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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京二中教育集团 2023—2024 学年度第二学期
初三数学保温训练试卷
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共15页，其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷7页，答题纸6页．
全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ）
A. 四棱锥 B. 三棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查立体图形的平面展开图，涉及空间想象能力，熟记常见立体图形的平面展开图是解决问
题的关键．
【详解】解：由题中图可知，这是四棱锥的侧面展开图，
故选：A．
2. 年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞
着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至 年 月 日，电影《热辣滚烫》票房高达
亿元．数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】本题考查科学记数法的表示．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值＜1时， 是负整数，据此可得答案．正确确定 和
的值是解题关键．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断这个多边形为正多边形，其每个内角度数相等，即每个外角也相等，结合多边形外
角和360°定理解题即可．
【详解】 一个多边形每一个内角都为144°，
该多边形是正多边形，
，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、正多边形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
4. 如图，直线 ，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若
，则∠2的大小为（ ）
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A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，由两直线平行同位角相等可推导 ；根据GE⊥EF，可知
；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（
）计算∠2即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵GE⊥EF，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活
运用．
5. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数和数轴，四则运算法则，根据点在数轴上的位置，结合 ，逐一进行判断即
可．
【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ，故B选项错误；
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当 ， ，故选项C错误；
无法得到 与 的关系，故选项A错误；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故选项D正确；
故选D．
6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，不放
回并摇匀，再从剩下的三个球中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球颜色不相同的概率是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．
先画树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到的小球颜色不相同的结果，然后利
用概率公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有12种，其中，两次摸到的小球颜色不相同的结果有8种，
则两次摸到的小球颜色不相同的概率是 ，
故选：B．
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7. 已知 ，求 的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式 化简求值，将所求式子化简为 ，再把 变形为
的
，然后整体代入计算即可
【详解】解：
；
∵ ，
∴
∴原式 ，
故选：B
8. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 的横、纵坐标分别为第 名工人
上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间和加工的零件数，
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．若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于 ， ， 大小关系的表述
中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数 图的象与性质，若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取 为
中点，则 ，若连接原点 ，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即
可得到答案．分析出 的几何意义是解答问题的关键．
【详解】解：若 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 为 中点，则
，
连接原点 ，即可转化为过原点的直线 的倾斜程度，如图所示：
由过原点的直线的倾斜程度和直线与 正半轴夹角大小有关，
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，
关于 ， ， 大小关系是 ，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若分式 有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】 ；
【解析】
【分析】根据分母不等于0，即可求出答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．
10. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式 ，再利用平方差公式计算即
可．
【详解】解：
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故答案为：
11. 如果实数 满足方程组 ，那么 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数 ，将他们代值代数
式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
由① ②得 ；
将 代入②得 ；
，
故答案为：8．
12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y 的交于M（x，y），N（x，y）两点，
1 1 2 2
则x•y 的值为 _____．
1 2
【答案】−2
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐
标特点解答即可．
【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称，
∵k>0，
∴图像经过一、三象限，
y 图像也关于(0，0)中心对称，
∵2>0，
∴图像经过一、三象限，
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又∵M、N为y=kx与y 交点，
∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，
∴M(x， )，N(−x， )，
1 1
∴x y= =−2，
1 2
⋅
故答案为−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点
对称是解答本题的关键．
13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接 、
相交于点E．设小正方形的边长为1，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ，证明 ，则 ，即 ，由
求出 的值，进而可得 的值．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与
性质．
14. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的700名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭
一个月的节水情况，将有关数据整理成表，请你估计这700名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是
______ ．
节水量/ 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
【答案】840
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学
