文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体
【答案】A
【解析】
【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．
【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．
2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导
工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的
位数，据此解答即可．
【详解】解：0.0000625用科学记数法表示为 ，
故选C．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴．有理数减法，绝对值的计算，根据数轴可得 ， ，据此
逐一判断即可．
【详解】解：由题意得， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴四个选项中只有B选项正确，符合题意；
故选：B．
的
4. 如图， ， ， 平分 ，若 ，则 度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，由角平分线定义得到 ，由平行线的性质即可
得到答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：D
5. 一组数据的方差为 ，将这组数据中的每一个数都减去 ，得到一组新数据，其方差为 ，则
与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即
方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不
变，即数据的波动情况不变．
【详解】解： 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减
去）这一个常数，方差不变，
，
故选：B．
6. 已知 ，则代数式 的值为（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将 变形为 ，再把
变形为 ，然后整体代入即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又
．
故选：A．
7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 出现 种
可能，那么事件 的概率 ．
画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率
是 ．
故选B．
8. 如图1，在菱形 中， ，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段 运动到
点P，再沿线段 运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x， ，表示y与x的函数关系
的图象如图2所示，则菱形 的边长是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线 上， ， ，设
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，则 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，
当x从0到4时，
∴
∵四边形 是菱形
∴点P在对角线 上
∴由图象可得， ，
∴
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴设 ，则
∴
∴
∴在 中，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得 ，负值舍去
∴
∴菱形 的边长是 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含 角直角三角形的性质等知识，解
题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线 上．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，代入求解即可．．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
【详解】∵代数式 有意义，
∴
∴ ．
故答案为： ．
10. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 方程组 的解为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
根据方程组中 的系数的特点， 可求出 的值，再把 代入①即可求解．
【详解】解： ，
得， ，
，
，
把 代入①得， ，
，
∴原方程组的解为 ，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象位于第二、四象限，且点 ，
都在该图象上，则 ____________ ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先判定 ，再判定点 在第四象限， 在
第二象限，从而可得答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点位于第二、四象限，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 在第四象限， 在第二象限，
∴ ，
故答案为： ．
13. 4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100
名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成
绩不低于90分的人数为____________名．
【答案】450
【解析】
【分析】本题考查了以样本估计总体的方法，通过样本100名学生中成绩不低于90分的学生占比直接乘以
学生总数，便可估计出总体学生中成绩不低于90分的学生数量．
【详解】解：由扇形图可知：成绩不低于90分的人数占抽取人数的 ，
则1000名学生中，估计成绩不低于90分的人数为： （名），
故答案为：450．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
14. 如图，在 中，E是 上一点， ， 的延长线与 的延长线相交于点F，若
，则 的长为____________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到 ，推
出 ，得到 ，即可求出 ，即可求出 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
15. 如图，在 中， ．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线 ．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，大
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
于 的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线 ，与射线 相交于点P．
③连接 ．
根据以上作图，若点P到直线 的距离为1，则线段 的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作
，垂足分别是D、E、F，证明四边形 是正方形即可求出．
【详解】解：作 ，垂足分别是D、E、F，
由题意得： 平分 ， 平分 ，点P到直线 的距离为1，
，
，
四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
故答案为： ．
16. 甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数 （ ）的三张卡片中各拿一张，
获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做
了 次游戏后，甲共获得 颗糖果，乙共获得 颗糖果，丙共获得 颗糖果，并且知道在最后一
次游戏中，丙拿到的是写有整数 的卡片，那么 的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上
写有的整数是____________．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的
