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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市怀柔区 2024 届中考数学 5 月三模试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，属于应知应会题型，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题关键．乘积
为1的两个数互为倒数，据此即可解答．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：B．
2. 2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人
飞船与长征二号 遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度近60米．将400000用科学记
数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：C．
3. 下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完
全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自
身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，直线 、 相交于点 ， 平分 则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为 是解题的关
键．
先由对顶角性质求得 ，再根据角平分线的定义求出 ，再根据邻补角之和为 计
算，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ 平分 ，
，
，
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故选：C．
5. 不透明的盒子中装有3个小球，每个小球上面写着一个汉字分别是“向”、“前”、“冲”，这3个小
球除汉字外无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其汉字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，
记录其汉字，则两次都摸到“冲”字的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是列表法或画树状图求解概率，根据题意列出表格即可求解．
【详解】解：根据题意列表如下：
向 前 冲
向 向，向 前，向 冲，向
前 向，前 前，前 前，冲
冲 向，冲 前，冲 冲，冲
共有9种等可能得情况，其中两次都摸到“冲”字的情况有1种，
则两次都摸到“冲”字的概率是： ，
故选：D．
6. 如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵
∴
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．
故选：A．
7. 在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币 元、 元、 元、 元和
元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是（ ）
A. 捐款金额越高，捐款的人数越少
B. 捐款金额为 元的人数比捐款金额为 元的人数要少
C. 捐款金额为 元的人数最多
D. 捐款金额为 元的人数最少
【答案】C
【解析】
【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每个项目的数据，
再做比较．从条形图中得出捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数，再进
行判断．
【详解】解：由图知，捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数分别是2，
5，11，5，6．
选项 、 、 是错误的，正确的是 ，捐款金额为300元的人数最多是11人．
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故选： ．
8. 2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点
项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用
塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边
形，面积约为 ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：
， ， ， ）
A. 5.2m B. 4.8m C. 3.7m D. 2.6m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
设正五边形的中心为 ，连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，根据正五边形的性质可得
， 的面积 ，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得： ，
，从而设 ，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出
的长，最后列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：设正五边形的中心为 ，连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ，
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， 的面积 正五边形的面积 ，
， ，
， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
，
解得： ，
，
该正五边形的边长大约是 ，
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
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【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式 ，进而利用平方差公式分
解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
10. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．据此即可解
答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
11. 化简： 的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法．根据同分母的分式的加减法运算法则进行计算．
【详解】解：
原式
故答案为： ．
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12. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将
调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________
人．
每周课外阅读时间x
（小时）
人数 6 9 13 12
【答案】300
【解析】
【分析】本题考查了频数（率 分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的
组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本
估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解： （人），
估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．
故答案为：300．
13. 如图，点A，B，C，D在 上， ， ，则 _________．
【答案】 ##100度
【解析】
【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待
求角度集中在同一个三角形内．
利用同弧上的圆周角相等得到 ，然后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两
点，并且过 和 ，则点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关
键 是 明 确 题 意 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 解 答 ． 根 据 点 和 在 二 次 函 数
的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数 的
图象与 轴交于 ， 两点和二次函数的性质，即可得到点 的横坐标，从而可以写出点 的坐标．
【详解】解： 点 和 在二次函数 的图象上，
该函数图象的对称轴为直线 ，
二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
点 的横坐标为： ，
点 的坐标为 ，
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故答案为： ．
15. 汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，下图描述了A，B两辆汽车在不
同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是__________．
①消耗1升汽油，A车最多可行使5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后
把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【详解】解：①由图象可知，当A车速度超过40千米时，燃油效率大于 ，所以当速度超过40千米
时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40千米， ，最多消耗4升汽油，
此项正确；
③对于A车而言，行驶速度在 时，越快越省油，故此项错误；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更
省油，故此项正确．
故②④合理，
故答案为：②④．
16. 如图 中， ， ， ， ，O为 的中点，若点D为直线
下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， ，则 的长
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为 ；②若 ，则 的最大值为 ；③若 ， 与 相交于E，则点E不一定是
的重心；④若 ，则当 时， 取得最大值．其中正确的结论是
______．
【答案】③④
【解析】
【分析】本题主要考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，采用分类讨
论和数形结合的方法是解题的关键．
当 时， 取得最大值，根据已知数据，结合勾股定理，求得 的长，即可求解；
如图，若 ，根据相似三角形的性质求得 ， 进
而求得 ，即可求解；有3种情况，分别画出图形，得出 的重心，即可求解；如图，根据相似
三角形的性质得出 ，在 中， ，根据二次函数的性质，即可求出最终
结果．
【详解】当 ，如图， 取得最大值， ，
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，
，
故②错误．
如图，若 ，
，
，
，
，故①错误．
有3种情况，如图1， 和 都是中线，点 是 的重心；
如图2，四边形 是平行四边形， 是 中点，点 是的 重心；
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如图3，点 不是 中点，所以点 不是 的重心；故③正确；
如图， ，
，
即 ，
在 中， ，
，
，
当 时， 最大为5，故④正确．
故答案为：③④．
三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是
解答本题的关键．先求出特殊角的三角函数值、幂的运算并对绝对值、二次根式化简，再进行计算即可．
【详解】
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．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是分数的混合运算．
将 化简为 ，再整体代入，求值．
【详解】解：原式
，
，
原式 .