各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这700名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平
均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键．
【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为
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，
这700名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ，
故答案为：840．
15. 如图，点 在 上， ，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，若
，则 的大小为______°．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、平行线性质等知识，先由平行线的性质及圆周角定理得
到 ，再由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余求解即可得到答案，熟练掌握圆
中求角度的方法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，则 ，
故答案为： ．
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16. 现在有三个仓库 、 、 ，分别存有 吨、 吨、 吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工
厂 、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料．从每个仓库运送 吨材料到每个加工厂的成本如下表所
示（单位：元 吨）：
（ ）
（ ）
（
）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运__________吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为__________元．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运
吨到 ，
故答案为： ；
（2）解：运费如下：
（ ）
（ ）
（
）
运输方案一：
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（ ） 7
（ ） 10 2
（
3 8
）
运费为：
运输方案二：
（ ） 7
（ ） 2 10
（
3 8
）
运费为：
运输方案三：
（ ） 7
（ ） 3 0 9
（
0 10 1
）
运费为：
故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．
三、解答题（共68分，其中第17﹣21、23题每题5分，第22、24﹣26题每题6分，第27﹣
28题每题7分）
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】先由特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂分别计算，再由二次根式乘法运算
及减法运算求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次
根式的减法运算及乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
18. 解不等式组 ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】原不等式组的解集为 ，不等式组的非负整数解为0，1．
【解析】
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键．
19. 已知：如图 ．
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求作：点D（点D与点B在直线 的异侧），使得点D在 的角平分线上，且
．
作法：①分别作线段 的垂直平分线 和线段 的垂直平分线 ，直线 与 交于点O；
②以点O为圆心， 的长为半径画圆， 与 在直线 上方的交点为D，则点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ， ， ，
∵直线 垂直平分 ，点O，D都在直线 上，
∴ ， ．
∵直线 垂直平分 ，点O在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴点A，B，C都在 上．
∵点D在 上，
∴ ．（______）（填推理的依据）
∵ ，
∴ ．（______）（填推理的依据）
∴ ．（______）（填推理的依据）
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∴点D在 的角平分线上．
【答案】（1）如图，点D为所作：
（2）圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等．
【解析】
【分析】（1）根据 题干中的做法画图即可；
（2）连接 ， ， ， ， ， ，首先得到 ，然后证明出
，然后由 得到 ，即可证明出点D在 的角平
分线上．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
证明：连接 ， ， ， ， ， ，
∵直线 垂直平分 ，点O，D都在直线 上，
∴ ， ．
∵直线 垂直平分 ，点O在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴点A，B，C都在 上．
∵点D在 上，
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∴ ．（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）
∵ ，
∴ ．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）（填推理的依据）
∴ ．（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）
∴点D在 的角平分线上．
【点睛】此题考查了尺规作图，圆内接四边形性质，等弧所对的圆周角相等以及垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是掌握以上知识点．
20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：
（1）求出判别式的符号，判断即可；
（2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：证明：∵ ，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
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∴ 或 ，
解得 或 （舍去），
∴a的值为4．
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 经过点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值与函数 的值之和都大于
0，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将 代入一次函数 解方程即可得到答案；
（ 2 ） 令 函 数 ， 函 数 ， 求 出
，由题意得到 ，进而得到当 包含
时，满足题意，从而得到 ，解不等式得到 或 ；再由
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也满足题意，即可得到答案．
【小问1详解】
解： 一次函数 经过点 ，
，解得 ，
故一次函数的解析式为： ；
【小问2详解】
解：令函数 ，函数 ，
，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值与函数 的值之和都大于0，
，解得 ；且 ，解得 ；
，则 ，解得 ，
，
或 ；
当 时， ，即 满足题意；
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综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数
图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键．
22. 如图，四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，点 在 上，
且 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）根据 ， ，推出 垂直平分 ，则 ， ，
，而 ，则 ，得到 ，则
，得证；
（2）根据四边形 是菱形，可推出 、 ， ，再由勾股定理得到 ，而
，可得 ，最后根据 可求得答案．
【小问1详解】
证明： ， ，
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垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
【小问2详解】
四边形 是菱形， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
的长为5．
23. 某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：
个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析.
