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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三数学二模模拟练习
一．单选题
1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对
称图形：一个平面图形，绕一点，旋转 ，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解
题的关键．
2. 某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．
【详解】解：0.000 000 43=4.3×10-7．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1⩽|a|<10，n为小数点向
右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ．
3. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A. ac＞bc B. ab＞cb C. a+c＞b+c D. a+b＞c+b
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【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．
【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.
4. 如图， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA，根据平行线的判定可得出AB∥CD，根据平行线
的性质从而得出答案．
【详解】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，
∴∠1=∠DFA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=130°，
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
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5. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义， 时，方程有两个不相等的实数
根，再结合一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
∴k的值可能是 ．
故选：A．
6. 如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 72°
【答案】B
【解析】
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角
和等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n-2）=1080°，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角
和等于360°．
7. 如图是一个竖直管道的示意图，水从人口 进入，先经过管道 或 再经管道 或 从出口 流出，
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如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口 流到出口 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到开着的
两个管道可以使流水从入口 流到出口 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设a、b、c、d、e五个管道分别用A、B、C、D、E表示，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中开着的两个管道可以使流水从入口 流到出口 的结
果数有12种，
∴流水还可以从入口 流到出口 的概率是 ，
故选：C．
8. 如图，正方形边长为a，点E是正方形 内一点，满足 ，连接 ．给出下面四个结
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论：① ；② ；③ 的度数最大值为 ；④当 时，
．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，先证明点E在以点O为圆心，
为直径的圆上运动，当 三点共线，即点E运动到点H时 ， 当 三点
共线时， 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当 与 相切时 有最大值，证明
，得到 ， ，则 ，再证明
，得到 ，即可判断③④．
【详解】解：如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，
∵四边形 是正方形，
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∴ ；
∵ ，
∴点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∵ ，
∴点H在圆O上，
∵ ，
∴当 三点共线，即点E运动到点H时， ，故①正确；
∵点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∴当 三点共线时， 有最小值，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，故②错误；
如下图所示，当 与 相切时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 的度数最大值不是 ，故③错误；
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹
是解题的关键．
二．填空题
9. 若二次根式 有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数 即可求解．
【详解】 ，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
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10. 分解因式： ________.
【答案】 ．
【解析】
【详解】解：原式= = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
11. 分式方程 的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后要检验．
根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：
两边同时乘以 得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴ ，
故答案为： ．
12. 小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如
图，则小亮的得分是_____．
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【答案】21
【解析】
【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为x，y分，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x，y分，
依题意得： ，
解这个方程组得： ，
则小亮的得分是2x+3y=6+15=21分．
故答案为21．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
13. 已知9°的圆周角所对的弧长是 cm，则此弧所在圆的半径是_____．
【答案】2cm
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为r，
弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，
则 ，
解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm，
故答案为2cm．
【点睛】本题考查 的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
14. 某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将
调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________
人．
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每周课外阅读时间x
（小时）
人数 6 9 13 12
【答案】300
【解析】
【分析】本题考查了频数（率 分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的
组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本
估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解： （人），
估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．
故答案为：300．
15. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比
值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则
这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ___．
【答案】S
【解析】
【分析】画出过点N的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对
应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．
【详解】解：如图，
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设M，N，S，T四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作S ，S ，S，S ，
M N S T
则S ＜S ＜S ＜S，
T N M S
∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S．
故答案为：S．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键．
16. 甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先
开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自
己至少得______分．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查最佳对策问题，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答；
通过分析可知： ，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自
己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一
定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两
端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分，
【详解】 ，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的
得分高，就要划掉中间的．
而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪
一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．
甲第一次勾掉 这2个数，将剩下的数两两配对： ，同一对两数之差为5．在每次勾
掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，
余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分．
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故答案为：5．
三．解答题（17-19，21-23题5分，20，24，25，26题6分，27，28题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的
关键．
18. 解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解不等式①，移项，合并同类项得，
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为
系数化 1得， ；
解不等式②，去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
故不等式组的解集为： ．
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是
解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此
题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值.