关键．
根据题意可得 ， ，结合 均为正整数，可确定 的取值范围，
再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解．
【详解】解：根据题意得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，且 为正整数，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，
∵ 是正整数，
∴ 为正整数，
∴当 时， ，
∵丙共获得 颗糖果，且丙的卡片上写的是正数，
∴丙在前两次获得的糖果为 颗，
∵甲共获得 颗，乙共获得 颗，
∴前两次中，甲共获得 颗，乙获得 颗，
∴前两次丙比乙多获得的糖果数为 （颗），
∵丙第一次获得糖果数至少为 ，
∴第一次乙获得糖果数至少为 （颗），即 ，
∵乙三次共获得 颗，
∴乙第一次获得糖果数至少为 ，即 ，
∴乙第一次获得糖果数为 ，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简以及去绝对值，正确计算是解答本
题的关键．
先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简二次根式以及去绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式的解集是 ，其中所有负整数解为 ，
【解析】
【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．
先解出不等式的解集，再求其负整数解．
【详解】解： ．
移项得， ．
合并同类项得， ．
系数化为1得， ．
所以原不等式的所有负整数解为 ， ．
19. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1） ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）取 ，此时 ， ．（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值
范围是解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案；
（2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：依题意，得 ．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴ ．
即 ．
∴ ．
【小问2详解】
取 ．
此时方程为
解得 ， ．
20. 如图，在 中，点E，F分别在 ， 上，且 ， 平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求证： 是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理；
（1）根据平行四边形的性质可知 ， ，再证明四边形 是平行四边形．然后推出
，即可得出结论；
（2）利用勾股定理的逆定理推出 ，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是菱形．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是矩形．
21. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使
用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是
亩．
由题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 ，与函数 的图象交于
点 ．
（1）求m的值和函数 的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函
数 的值，直接写出k的取值范围．
【答案】（1） ，函数 的解析式为 ；
（2） 且 ．
【解析】
【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基
本性质是解题关键．
（1）把 代入 ，求出m，把 ， 代入 ，求出a、b即可；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）可判断 经过顶点 ，再由当 时，对于 x 的每一个值，函数
的 值 大 于 函 数 的 值 ， 且 小 于 函 数 的 值 ， 得 出 函 数
夹在 和 之间，且在 右边，即可求解．
【小问1详解】
解：∵函数 的图象经过点 ，
∴ ．
∵函数 的图象经过点 ， ，
∴
解得
∴函数 的解析式为 ．
【小问2详解】
解：∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于
函数 的值，
∴ 且 ．
23. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为
了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并
对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组： ， ，
， ）：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
b．七年级学生的成绩在 这一组的是：
80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89
c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均
中位数 众数
数
七年级 84.2 m n
八年级 84.6 87.5 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）估计七、八两个年级成绩在 的人数一共为______；
（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为 ，把八年级抽取的20
名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为 ，比较 ， 的大小，并说明理由．
【答案】（1）86.5，87；
（2）126； （3） ，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是
解题的关键．
（1）根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）根据样本估计总体的方法求解即可；
（3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在 的人数判断出 ， 的大小，进而比较即可．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵一共抽取20名学生
∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数
∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87
∴ ；
抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多
∴众数 ；
【小问2详解】
（人）
∴估计七、八两个年级成绩在 的人数一共为126人；
【小问3详解】
∵七年级抽取的20名学生的成绩在 的有4人
∴排名第5的学生的成绩 中最高成绩，
∴
∵八年级抽取的20名学生的成绩在 的有6人
∴排名第5的学生的成绩
∴ ．
24. 如图， 是 的直径，点C在 上， 的平分线交 于点D，过点D的直线
，分别交 ， 的延长线于点E，F．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键；
（1）连接 ．证明 ， ，可得 ，进而得到结论；
（2） 先推出 ，再在 中，由 ，列出比例式即可求解
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的
∵ 是 直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴直线 是 的切线．
【小问2详解】
解：∵ ，
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
在 中， ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
25. 如图，在矩形 中， ， ，点P是 边上一动点，连接 ，过点P作