下面给出了部分信息.
a.实心球成绩的频数分布如表所示：
分组
频数 2 10 6 2 1
b.实心球成绩在 这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3
c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示：
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）①表中 的值为_____________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为_____________；
（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀.
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：
女生代码 A B C D E F G H
实心球 8.1 7.7 7.5 7.5 7.3 7.2 7.0 6.5
一分钟仰卧起
* 42 47 * 47 52 * 49
坐
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达
到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说
明你的理由.
【答案】（1）①9；②45
（2）① 人；②同意，理由见详解
【解析】
【分析】（1）①根据抽样调查样本数、频数的性质计算，即可得到答案；
②结合题意，根据中位数的性质计算，即可得到答案；
（2）①根据题意得30名女生中，实心球成绩达到7.2米及以上的人数，再根据用样本评估总体的性质计
算，即可得到答案；
②根据题意，分女生A、D人的仰卧起坐成绩 分和 分两种情况分析，即可得到答案．
【小问1详解】
①根据题意，得 ；
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②根据题意，30名女生中，一分钟仰卧起坐成绩的中位数
故答案为：9，45；
【小问2详解】
①根据题意，得30名女生中，实心球成绩达到7.2米及以上的人数为： 人
∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数 人
②根据题意，女生F的仰卧起坐成绩高于女生B、C、E，且这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到
了优秀
∴女生F的两项测试成绩均为优秀
假设女生A、D的成绩为优秀，则两人的仰卧起坐成绩 分
当A、D两人的仰卧起坐成绩 分时，有3人或5人两项测试成绩都达到了优秀，不符合题意；
当A、D两人的仰卧起坐成绩 分时，有5人两项测试成绩都达到了优秀，不符合题意；
∴女生A、D两人的仰卧起坐成绩 分
∴女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握频数、用样本评估总体、中位数的性质，从
而完成求解．
24. 如图， 为 的直径，点C在 上，连接 ，D为 的中点，过点C作 的切线与
射线 交于点E．
（1）求证： ；
（2）若延长 与 交于点F，若 ， ，求 的面积．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出
辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接 ，根据题意得出 ，再由圆周角定理确定 ，
根据切线的性质及等量代换即可证明；
（2）根据题意设 ，得出 ，再由相似三角形的判定和性质得
出 ，设 ，利用三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质求解即
可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵D为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径， 切 于C，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
在 中， ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，
∵D为 的中点，O为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
收费项目 收费标准
3公里以内收
13元
费
2.3 元/公
基本单价
里
… …
备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：
①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；
②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价 元，后500米计价
元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）．
（1）下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系 中，画出当 时y
随x变化的函数图象；
行驶里
0 …
程数x
实付车
0 13 14 15
费y
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（2）一次运营行驶x公里（ ）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中 ．
①当 和 时，平均单价依次为 ，则 的大小关系是______；（用“ ”连
接）
②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（ ）公里的平均单价 ，则称这次行驶的
里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）．
【答案】（1）17，18；见解析
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键．
（1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可；
（2）①根据 把 和 分别代入计算 的值，并作比较；
②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可．
【小问1详解】
根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价 元，
后500米计价 元．且计费以元为单位得出
； ；
故答案为：17，18；
补全表如图：
行驶里
0 …
程数x
实付车
0 13 14 15 17 18
费y
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【小问2详解】