19 解不等式组： ．
.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 ．
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20. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像经过点 和 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点 结合图象即可求得．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：把 代入 ，求得 ，
∴函数 与一次函数 的交点为 ，
把点 代入 ，求得 ，
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当两直线平行时， ，
如图，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
∴ ．
21. 如图，在平行四边形 中， ，延长 到点E，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据 ，即可由矩形的判定定理得出结
论．
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（2）解 ，求得 再由矩形的性质得 然后在 ，由勾
股定理求解即可．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
，
，且 ．
四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：连接 ，
在 中，
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四边形 是矩形
在 中，
【点睛】本师生考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握
平行四边形的判定与性质与矩形的判定与性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，
使点P关于直线 的对称点 在图形M上，则称P为图形M的关联点．
（1）如图，点 ， ．在点 ， ， 中，线段 的关联点是
______；
（2）已知点 ， 的半径为2，点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐
标 的取值范围；
（3） 的圆心为 ，半径为3，x轴上存在 的关联点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
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（3）
【解析】
【分析】（1）点 关于直线 的对称点是点A，点 关于直线 的对称点是线段 的中点，故
是线段 的关联点；
（2）由题意得 ，则以O为圆心， 为半径的圆要与 有公共点即 ， 的中垂线
与 有交点即点Q，则 ，即 ，①当点P在第一象限时，当 时，
内切于x轴正半轴，切点为点 ，则 ；当 时， 内切于x
轴负半轴，切点为点 ，则 ，因此 ，当点P在第三象限时，同理可求
；
在
（3）当 ， 与 相切时， 最大，能让点 落 x轴上，当点 落在x轴负半轴时，设
，则 ，可得 ，则 ，
此时 ，当点 落在x轴正半轴时，可求 ，因此t的取值范围是 ．
【小问1详解】
解：如图，作直线 ， ，
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由图可知：点 关于直线 的对称点是点A，点 关于直线 的对称点是线段 上的点 ，
所以线段 的关联点是 、 ，
故答案为： ， ；
【
小问2详解】
解：由题意得 ，则以O为圆心， 为半径的圆要与 有公共点即 ， 的中垂线 与
有交点即点Q，
∴满足 ，
∴ ，
解得： ，
①当点P在第一象限时，
当 时， 内切于x轴正半轴，切点为点 ，如图：
过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设 ，
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则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， 内切于x轴负半轴，切点为点 ，如图：
∴
∴当 时，满足条件；
②当点P在第三象限时，同理可求 ，
综上所述，若P为 的关联点，点P的横坐标 的取值范围为： 或 ；
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【小问3详解】
解：由题意得 ，
先定点Q和 ，当点P向下运动，点 越靠近x轴，即 尽可能大，因此当 与 相切符合
题意，如图：
∵ 与 相切时，点T到 的距离最大，由 不变，得到 最大，则 最大，
∴ 最大，
∴第一个满足的约束条件是 与 相切，
定点P和 ，则当点Q向下运动时，点 越靠近x轴，即 要尽可能大，同上可得当 与
相切时， 最大，
∴第二个满足的约束条件是 与 相切，
∴当 ， 与 相切时， 最大，
当点 落在x轴负半轴时，如图：
∵ ，
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∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当点 落在x轴正半轴时，如图：
同理可求 ，
∴ ，
∴t的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系， 角的直角三角形的性质，圆
与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制
变量”，找出临界状态．
23. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，
每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括 张长桌、 张中桌和 张小桌，它们的宽都相同．七张
桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧
板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张
桌子桌面的总面积为 平方尺，则长桌的长为多少尺？
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为 尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求
解．
【详解】解：设每张桌面的宽为 尺，
根据图形可得：小桌的长为 尺，中桌的长为 尺，长桌的长为 尺，
故可得 ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
答：长桌 的长为 尺．
24. 如图， 为 的直径，点C在 上， ，直线 于点D，交AB的延长
线于点F．
（1）求证：直线 为 的切线；
（2）当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
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【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据平
行线的性质得到 ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）设 ，则 ， ，根据勾股定理得到 ，根据相
似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 为 的切线；
【小问2详解】
解： ，
，
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设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的
判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基
