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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三年级数学学科中考考前适应性练习
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 正方体
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，根据三视图的形状即可判断．
【详解】A、三棱柱的主视图、左视图、俯视图中，有两个是长方形，一个是三角形，故此选项符合题意；
B、三棱锥的主视图、左视图、俯视图都是三角形，故此选项不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，故此选项不符合题意；
D、正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 2024年是中国探月工程20周年，嫦娥六号任务探测器搭乘长征五号运载火箭奔赴与地球相距约为
380000公里的月球，首次执行月背采样任务．将380000，用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法． 科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 如图，直线 交于一点， ．若 ，则 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直的定义可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据对顶角相等可
得 ．
【详解】解：如图，
， ，
，
∴ ，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线 的定义，平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解
题的关键．
根据 对应的点在数轴上的位置得到 ，然后逐一判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，故A选项错误；
∴ ，故B选项错误；
∴ ，故C选项错误；
∴ ，故D选项正确；
故选D．
5. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的定义以及
轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项A正确；
B、不是轴对称图形但是中心对称图形，故选项B不正确；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C不正确；
D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不正确；
故选：A．
6. 半径为1的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】本题主要考查了圆与正多边形．根据题意可以求得半径为1的圆内接正三角形，正六边形的边心
距，从而可以求得它们的比值．
【详解】解：如图，过点O作 于点D，连接 ，
∵ 是正三角形，且是半径为1的圆O的内接正三角形，
∴ ，
∴ ；
如图，过点A作 于点D，连接 ， ，
∵六边形半径为1的圆的内接正六边形，
∴ ， ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为 ．
故选：C
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7. 某校篮球社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表：
1
年龄（单位：岁） 13 15 16
4
1
频数（单位：名） 8 x
2
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数 B. 众数，中位数 C. 众数、方差 D. 平均数、方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、
中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知
总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
的
【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁 频数和为 ，
则总人数为： ，
故该组数据的众数为14岁，中位数为： ＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；
故选：B．
8. 如图，正方形 ， ，连接 ， 交于点O，并分别与边 ， 交于点F，E，
连接 ，下列结论中正确的结论序号是（ ）
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① ；② ；③ ；
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，
先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得
，然后根据角的和差可得 ，由此可判断结论①正确；先根据相似三角形的判
定可得 ，再根据相似三角形的性质可得 ，从而可得 ，假设
，从而可得 ，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得 ，最后在
中，根据 得出 ，由此得出矛盾，即可判断结论②错误；先根据三角形全等
的判定定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得判断结论③
正确．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
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，
，
，
，故①正确；
，
，
，即 ，
假设 ，则 ，
垂直平分 ，
，
又 在 中， ，
，这与 相矛盾，
则假设不成立，故②错误；
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
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，
即 ，故③正确；
即正确的有：①③，
故选：B．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：
10. 已知一个扇形的面积是 ，弧长是 ，则这个扇形的半径为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积公式 ，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案．
【详解】解：∵一个扇形的面积是 ，弧长是 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
11. 方程 的解为_________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，进行计算求解并检验即可得到答案．
【详解】解：去分母得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
12. 如图，在平行四边形 中，点M为边 的中点， 与 相交于点N，已知 ，那
么 等于_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，根据点 为 的中点，得出
，根据平行四边形 性质，得出 ， ，可证 ，利
用相似三角形性质得出 ，根据等高三角形面积比得出 即可．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
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在平行四边形 中 ， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
13. 经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这
个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率 所求情况数与总情
况数之比求解；
此题可以采用列表法或树状图求解,可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转的有2种情况，
根据概率公式求解即可．
【详解】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的
可能性相等，
两辆汽车一辆左转，一辆右转）
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故答案为： ．
14. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于两点 ，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线 与双曲线 交于两点
，得出 ， ，再解方程 ，即可作答．
【详解】解：∵直线 与双曲线 交于两点
∴
则 ，
∴
整理得
∴
当 时，则 ，此时 ；
当 时，则 ，此时 ；
故答案为：
15. 如图，点P为圆外一点，过点P作 的切线 、 ，A，B为切点．点C为 上一点，若
，则 的度数为_________ ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接 ， ，由切线的性质定理得到
， 求 出 ， 由 圆 周 角 定 理 得 到
．
【详解】解：连接 ， ，
， 分别切圆于 、 ，
半径 ，半径 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分
8 31 11 6 17
钟）
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：
① ；② ；③ 中，经济损失最少
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的是_________（填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元．
【答案】 ①. ② ②. 1040
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断
即可；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算
即可．
【详解】解：（1）①总停产时间： 分钟，
②总停产时间： 分钟，
③总停产时间： 分钟，
∴经济损失最少的是②，
故答案为：②；
（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，
分钟，
（元）
故答案为：1040．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的混合运算及实数的混合计算，
先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】
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．
18. 解不等式组：
【答案】不等式组的解集为 .
