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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市 101 中学中考数学零模试卷
一．选择题：2×8＝16
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图
是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视
图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 根据第七次全国人口普查结果显示，居住在我国大陆31个省、自治区、直辖市（以下简称省份）接受
普查登记人员合计约14.3亿人，将1430000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定 与
的值是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：B．
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足 ， ，则b的值可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的基本性质，解决本题的关键是根据数轴上的
点确的范围．
【详解】解：由数轴可知， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
由此可知，满足题意的 的值可以是1，
故选：C．
4. 如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
5. 如图， 是半圆 的直径，点 ， 在半圆 上．若 ，则 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵ 是半圆 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关
键．
6. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数之和为6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所
有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
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3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有等可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为6的结果数为
5，故两枚骰子向上的点数之和为6的概率是：
故选：D．
7. 如图，等边三角形 的边长为2，点A，B在 上，点C在 内， 的半径为 ．
将 绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在 上时，旋转角为 ；
②当 第一次与 相切时，旋转角为 ．
则结论正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解
题的关键．
①当点C第一次落在 上时，连接 ，可证明 是等腰直角三角形， 三
点共线，再求出 ，可得 ；
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②当 与 相切时，连接 并延长与 交于点M，连接 ，先求出 ，
， ，即可得出结论．
【详解】解：①当点C第一次落在 上时，
连接 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
是等腰直角三角形，
，
三点共线，
，
，
，
，
，故①正确；
当 与 相切时，连接 并延长与 交于点M，连接 ，
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是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 第一次与 相切时，旋转角为 ，故②错误，
故选：A．
8. 如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 为斜边 上的中点，点 ， 分别
在直角边 ， 上运动（不与端点重合），且保持 ，连接 ， ， ．设 ，
， ．在点 ， 的运动过程中，给出下面三个结论：① ；② ；③
，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解
此题的关键，由题意得出 ，由三角形三边关系得出 ，即可判断①；利用勾
股定理即可判断②；连接 ，设 ，由等腰直角三角形的性质可得 ，
，由勾股定理得出 ，再由 得出 ，再分
和 对③进行判断即可．
【详解】解：① ， ，
，
点 ， 分别在直角边 ， 上运动（不与端点重合），
，即 ，故结论①正确；
② ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，即 ，故结论②正确；
③连接 ，设 ，如下图所示：
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在 中， ， ，点 为斜边 上的中点，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，即 ，
，
，
当且仅当 时，即点 ， 分别为 ， 的中点时， ，
此时 ，即 ，
当 时，即点 ， 不是 ， 的中点时， ，
此时 ，即 ，
，且等号可以取到，故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二、填空题：2×8＝16
9. 若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
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根据二次根式有意义的条件得到 ，解不等式即可．
【详解】根据题意得： ，
解得 ，
故答案为： ．
10. 因式分解： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
＝
＝
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先
提公因式．
11. 若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b
（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判
断 的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2， ，开口向上，对称轴为
又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，
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故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数 图象的性质，掌握二次函数 图象的性质是解题
的关键．
12. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，若 ，则∠ACB＝
________°．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据圆的切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和可得 ，
然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解： 是 的切线，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解
题关键．
13. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的
值为______________．
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【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
14. 如图，菱形 的对角线交于点 ，点 为 的中点， ， ，则 的长为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性
质得 ， ， ，由勾股定理得
，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定
理求出 的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
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∴ ．
故答案为： ．
15. 如图，在 中，延长 至点 E，使 ，连接 与 于点 F，则 的值是
__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，证得 成
为解题的关键．
由平行四边形的性质结合已知条件可得 ，再证明 ，最后根据相似
三角形对应边成比例即可解答．
【详解】解：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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故答案为： ．