的垂线与 ， 分别相交于点E，F．
小明根据学习函数的经验对线段 ， ， 的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段 ， ， 的长度的几组值，如下
表：
位 位 位 位 位 位 位 位 位 位置 位置
置1 置2 置3 置4 置5 置6 置7 置8 置9 10 11
0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0
0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0
0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0
在 ， ， 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是
这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且 时， _____ （结果精确到
0.1）．
【答案】（1） ， ， ；
（2）①2.2；②见解析；
（3）1.9．
【解析】
【分析】（1）由函数的定义可得答案；
（2）①如图，当 时，则 是 的中点，此时 重合，过 作 交 于 ，交
于 ，证明 ， ， ，再进一步解答可得答案；②先描点，
再用光滑的曲线连接即可；
（3）结合函数图象可得答案．
【小问1详解】
解：在 ， ， 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个
自变量的函数；
【小问2详解】
①如图，当 时，而 ， ，
∴ 是 的中点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
此时 重合，
过 作 交 于 ，交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②描点画图如下：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问3详解】
由函数图象可得：当 时， ；
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比
例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ．
（1）① ____________（用含a的式子表示）；
的
②当 时，求该抛物线与x轴 公共点的坐标；
（2）已知点 ， ， 在该抛物线上，若 ，比较 ， ， 的大小，并说
明理由．
【答案】（1）① ；② ；
（2） ，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函
数的基本性质是解决函数问题的关键．
（1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可；
②首先根据 求出 ，然后得到抛物线解析式为 ，然后令 求解即可；
（2）根据二次函数的图象和性质求解即可．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
①对称轴为直线 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴令 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线与x轴的公共点的坐标为 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 关于 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
27. 在 中， ， ，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段
，连接 ， ．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求 的度数；
（3）作 于点E，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图形见解析；
（2） ；
（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练
掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据等边对等角和三角形内角和定理得 ，则 ，即可得
到 ．进一步即可得到答案；
（3）作 ，交 于点F．证明 ．再证明 ，得到 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， ，即可得到结论．
【小问1详解】
补全图形，如图所示：
【小问2详解】
解：根据题意，可知 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
【小问3详解】
．
证明：作 ，交 于点F．
∴ ．
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴
．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和点 ，给出如下定义：若 是
直角三角形，称点 是弦 的“关联点”．
（1）如图，已知点 ， ，在点 ， ， 中，是弦 的“关联点”的
是____________；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）已知 的直径 的“关联点” 在 轴上， 有一边与 相切，设点 ，当
时，直接写出点 的纵坐标 的取值范围；
（3）点 在 上， 轴， ，已知点 ， ，若线段 上存在一点 是
的弦 的“关联点”，且 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由图可知 是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可
得到 不是直角三角形； 是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案；
（2）根据题意，作出图形，如图所示，当点 ， 时， ，则 ，解得
或 ；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案；
（3）根据新定义可得 点是 为直径的圆上的一点，根据题意求得 的最大值为 ，进而分 在
轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示， 是直角三角形，
由“关联点”定义可知， 是弦 的“关联点”；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
点 ， ， ，
， ， ，
，
不是直角三角形，由“关联点”定义可知， 不是弦 的“关联点”；
点 ， ， ，
， ， ，
，即 ，
是直角三角形，由“关联点”定义可知， 是弦 的“关联点”；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：如图所示：
当点 ， 时， ，则 ，解得 或 ；
设 轴上的 ， ，即在 轴正半轴时，
若 ，此时 ， 是直角三角形时，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 ，则 ，则 ，解得 ，即
，此时 取到最大值；
若 ，此时 ， 是直角三角形时，根据对称性 ；
若 ，此时 ， 是直角三角形时，则 (此时 重合)，此时 最小；
；
设 轴上的 ， ，即在 轴负半轴时，
若 ，此时 ， 是直角三角形时，
当 ，则 ，则 ，解得 ，即
，此时 取到最小值；
若 ，此时 ， 是直角三角形时，根据对称性 ；
若 ，此时 ， 是直角三角形时，则 ，此时 取到最大值；
；
综上所述，点 的纵坐标 的取值范围 或 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【
小问3详解】
解：由题意可知，当 为直径时，满足题意，则 最大值为 ；
当 在 轴下方时，如图所示，设以 为直径的圆与 相切于点 ，则当 和点 重合时，
，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵ ，则
∵ ，即
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得： 或 （舍去）
当 在 轴上方时，如图所示
同理可得
又∵ ，
∴
解得： 或 （舍去）
综上所述， ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