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①得： ，∴
解不等式②得： ，∴
∴不等式组的解集为
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分
解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再将 变形为 ，代入求值即可．
【详解】解：
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，
，
∴
．
20. 如图，矩形 ，过点B作 交 的延长线于点E．过点D作 于F，G为
中点，连接 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于
斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为是矩形，所以 ，结合 ，证明四边形 是平行四边形，即可作答．
（2）根据勾股定理得出 ，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的
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一半，即 ，进行作答即可．
【小问1详解】
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，四边形 是矩形，
∴
∵ ，G为 中点，
∴
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关
键．
（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【小问1详解】
证明： ，
∵
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，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴ ．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 经过点 ， ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出m的
取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象过点 ， ，
∴把 代入得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式 ；
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【小问2详解】
解：由（1）得：一次函数的解析式 ，
当 时， ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
把 代入 得： ，
∴ ，
解得： ．
当直线 与 平行时， ，此时函数 的值大于一次函数 的
值，
∴
23. 为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生共20位，对其同一天的睡眠
时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生
.
5. 7 7. 7. 7. 8. 8. 8. 9.
9
5 2 5 8 9 2 4 5 1
9. 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9.
1 1 2 3 5 5 6 8 9 9
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女生
7. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8.
9 9
8 2 5 5 6 8 8 9
9. 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9.
9 9
2 2 2 3 3 4 4 5
b．睡眠时长频数直方图（分组： ， ， ， ， ）；
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
年 平均 众 中位
级 数 数 数
男
8.7 m 9.1
生
女
8.9 9.0 n
生
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图，并写出表中m，n的值．
（2）若该校初二年级共有100名男生，150名女生，估计该年级学生的平均睡眠为_________小时；
（3）根据抽样调查情况，可以推断_________（填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为
__________________．
【答案】（1）补全图形见详解， ，
（2）
（3）男生；男生睡眠时长的中位数和众数都大于女生
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数和众数等统计知识，
（1）先求出男生睡眠时间： 组的人数，依此补全男生睡眠时长频数分布直方图即可；根据众数
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和中位数的定义，结合表格数据，分别列式计算即可；
（2）根据加权平均数的计算方法计算即可；
（3）根据频数分布直方图的数据集中区间进行平均数大小估计即可解答．
【小问1详解】
解：男生睡眠时间： 的人数有： ，
补全男生睡眠时长频数分布直方图如下：
结合表a，的数据可知：
∵ 出现3次，出现的次数最多，
∴男生睡眠时长的众数m为： ，
根据表的数据，可知女生睡眠时间处于中间的两个数据均为9，
女生睡眠时长的中位数为： ，
∴ ， ；
【小问2详解】
，
即估计该年级学生的平均睡眠为 小时，
故答案为： ；
【小问3详解】
男生的睡眠质量比较好，理由如下：
∵男生睡眠时长的中位数和众数都大于女生，
∴男生的睡眠质量比较好．
故答案为：男生，男生睡眠时长的中位数和众数都大于女生．
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24. 如图， 是 的直径，点P是 外一点， ，点M在 上，连接 交 于点
N，使得 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据圆周角定理得到 ，然后等量代换得到 ，然后结
合 得到 ，即 ，进而证明即可；
（2）过点M作 ，首先得到 ，设 ， ，根据勾股定理
求出 ， ，然后求出 ，然后证明出 ，得到
，求出 ，进而求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
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∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵点M在 上，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
如图所示，过点M作
∵ ，
∴
∴设 ，
∵若 的半径为5，
∴
∵ ，．即
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解得 （负值舍去）
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，即
解得
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知
识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
25. 依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别．
A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指 身高以下的
儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于
．
B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接
接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于 ，但必须低于 ．
C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或
者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量
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高于 ，但必须低于 ．
为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位： ）与浸泡时长
（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样
品中P的含量．所得数据如下：
浸泡时长 甲类衣物中P的含量（ 乙类衣物中P的含量（
（h）
） ）
0 79 80
2 32 37
4 25 31
6 21 29
8 18 28
10 17 27
12 16 27
（1）设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为 ， ，在平面直角坐标系 中，描出表中
各组数值所对应的点 ， ，并画出 ， 的图象；
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（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为 时，甲，乙两类衣物中P的含量的
差约为_________ （精确到1）：
（3）若浸泡时长不超过 ，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或