①当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ；
②当 时， ，w随x的增大而减小，
∴幸运里程数 的取值范围 ，且w最小接近于 ；
当 时， ，w随x的增大而减小，
当 时，里程数x为幸运里程数，
解得 ，
∴ ；
综上： 轴上表示出 （不包括端点）之间的幸运里程数 的取值范围 或 ．
26. 已知抛物线 ．
的
（1）求此抛物线 顶点的坐标；
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（2）若抛物线 经过点 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系：
（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）令 ，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论 或 ，结合图象求解．
【小问1详解】
解： ，
∴抛物线顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
令 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
分类讨论：
（a）如图，当 时，
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，
当 时， 取最小值为 ，
所以 ；
（b）如图，当 时，
，
将 代入 得 ，
所以 ，
综上所述， 或 ．
27. 如图，在等腰 中， ．点D是边 的延长线上一点，连接 ，作点D关于
直线 的对称点E，作直线 ，交 的延长线于点F，过点E作直线 的垂线，交 的延长线于
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G、交 的延长线于H．
（1）依题意补全图形；
（2）设 ，求 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2）
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图图形即可．
（2）有等腰三角形的性质求出 的度数，进一步得出 ，由轴对称
的性质可得出 垂直平分 ，进一步得出 ， ，根据三角形的外角性质
可得出 ．
（3）在直线 上截取 ，结合已知条件可得出 垂直平分 ，由垂直平分线的性质可得出
， ，再证明 ， ，
，利用 证明 ，由全等三角形的性质可得出 ，由勾股定理得出
，等量代换可得出 ．
【小问1详解】
解：补全图形如图如下：
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【小问2详解】
在等腰 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D、点E关于直线 的对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
判断关系∶
在直线 上截取 ，
∵ ，即 ，
∴ 垂直平分 ，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质三角形外角的定义和性质，垂直平分线的性质，
全等三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于线段 ，给出如下定义：若将线段 沿着某条
直线 对称可以得到 的弦 ， 分别为 ， 的对应点），则称线段 是 的以直线 为
对称轴的对称的“反射线段”，直线 称为“反射轴”．
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（1）如图1，线段 、 、 中是 的以直线 为对称轴的“反射线段”______；
（2）如图2，已知 点的坐标为 ， 点坐标为 ．若线段 是以直线 为对称轴的“反射线
段”，画出图形，反射轴 与 轴的交点 的坐标；
（3）已知点 、 是在以 为圆心，半径为 的圆上的两个动点，且满足 ，若 是
的以直线 为对称轴的“反射线段”，当 点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴 与 轴的交
点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）作图见解析，“反射线段”为弦 时，坐标为 ；“反射线段”为弦 时，坐标为
（3） 或
【解析】
【分析】（1）在圆中找出对应的弦，其中 大于圆的直径，根据“反射线段”的定义即可判断；
（2）由“反射线段”的定义，画出 的反射弦，找出对应点的垂直平分线即为直线 ，数形结合求出直线
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与 轴的交点 的坐标即可得到答案；
（3）根据（2）的方法找到 所在的圆心 ，当 点在圆上运动一周时，如图，取 的中点 ，
的中点 ，即 的中点 在以 为圆心，半径为 的圆上运动，进而即可求得反射轴 与 轴交点
的纵坐标 的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，
是 关于直线 的对称的弦，
是 的以直线 为对称轴的“反射线段”，
是 关于直线 的对称的弦，
线段 是 的以直线 为对称轴的“反射线段”，
， 的直径 ， ，
线段 不是 的以直线 为对称轴的“反射线段”，
故答案为： 、 ；
【小问2详解】
解：由“反射线段”的定义，作出图形，如图所示：
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当 关于直线 的对称弦是 时，直线 过 的中点 ，即直线 ： ，则直线 与 轴交
点 ；
当 关于直线 的对称弦是 时， ，设 ，则由中垂线性质可知 ，
，解得 ，则直线 与 轴交点 ；
【小问3详解】
解：以 为斜边构造等腰直角三角形 ，以 为圆心、 为半径作圆，设 与x轴的交点
为L，如图所示：
设 ，则 ，
， 是等腰直角三角形，
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，
，
，
当点在圆上运动一周时，取 的中点 ， 的中点 ，如图所示：
是 的中位线，
， ，即 的中点 ，在以 为圆心，半径为 的圆上运动，
若 是 的以直线 为对称轴的反射线段，则 为 的切线，
设 与 轴交于点 ， ，
， ，
，
反射轴 与 轴交点的纵坐标 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，等腰直角
三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
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