本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量
数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下
列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是_____；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
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（4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受
基本价格？
【答案】（1）100；
（2）见解析； （3） ；
（4） 万户．
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基础的统计知识
是解本题的关键．
（1）由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可；
（2）先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可；
（3）由 乘以15吨～20吨这部分的百分比即可；
（4）由总人数乘以25吨（含）以下这部分的百分比即可．
【小问1详解】
解： ，
∴此次抽样调查的样本容量是 ；
【小问2详解】
（户），
补全图形如图所示
．
【小问3详解】
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，
答：“15吨-20吨”部分的圆心角度数为 ；
【小问4详解】
（万户）
答：该地7万用户中约有 万户居民的用水全部享受基本价格．
26. 某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗
杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°．已知小明和小军的距离BD＝
6 m，小明的身高AB＝1.5 m，小军的身高CD＝1.75 m，求旗杆的高EF．（结果精确到0.1，参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
【答案】10.3米
【解析】
【详解】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
则MN＝0.25米．
∵∠EAM＝45°，
∴AM＝ME．
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设AM＝ME＝x米，
则CN＝（x＋6）米，EN＝（x－0.25）米．
∵∠ECN＝30°，
∴ ，
解得x≈8.8，
则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3（米）．
∴旗杆的高EF约为10.3米．
27. 如图，已知抛物线 的图象经过点D， ，C是 的中点，P是拋物线
上的一个动点，连接 ，设点P的横坐标为n．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接 ，当四边形 面积最大时，求n的值；
（3）如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使 ，若存在，直接写出所有符合条件的点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）根据 ， ，求出 ． 再根据 是 的中点，求出
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，用待定系数法求解即可；
（2）过 作x轴垂线交 于 ，求出设直线 解析式，由 ， 得
，表示出 ，再根据 表示出四边形面积，根据二次函数最值
求解即可；
（3）分为①当点Q在y轴上时，使 ，根据 ，求出 ，过点D作
轴交y轴于点H，根据平行线性质得出 ，再根据 ，得出
，得出 ，根据 ，求出 ，即可求出点Q的坐标；
②当点Q在x轴上时，使 ， 延长 交x轴于点F，过点D作 轴交x轴于点G，证
明 ，求出 ，再根据 ，证明 ，根据相似三角形的
性质求出 ，从而求出 ，即可求出点 的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
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∵ 在 的图象上，
，
得 ，
．
【小问2详解】
过 作x轴垂线交 于 ，
设直线 ，即 ，
解得： ，
故解析式为： ，
由 ， 得 ，
，
，
当四边形 面积最大时， ．
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【小问3详解】
解：①当点Q在y轴上时，使 ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 轴交y轴于点H，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据（1）得 ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
②当点Q在x轴上时，使 ，
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延长 交x轴于点F，过点D作 轴交x轴于点G，
则 ，
则 ， ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
∴点 的坐标为 ，
综上， 或 ．
【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，
相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理
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解题意，数形结合．
28. 在 中， ， ，点D，E是 边上的点， ，连接 ．
过点D作 的垂线，过点E作 的垂线，两垂线交于点F．连接 交 于点G．
（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出 与 之间的数量关系；
（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，
①补全图形；
② 与 在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段 之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）①见解析；② 仍然成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等：
（1）由三线合一定理可得 ，再由 ，得到 三点共线，
即可得到 ；
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（2）①根据题意画图即可；②过点A作 于H，则 ，先证明 ，
再证明 ，进而证明 ，得到 ，则 ，即
；
（3）将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，由旋转的性质可得
，证明 ，得到 ，由勾股定理
得 ，即可得到 ．
【小问1详解】
解：∵在 中， ， ，点D与点B重合， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 三点共线，
∴ ；
【小问2详解】
解：①如图所示，即为所求；
② 仍然成立，证明如下：
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如图所示，过点A作 于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【小问3详解】
解：如图所示，将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
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