“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）甲；
【解析】
【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息：
（1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过 ，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可
能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求
【小问2详解】
解：由函数图象可知：当浸泡时长为 时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过 时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含
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量可以小于20，
∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡 ，
故答案为：甲； ．
26. 在平面直角坐标系 中， ， ， 三点都在抛物线
上，
（1）这个抛物线的对称轴为直线_________；
（2）若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关
系是解题的关键．
（1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程；
（2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且
两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可；
【小问1详解】
解：对称轴为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线 的图象开口朝上，
无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，
有两种情况满足题意，
①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意，
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即 ，
∴ ，
化简得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，
此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方，
临界情况A、B两点分别是这两个交点，
∵对称轴为 ，
∴ ，
得 ，则有： ， ，
此时 代入 ，解得 ，
∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小，
∴此时 ；
综上所述， ．
27. 在 中， ， ，点D为平面内一点．
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（1）如图1，若点D在线段 上，且 ，求 ；
（2）如图2，若点D为 内部一点，且 ，连接 ，点E为 的中点，连接 ，
用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明：
（3）若点D满足 ，当 时，请直接写出 的最值．
【答案】（1）
（2） ，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，根据平行线分线段成比例得
出 ，进而根据勾股定理可得 ，进而根据正切的定义，即可求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，证明
， ，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）以 为斜边向下作等腰直角三角形， ，以 为圆心， 为半径作圆， 是优弧上的一
点，根据题意得出 在 上，当 在 上时 取得最小值，最小值为 ，即可求解．
【小问1详解】
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解：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
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，理由如下：
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
，
是等腰三角形，
， ，
点 为 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
设 ，则 ， ，
，
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，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图所示，以 为斜边向下作等腰 ， ，
以 为圆心， 为半径作圆， 是优弧上的一点，
∴ ，
∵ ，
∴ 在 上，
∵ 等腰直角三角形， ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 在 上时 取得最小值，最小值为 ．
【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定
与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 的弦 和点 给出如下定义：若点 关于直线 的对称点在
上，且点 在弦 的垂直平分线上，则称点 是弦 的“关联点”．已知 的半径为 ．
（1）如图，点 ．在点 中，弦 的“关
联点”是_________；
（2）若点 是弦 的“关联点”，求弦 的长；
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（3）已知点 对于线段 上一点 ，存在 的弦 ，使得点 是弦 的
“关联点”记 的长为 ，当点 在线段 上运动时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） 的长为 或 ；
（3） 或 ；
【解析】
【分析】（1）由点坐标可知弦 的垂直平分线为 轴，根据新定义求出各点关于弦 对称的点坐标，
然后根据是否在 上，进行判断作答即可；
（2）由垂径定理可知，弦 的垂直平分线过圆心 ，则 为弦 的垂直平分线，点 关
于直线 的对称点为 或 ，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可；
（3）根据点 ， ，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得 的极
值即可得出 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵
∴弦 的垂直平分线为 轴，
∴ 关于直线 对称的点坐标为 ，在 上，即 是“关联点”；
关于直线 对称的点坐标为 ，不在 上，即 不是“关联点”；
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关于直线 对称的点坐标为 ，在 上，即 是“关联点”；
不在弦 的垂直平分线上，即 不是“关联点”；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：由垂径定理可知，弦 的垂直平分线过圆心 ，
∵点 是弦 的“关联点”，
∴ 为弦 的垂直平分线，
∴点 关于直线 的对称点为 或 ，
当对称点 时，直线 为 ，如图，线段 ，
为
则 ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
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当对称点为 时，直线 为 ，如上图，线段 ，
则 ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ；
【小问3详解】
解：如图，设 交 于 ，作直线 交 于点 、 ，分别作线段 、 的垂直平分线
， 交 于 、 、 、 ，垂足为 、 ，连接
当点 在线段 上时，且 为 ，
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
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∵ 垂直 ，
∴
∴
∴当 时， 取最小值， 取最小值，根据垂线短最短，当 与 重合时， 取最大值，
如图，
在 中， ，
∴ ，
当点 沿线段 运动到接近 上时， 逐渐减小，
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，
当点 在线段 上时，且 为 ，
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
∵ 垂直 ，
∴
∴
∴当 时， ， 取最小值，
∴ ，
当点 沿线段 运动到接近 上时， 逐渐增大，
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∴当 时， 取最大值，即 ，
，
当 在 上时， 为 ，
当点 与 重合时，则 与 互相垂直平分，如图，连接 ，
K
，
在 中， ，
当点 运动到点 时，如图， ，
，
综上所述， 的取值范围为 或 ；
【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称
的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键．
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