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北京市怀柔区 2024 届中考数学 5 月三模试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人
飞船与长征二号 遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度近60米．将400000用科学记
数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线 、 相交于点 ， 平分 则 的度数为（ ）
.
A B. C. D.
的
5. 不透明 盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、“前”、“冲”，这3个小
球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，
记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是（ ）
A. B. C. D.
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6. 如果 ，那么代数式 值为（ ）
的
A. B. 1 C. D. 2
7. 在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币 元、 元、 元、 元和
元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是（ ）
A. 捐款金额越高，捐款的人数越少
B. 捐款金额为 元的人数比捐款金额为 元的人数要少
的
C. 捐款金额为 元 人数最多
D. 捐款金额为 元的人数最少
8. 2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点
项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用
塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边
形，面积约为 ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：
， ， ， ）
A. 5.2m B. 4.8m C. 3.7m D. 2.6m
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
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9. 分解因式： _____．
10. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
11. 化简： 的结果为______．
12. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将
调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________
人．
每周课外阅读时间x
（小时）
人数 6 9 13 12
13. 如图，点A，B，C，D在 上， ， ，则 _________．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
点，并且过 和 ，则点 的坐标为______．
15. 汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，下图描述了A，B两辆汽车在不
同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是__________．
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①消耗1升汽油，A车最多可行使5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
16. 如图 中， ， ， ， ，O为 的中点，若点D为直线
下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， ，则 的长
为 ；②若 ，则 的最大值为 ；③若 ， 与 相交于E，则点E不一定是
的重心；④若 ，则当 时， 取得最大值．其中正确的结论是
______．
三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
18. 已知 ，求代数式 的值．
19. 解不等式组： ．
20. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过点 和 ．
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（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
21. 如图，在平行四边形 中， ，延长 到点E，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求AC的长．
22. 在平面直角坐标系 中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，
使点P关于直线 的对称点 在图形M上，则称P为图形M的关联点．
（1）如图，点 ， ．在点 ， ， 中，线段 的关联点是
______；
（2）已知点 ， 的半径为2，点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐
标 的取值范围；
（3） 的圆心为 ，半径为3，x轴上存在 的关联点，直接写出t的取值范围．
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23. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，
每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括 张长桌、 张中桌和 张小桌，它们的宽都相同．七张
桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧
板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张
桌子桌面的总面积为 平方尺，则长桌的长为多少尺？
24. 如图， 为 的直径，点C在 上， ，直线 于点D，交AB的延长
线于点F．
（1）求证：直线 为 的切线；
（2）当 ， 时，求 的长．
25. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基
本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量
数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下
列问题：
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的
（1）此次抽样调查 样本容量是_____；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
（4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受
基本价格？
26. 某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗
杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知小明和小军的距离BD＝
6 m，小明的身高AB＝1.5 m，小军的身高CD＝1.75 m，求旗杆的高EF．（结果精确到0.1，参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
27. 如图，已知抛物线 的图象经过点D， ，C是 的中点，P是拋物线
上的一个动点，连接 ，设点P的横坐标为n．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接 ，当四边形 面积最大时，求n的值；
（3）如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使 ，若存在，直接写出所有符合条件的点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28. 在 中， ， ，点D，E是 边上的点， ，连接 ．
过点D作 的垂线，过点E作 的垂线，两垂线交于点F．连接 交 于点G．
（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出 与 之间的数量关系；
（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，
①补全图形；
② 与 在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段 之间的数量关系．
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