文档内容
10.2 圆的方程（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 圆的方程
【例1-1】（2021白云期末）已知圆 的方程为 ，则圆心 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 的坐标为 . 故答案为：A.
【例1-2】（2022成都）已知圆 的圆心在直线 上，且圆 与 轴的交点分别为
，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意设圆心坐标为 ，
再由圆 与 轴的交点分别为 ，可得 ，解得 ，
则圆心坐标为 ，半径 ．该圆的标准方程是 ．故答案为：B．
【一隅三反】
1．（2022·江西模拟）设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程 表示圆，则 ，解得： ；
， ， 甲是乙的充分不必要条件.故答案为：A.
2．（2022和平）圆心在 轴上，半径为2，且过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设圆的标准方程为 ， 将 代入，求得 ，
则圆的标准方程为 ，故答案为：B.
3．（2022杭州）过点（7，-2）且与直线 相切的半径最小的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则以 为直径的圆为直线 相切的半径最小的圆，其中 ，设 ，
{b+2 2
× =−1 {a=3
则 a−7 3 ，解得： ，
b=4
2a−3b+6=0
故 的中点，即圆心为 ，即 ，
故该圆为 故答案为：B
考点二 直线与圆的位置关系
【例2-1】（2022高二下·玉溪期末）已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 ，
故直线 的方程为 ，即 。故答案为：A.
【例2-2】（2022·温州）已知直线 与圆 有两个不同的交点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 与圆 有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，故答案为：B.
【例2-3】（2022·柳州模拟）已知直线 与圆 相交于A，B两
点 ，则k＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心C（2，1） ， 半径r=2，
所以圆心C（2，1）到直线 的距离 ，
而 ，所以 ，解得： .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·秦皇岛二模）直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将圆的方程化为： ，则圆 的圆心为 ，半径为4，因为圆心到
直线 的距离为： ，所以直线 被圆 截得的弦长为 . 答案为：B.
2．（2022·呼和浩特模拟）直线l： 与函数 的图象有两个公共点，则k的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线l： 过点 ，
函数 变形为 其图象如图所示：
由图象知： ， ，
因为直线l： 与函数 的图象有两个公共点，
所以 ，故答案为：C
3．（2022·贵阳模拟）已知直线 和 与圆 都相切，则圆
的面积的最大值是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
【答案】A
【解析】由题， 互相平行，且 ，故圆 的直径为 间的距离，令 ，则 ，
，故当 ，即 时 取得最
大值 ，此时圆 的面积为 故答案为：A
4．（2022·鞍山模拟）（多选）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l：
上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
【答案】B,D
【解析】圆C： 得圆心 ，半径
∵圆心 到直线l： 得距离 ∴直线l与圆C相离
A不正确，B符合题意；
C不正确，D符合题意；故答案为：BD．
考点三 圆与圆的位置关系
【例3-1】（2022高一下·汉中期中）已知 ，
，那么它们的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【答案】C
【解析】 方程可化为 ，得 ， ，
方程可化为 ，得 ， ， ，
，故两圆相交。故答案为：C.
【例3-2】（2022·吉林模拟）已知两圆方程分别为 和 ．则两圆的公切
线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】两圆的圆心分别为 和 ，半径分别为2和3，圆心距 ，则两圆外
切，公切线有3条． 故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆 与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆 与x轴相切，则
B．若 ，则圆 与圆 相离
C．若圆 与圆 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线 与圆 始终有两个交点
【答案】B,D
【解析】因为圆 ，
所以若圆 与x轴相切，则有 ，A不符合题意；
当 时， ，两圆相离，B符合题意；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 ，
C不符合题意；
直线 过定点 ，而 ，故点 在圆
内部，所以直线 与圆 始终有两个交点，D符合题意.
故答案为：BD
2．（2022·徐汇期末）已知圆 和圆 内切，则m
的值为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 ，解得 .故答案为： .
3（2022广安期末）若圆 平分圆 的周长，则直
线 被圆 所截得的弦长为 ．
【答案】6
【解析】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆 的圆心，所以
即 ，又 ，所以
到直线 的距离所以直线 被圆 所截得的弦长为 故答案为：6
考点四 切线问题
【例4-1】（2022·天津市模拟）过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（
）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】
即 在圆上则过 点的切线方程为
整理得 故答案为：C
【例4-2】（2022·湖北模拟）若圆 关于直线 对称，则从点
向圆 作切线，切线长最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由圆 ，可得 ，
∴圆心 ，又圆 关于直线 对称，
∴ ，即 ，由点 向圆 所作的切线长为：
，
即切线长最小值为4.故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022·朝阳模拟）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】由圆心为 ，半径为 ， 斜率存在时，设切线为 ，则 ，
可得 ，所以 ，即 ，
斜率不存在时 ，显然不与圆相切；综上，切线方程为 .故答案为：C
2．（2022·广西模拟）过圆 上一点A作圆 的切线，切点为B，则 的最
小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆 与圆 的圆心分别为O，C，则 ，当
最小时， 最小，由于点A在圆O上，则 的最小值为 ，所以 的最小
值为 . 故答案为：B.
3．（2022高二下·番禺期末）写出与圆 和圆 都相切的一条切线方程
.
【答案】y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半
径为4， 圆心距为 ，所以两圆外切，如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为y=1，
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，
则 到 的距离 ，解得 （舍去）或 ，所以 ，
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上任取一点 ，设其关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
则 ，所以直线 ，即24x+7y+25=0，
综上所述，切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。
故答案为：y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。
