被压缩至A点时的弹性势能 ；
（2）圆弧轨道半径R；
（3）当物体从D点进入圆弧轨道后，撤去斜直轨道CD，物体从H点落到水平面的时间t。
【答案】（1）0.18J；（2）1m；（3）
【详解】（1）物体从B到C做平抛运动，则竖直方向有
解得
则水平方向有
解得
物体从A运动到B，根据能量守恒定律有
代入数据解得
（2）物块在C点的速度为
由题知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，则有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20解得
物体从C运动到G，根据动能定理有
由几何关系可得
联立解得
（3）物体从G运动到H，根据动能定理有
解得
从H点下落到地面上，根据运动学公式有
代入数据解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
