文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
人大附中朝阳学校初三年级学考考前全真模拟
（数学 学科）
（考试时间： 120 分钟 满分： 100 分）
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下面几何体中，是三棱锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查立体图形问题，关键是根据棱锥的概念判断．如果一个多面体的一个面是多边形，其余
各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．根据所给几何体逐个分析判断即可．
【详解】解：A．是圆柱体，故不符合题意；
B．是圆锥，故不符合题意；
C．是三棱锥，故符合题意；
D．是球，故不符合题意；
故选：C．
2. 2024年5月 3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞
行任务．6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极-艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约
千米， 将 用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，
这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：依题意，数据 用科学记数法表示为 ，
故选：B．
3. 如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得 ， ，进而问题可求解．
【详解】解：∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
4. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质和解一元一次不等式，根据不等式的基本性质进行解答即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
故选：A．
5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小
球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了画树状法或列表法求概率，首先根据题意画出树状图，然后利用概率公式求解即可求
得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次摸球摸到一个红球一个绿球得情况有2种，
∴两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率为 ，
故选：C．
6. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到 =0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ =0，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
解得 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实
数根时 >0；当一元二次方程有两个相等的实数根时， =0；当方程没有实数根时， <0，正确掌握此三
种情况是正确解题的关键．
7. 已知 ，若n为整数，且 ，则n的值为
（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，利用夹逼法比较是关键．根据 ，
得到 即可比较．
【详解】解： ，
，
整数 满足： ，
故选：B．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以
利用如图所示的图象表示的是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可
判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利
用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该
图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
二、填空题(共16分，每题2分)
9. 若分式 有意义，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，即可求出x的取值范围.
【详解】解：∵分式 有意义
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴
∴
故答案为： .
【点睛】本题考查了分时有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，即分母不等于0．
10. 分解因式： =__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
11. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以 化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，若点 在反比例函数 的图象上，则
______ （填“>”“=”或“<”）.
【答案】＞
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴ > ．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
13. 如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 是 的切线， 交 的延
长线于点E．若 ， ，则线段 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，得出 ， ，根据等腰直角三角形 性质得出
的
，即 ，根据 ， ，得出 为等腰直角
三角形，即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握
垂径定理，得出 ．
14. 如图，在 中， 平分 ， ．若 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点 作 ，交 于点 ，结合角平分线的性质可
得 ，即可求解．
【详解】过点 作 ，交 于点 ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .则 的值为______．
【答案】
【解析】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【分析】由平行线分线段成比例可得， ， ，得出 ，
，从而 .
【详解】 ， ， ，
，
，
，
，
；
故答案为： .
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决
本题的关键.
16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包
裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运
方案________（写出要装运包裹的编号）．
【答案】 ①. ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD） ②. ACE
【解析】
【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总
重不超过19.5吨即可；
（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
【详解】解：（1）根据题意，
选择ABC时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
选择AD时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要
求；
选择BCD时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），不符合要
求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），不符合
要求；
选择ACE时，装运的I号产品重量为： （吨），总重 （吨），符合
要求；
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．
（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为： （吨）；
选择ABE时，装运的II号产品重量为： （吨）；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
选择AD时，装运的II号产品重量为： （吨）；
选择ACD时，装运的II号产品重量为： （吨）；
选择BCD时，装运的II号产品重量为： （吨）；
选择ACE时，装运的II号产品重量为： （吨）.