【答案】 ，4
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．将所求式子通分，分
子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可
【详解】解：原式
，
，
原式 ．
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的
20. 如图，点F在 对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，
∠ABF＝∠FBC＋∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝ ，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由
菱形的判定定理可得结论；
（2）过D作DH⊥AC于点H，先求出∠CBE=30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，然后由锐角
三角函数定义可得AH，DH的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴▱ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵sin∠CBE= ，
∴∠CBE=30°，
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∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=8 = ，DH=AD•sin∠2= ，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，CH= ，
∴AC=AH+CH= ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函
数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，
具体信息如下：
信息一
工程 每天施工面积（单位： 每天施工费用（单位：
队 ） 元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相
等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中
心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1） 的值是
（2）乙工程队至少施工 天
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【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等，列出分式方程，解方程
并检验，即可求解；
（2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
根据题意得：
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，
∴ 的值是300；
【小问2详解】
解：设乙工程队单独施工m天，
解得： ,
答：乙工程队至少施工15天.
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象平行于直线 ，且经过点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）先根据两直线平行确定k值，再将 代入求解；
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（2）分 和 两种情况，利用数形结合思想求解．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象平行于直线 ，
，
将 代入 ，得：
，
解得： ，
这个一次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， 的图象位于第一象限，
将 代入 ，得 ，
将点 代入 ，得 ，
；
当 ， 时， 的图象位于第四象限，一次函数 的图象位于第一象限，
对于 的每一个值，一次函数 的值大于函数 的值，
综上可知， 的取值范围为： 或 ．
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【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结
合思想，第二问注意分情况讨论．
23. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大
了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障
和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、
整理描述，下面给出部分信息：
信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
统计量类别 平均数 中位数 方差
教育支出 520.7 m
社会保障和就业支出 448.3 466.5
交通运输支出 292.3 282.0
（以上数据来源于《中国统计年鉴》）
根据以上信息解决下列问题：
（1） ； （填＞，＜号）；
（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号）
①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．
（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均
数大，你认为该小组去掉的年份是 年．
【答案】（1）562.7，
（2）② （3）2014
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【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息
是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也
考查了平均数、极差与中位数．
（1）根据信息一即可解答；
（2）根据折线统计图即可解答；
（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，
又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．
【小问1详解】
根据折线统计图可知， ，
，
，
，
，
故答案为：562.7， ；
【小问2详解】
由折线图可知，
2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比
2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；
年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意；
2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省
在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．
故答案为：②；
【小问3详解】
年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，
又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，
不是去掉的2015年的教育支出，
该小组去掉的年份是2014年．
故答案为：2014．
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24. 如图， 是 的切线，切点为A， 是 的弦．过点 作 ，交 于点 ，连接
，过点 作 ，交 于点 ．连接 并延长交 于点 ，交过点 的直线于点 ，
且 ．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，综合运
用这些知识是关键．
（1）连接 ，由 为切线及 ，结合垂径定理可得 平分 ，则可得
，再由 及 可得 ，则可得 ，问题
得证；
（2）由勾股定理分别求得 及圆半径，证明 ，由相似的性质即可求得 的长．
【小问1详解】
解：相切；理由如下：
连接 ，
∵ 为切线，
∴
∵ ，
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∴ ，即 垂直平分 ，
∴ 平分 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴直线 与 相切；
【小问2详解】
解：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ；
设圆半径为r，则 ，
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在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25. 如图， 中， ， 是 边上一动点，连接 ，作 交 于 ，已知
， ，设 的长度为 ， 的长度为 ．
小青同学根据学习函数的经验对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小青同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 的几组对应值：
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0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6
.
