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2024 年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习
数学试卷
本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热
词．本次调查广纳民情民意，吸引约6 150 000人次参与，其中6 150 000用科学记数法可以表示为（
）
A. B. C. D.
2. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，
所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 正多边形的一个外角是 ，那么这个正多边形是（ ）
A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
6. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
7. 在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小
球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（ ）
.
A B. C. D. 1
8. 如图， 为半圆O的直径，C，D是直径 上两点，且 ，过点D作 的垂线交半圆于
点E， ．设 ， ， ，给出下面三个结论：① ；② ；③
．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 使代数式 有意义的x的取值范围是_______．
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
11. 分式方程 解的是__________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点 和 在反比例函数 图象上，则
__________．
13. 如图，点P为 外一点，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧 上一点，若
，则 __________°．
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的
14. 年3月 日，是我国 第 个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未
来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植
杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）．
第一批 第四批
第二批次 第三批次 第五批次
次 次
种植数量
成活数量
成活频率
15. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所
示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm．
图1 图2
16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他
班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）
班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班
比赛的是__________班，第五天与（1）班比赛的是__________班．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28题，
每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 计算： .
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18. 解不等式组： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
20. 如图，在四边形 中， ， ，对角线 交于O， 平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）过点C作 的垂线交其延长线于点E，若 ， ，求 的长．
21. 如图，初三年级准备制作一个长 的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作
如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距 ，试求横
幅字距是多少？
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经
过点（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值，直
接写出m的取值范围．
23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计
这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
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a.初一、初二年级学生得分的折线图
b.初三年级学生得分：
10，9，6，10，8，7，10，7，3，10
c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下
初 初 初
年级
一 二 三
平均
8 8 m
数
中位
8 8.5 n
数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初
一”或“初二”）；
（2）统计表中 __________， __________；
（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，
将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序
号）.
①平均数；②中位数；③众数；④方差.
24. 如图， 是 的直径，点C在 上，若弦 平分 ，交 于点E，过点C作 的
切线 ，交 的延长线于点F．
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（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求 半径的长．
25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水
进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到
仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤
的污水．
（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次
用 斤清水，第二次用 斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________
（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原
来的__________．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点，其
中 ．
（1）若抛物线经过点 ，
①求抛物线的对称轴；
的
②当 时，比较 ， 大小，并说明理由；
（2）设抛物线的对称轴为直线 ，若存在实数m，当 时， ， ，都有
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，直接写出a的取值范围．
27. 如图，在 中， ，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段
绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，G为 的中点，连接 ， ．
在
（1）如图1，当点D 边上时，
①根据题意，补全图1；
②直接写出： __________；
（2）如图2，当点D在 内部时，（1）问中 的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如
果不成立，请说明理由．
28. 对于平面直角坐标系 中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转 得到图形
N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知 ， ．
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（1）如图1，点P是线段 的“关联点”，在点 ， ， 中，则满足条件的点是
__________；
（2）若直线 上存在点P，使点P为线段 的“关联点”，直接写出b的取值范围；
（3）以 为圆心，1为半径的 ，若线段 上存在点P，使点P为 的“关联点”，直接写出t
的取值范围．
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