故答案为：ACE．
【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．
三、解答题(共68分，第17—19题， 每题5分，第20—21题， 每题6分， 第22—
23题， 每题5分， 第24题6分， 第25题5分， 第26题6分； 第27—28题， 每
题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角 的正弦值，负整数指数幂以及二次根式的运算等知识，代入特殊角的正弦值，
并按照实数的混合运算法则计算即可．
【详解】
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
故所给不等式组 的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．
19. 已知 ， 求代数式 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出
的值，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：
．
，
．
原式 ．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
【答案】（1）见解析；
（2）当m=1时， 或 满足题意（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结
论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【小问1详解】
解：∵二次函数为 ，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
∵当m=1时，原方程为： ，
∴原式可化为 ，则 ，
∴ 或 ，
∴当m=1时， 或 满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，
CF=AE．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若 ， ，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）BF的长为 ．
【解析】
【分析】（1）利用“SAS”证明 ABE≌ CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是
矩形； △ △
（2）在Rt BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
【小问1详△解】 △
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴ ABE≌ CDF(SAS)，
∴△BE=DF，△∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中， ，BC=5，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中， ，BD=8，
∴ ，
∴BF= ×8= ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标 xOy中，函数 的图象经过点 和 ， 与过点
且平行于x轴的直线交于点 C．
（1）求该函数的解析式及点 C的坐标；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，
直接写出n的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标
即可；
（2）当 时， ，当 时， ，根据题意可得 ，问题随
之得解．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知：点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：由（1）知：当 时， ，
当 时， ，
∵当 时，函数 的值大于函数 的值且小于5，
∴ ，
解得： ．
23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：
在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的
身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学
生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均
数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
【答案】（1） ， ；
（2）甲组 （3）170， 172
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于 ，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，
168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数 ，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ；
【小问2详解】
解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为
，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据
越稳定是解题的关键．
24. 如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ， ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证 平分 ，并求 的大小；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据
平分 ，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度角
的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
25. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线
可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高
度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满足函数关系 ．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 记
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点的水平距离为 ，则 ______
1
（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）23.20 m；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表
格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出
和 ，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，
∴ ， ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，解得： ，
∴函数关系关系式为： ．
【小问2详解】
设着陆点的纵坐标为 ，则第一次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 ，
第二次训练时， ，
解得： 或 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
的
【点睛】本题主要考查了二次函数 应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 ，用t表示出
和 是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点 ，
， 在抛物线上．
（1）当 时，直接写出m与n的大小关系；
（2）若对于 都有 求t的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键．
（1）由 ，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当
时，对称轴为 ， ， ，由 ，可得 ；
（2）分当 ， ， ， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，
函数值越大，确定关于 的不等式，然后求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：∵ ，
∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
当 时，对称轴为 ， ， ，
∵2−(−2)>4−2，
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时，如图1，
∴ 在抛物 线段上， 在 段上， 在 上，
∵对于 ，都有 ，
∴ 且 ，
且 ，
解得： ；
当 时，如图2，
∵对于 ，都有 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 且 ，
解得： ；
当 时，如图3，
∵对于 ，都有 ，
又∵ 在图象中已包含最小值，
∴不存在 的情况，即此种情况舍去；
当 时，如图4，
∵对于 ，都有 ，
又∵ ，
∴ ，即此种情况与题意不符，舍去；
综上所述，t的取值范围为 或 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
27. 在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异
侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
（1）如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为
；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）互相垂直；
（2）① ，证明见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点
M，根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三
角形性质即可得出 ；
（2）当点 E 与点 C 不重合时，①过点 A 作 于点 M、 于点 N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到
， ， 根 据 角 的 和 差 得 到 ， 再 利 用 证 明
，根据全等三角形性质及线段和差即可得到 ．
【小问1详解】
解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
【小问2详解】
解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关
键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，已知点 ，点 不在 上，给出如下定义：
上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 上，则称点 为点 关于 的反射点．
（1）在点 中，点 关于 的反射点是___________；
（2）若点 是点 关于 的反射点，直接写出 的取值范围；
（3）点 是直线 上的动点， ，且点 是点 关于 的反射点，当
最小时，
①直接用等式表示 与 的数量关系；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②直接写出 的长度．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
（3）① ，② ；
【解析】
【分析】（1）根据新定义的含义，分别画图，确定 是否在 上，即可得到答案；
（ 2 ） 设 ， 则 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 ，
，结合新定义可得： ，整理得：
，结合 ，可得： 或 ．
（3）①如图，点 是点 关于 的反射点，当 最小时，可得 与 相切，切点为 ，记
的中点为 ，记 与 轴的交点为 ，连接 ， ，证明 ， ，求解
，可得 ，设 ，利用勾股定理建立方程组可得 ，可得
；②由①得： ．
【小问1详解】
解：如图，∵ 与原点重合，而 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 不是点 关于 的反射点；
如图，∵ ，
当 时， ，
∴ 是点 关于 的反射点；
如图，当 过圆心 时， 最长，此时 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ 不可能在 上，
∴ 不是点 关于 的反射点；
【小问2详解】
设 ，则 ，
∵ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ，
由新定义可得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
由反比例函数的性质可得： 或 ．经检验符合题意.
【小问3详解】
①如图，点 是点 关于 的反射点，当 最小时，
∴ 与 相切，切点为 ，记 的中点为 ，记 与 轴的交点为 ，连接 ， ，
则 ， ，
∵直线 为 ，
∴当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ， ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，设 ，
∴ ，
解得： ，（不合题意的根舍去），
∴ ，
∴ ；
②由①得： ．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的应用，勾
股定理的应用，一元二次方程的解法，切线的性质，新定义的含义，理解新定义的含义，熟练的利用数形
结合的方法解题是关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