0 1.56 2.24 2.51 2.45 2.24 196 1.63 1.26 0.86 0
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
的值约为__________ ；
（2）在平面直角坐标系中，描出已补全后的表格中各组数值所对应的点 ，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当 时，对应的 的取值范围约是_____________；
②若点 不与 ， 两点重合，是否存在点 ，使得 ？________________（填“存在”或“不
存在”）
【答案】（1）2.6；（2）画图见解析；（3）①0.8＜x＜3.5；②不存在
【解析】
【分析】（1）按题意，认真测量即可；
（2）利用数据描点、连线；
（3）①由根据函数图象可得；
②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P，使得BQ=BP．
【详解】解：（1）根据题意量取数据m为2.6，
故答案为：2.6
（2）根据已知数据描点连线得
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（3）①由图象可得，当0.8＜x＜3.5时，y＞2．
故答案为：0.8＜x＜3.5
②不存在，
理由如下：若BQ=BP
∴∠BPQ=∠BQP
∵∠BQP=∠APQ+∠PAQ＞90°
∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP＞180°与三角形内角和为180°相矛盾．
∴不存在点P，使得BQ=BP．
故答案为：不存在．
【点睛】本题为二次函数综合题，也是动点问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数
学思想．
26. 已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）用含 的代数式表示 ______；
（2）若直线 与抛物线 相交所得的线段长为 ，求 的值；
（3）若抛物线 与 轴交于 和 两点（ ），且 ，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
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（3） 或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；
（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题
意可得关于a的方程，解方程即可求得a的值；
（3）由判别式确定a的范围，根据a的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定 a
的范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由（1）得二次函数解析式为 ，
由题意得： ，解得： ， ，
即直线与抛物线 的两个交点坐标为 ；
由题意得： ，
解得： 或 ；
【小问3详解】
解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ ，
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解得： 或 ；
当 时，
对于 ，令 ，有 ，
即抛物线与y轴交点为 ，
∴抛物线必过 与 ，
∴ ，
∴必有 ；
当 时，对于 ，
则由根与系数的关系有： ，
∴ ，
即 ；
∵ ，抛物线对称轴为直线 ，且 ，
∴当 时， ，
解得： ；
综上， 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的
关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键．
27. 如图，已知 中， ， ，点 为线段 上一点，连接 ，
作射线 使得 ．过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ，取 中点 ，连接
， ．
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（1）补全图形；
（2）求证： ；
（3）①判断 的形状，并证明．
②直接写出 的大小（用 表示）．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析 （3）① 为等腰三角形，证明见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，读懂题意即可作图；
（ 2 ） 依 据 题 意 ， 由 ， ， 从 而 ， 又
，进而可以判断得解；
（3）①依据题意，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，延长 到点 ，使得
，连接 ， ．由 是 中点，从而 ， ，又 ，从而
，可得 ，同理可得， ，
进而可得 ，证得 ，故 即可判断得解；
②依据题意，由 ，可得 、 、 、 四点共圆，则 ，进而可得
， 从 而 ， 故
，最后可以判断得解．
【小问1详解】
补全图形如图．
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【小问2详解】
证明： ， ，
．
，
．
【小问3详解】
① 为等腰三角形， ．
证明：延长 到点 ，使得 ，
连接 ， ，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ．
是 中点，
，
由题意， ，
又 ，
．
，
．
同理可得， ．
．
．
．
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．
．
．
为等腰三角形．
② ，
、 、 、 四点共圆．
又 ，则 是圆的直径
．
又 ，
．
．
，M是 中点，
．
．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，直线l和图形W给出如下定义：线段 关于直线l的对
称线段为 （ 分别是M，N的对应点）．若 与 均与图形W（包括内部和边界）有公
共点，则称线段 为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
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（1）如图1，已知圆O的半径是2， 的横、纵坐标都是整数．在线段
中，是 关于直线 的“对称连接线段”的是 ．
（2）如图2，已知点 ，以O为中心的正方形 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段
是正方形 关于直线 的“对称连接线段”，求k的取值范围．
（3）已知 的半径为r，点 ，线段 的长度为1．若对于任意过点Q 的直线l，都存在
线段 是 关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接
线段”的定义成为解题的关键．
（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；
（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是 和 时
是临界点即可解答；
（3）如图3：连接 ，则 ，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图1:
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因为 关于 的对称点是 在 上，所以 是 关于直线 的“对称连接线
段”，
因为 和 关于 的对称点是 和 在 外，所以 不是 关于直线 的
“对称连接线段”，
因为 关于 的对称点是 在 内，所以 是 关于直线 的“对称连接线段”．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图2：
设直线 交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等，
所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动，
当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，
过点P的对称点是 和 时是临界，此时k的值分别是1和 ．
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∴ 或 ．
【小问3详解】
解：如图3：
连接 ，则 ，
∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心， 为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是
和 的圆上运动，
设半径是 的圆交y轴于点W，
∴ ．
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