16. 春季是传染病的高发季节，社区负责人决定组织本社区所有居民到 两个站点接种流感疫苗．已知
站点从准备至连续为 人接种疫苗所需时间为 分； 站点从准备至连续为 人接种疫苗所需
时间为 分．一开始社区负责人先试着将90名居民按一定比例分配到 两个站点进行疫苗接
种，结果两站点正好在相同时间完成了接种任务，则分配到 站点的人数与分配到 站点的人数之比为
______；为了使接种工作不间断进行，在前面的90名居民即将结束时，社区负责人又给 站点分配了
名未接种居民， 站点分配了 名未接种居民．为保证两站点在相同的时间完成接种任务，则 的值为
______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基
本性质是解题的关键．设分配到 站点的人数为x名，则分配到B站点的人数为为名 ，依题意可
得 ，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为
，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到 站点的人数为x名，则分配到B站点的人数为为名 ，依题意可得：
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解得： ，
∴分配到B站点人数为 （人），
的
∴分配到A站点 人数与分配到B站点的人数的比为 ；
∴为了使接种工作不间断进行，在前面的90名居民即将结束时，社区负责人又给 站点分配了 名未接
种居民， 站点分配了 名未接种居民．为保证两站点在相同的时间完成接种任务，
∴
解得：
即 ，
故答案为： ； ．
三、解答题（17-21，23题5分，22，24，25，26题6分，27，28题7分）
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】由题意根据乘方、立方根和负指数幂的运算法则以及运用特殊三角函数值和根式的运算进行计算
即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查含特殊锐角三角函数值的实数运算，熟练掌握乘方、立方根和负指数幂的运算法则以及
熟记特殊三角函数值和根式的运算法则是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】
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【解析】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得： ，
整理化简得： ，
解得： ，
检验，当 ， ．
是原分式方程的解．
【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算
即可．
【详解】解：
=
= ，
∵x2+x-5=0，
∴x2+x=5，
∴3x2+3x=15，
当3x2+3x=15时，原式= ，
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
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20. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
的
【分析】（1）根据一元二次方程 ，根 判别式为△= ，进行化简即可
证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明： ，
∵ ，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x，则另外一个根为2 x ，
1 1
则 ，
由①得 ，
代入②可得： ，
解之得 ， ，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，
CF=AE．
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（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若 ， ，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）BF的长为 ．
【解析】
【分析】（1）利用“SAS”证明 ABE≌ CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是
矩形； △ △
（2）在Rt BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
【小问1详△解】 △
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴ ABE≌ CDF(SAS)，
∴△BE=DF，△∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中， ，BC=5，
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∴ ，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中， ，BD=8，
∴ ，
∴BF= ×8= ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，直线 与反比例函数 的图像分别交于点 和点B．
若 线段 的长度是 ，求点 的坐标及 的值；
嘉淇同学观察了三个函数图像后，大胆猜想：“当 一定时， 的面积一定随 的增大而增大．”
你认为他的猜想对吗．说明理由；
在 的条件下，若直线 与 的图像有交点，与 的图像无
交点，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）A（-6，1），B（2，1），k=﹣6；（2）嘉淇的猜想不对，理由解析；（3）0＜n＜6
【解析】
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【分析】（1）把y=1代入 可得点B坐标，由AB=8可得点A坐标，把点A坐标代入 即可求出
k；
（2）当y=m时，分别求出点A、B的坐标，进而可得AB的长，然后即可求出△OAB的面积，从而可判断
嘉淇同学的猜想；
（3）由直线 与 的图象有交点可得n的一个取值范围，由直线
与 的图象无交点可再得n的一个取值范围，取其公共部分即得结果．
【详解】解：（1）当m=1时，把y=1代入 ，得x=2，
∴B（2，1），
∵AB=8，
∴A（﹣6，1），
把A（﹣6，1）代入 ，
∴ k=﹣6 1=﹣6；
(2) 把y=m代入 ，得 ，
∴B（ ，m），
把y=m代入 ，得 ，
∴A（ ，m），
∴AB= ﹣ = ，
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∴ ，
∴△OAB的面积与m无关．
∴嘉淇的猜想不对；
（3）∵直线 与 的图象有交点，
∴方程 即 有两个实数根，
∴ ，解得： 或 （舍去），
又∵ ，∴ ；
∵直线 与 的图象无交点，
∴方程 即 没有实数根，
∴ ，解得：0＜n＜6；
综上所述， 的取值范围是：0＜n＜6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、两个函数的交点问题以及一元二次方程的判别式和二
次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，其中第（3）小题有一定的难度，掌握利用一元二次方程
的根的判别式和二次函数的知识解答是解本小题的关键．
23. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方
对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计
图如下：
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算
学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
（2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超
过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不
符合”）入选参加展演的条件；
（3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展
示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______．
【答案】（1）75 （2）符合
（3）4；
【解析】
【分析】（1）利用加权平均数的运算公式直接计算就可得到结果；
（2）准确识图，统计相应数据计算百分比和相应加权平均数即可；
（3）准确识图，用列举法求解概率．
【小问1详解】
解：该生的综合成绩为： ，
答：这名学生的综合成绩为75分；
【小问2详解】
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解：由图可知：乙剧社两项成绩都低于60分的有1人，所占比例约为6.7%，低于10%，满足第一个条件；
乙剧社声乐成绩统计表如下：
范围 频数
1
3
5
5
1
乙剧社声乐的平均成绩为：
，
大于75分，满足第二个条件．所以乙剧社符合入选参加展演的条件
故答案为：符合；
【小问3详解】
解：甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条
件的学生一共有4人．
80分以上的4人中，甲剧社2人，乙剧社2人，抽取情况如下表：
甲1 甲2 乙1 乙2
甲1 甲1，甲2 甲1，乙1 甲1，乙2
甲2 甲2，甲1 甲2，乙1 甲2，乙2
乙1 乙1，甲1 乙1，甲2 乙1，乙2
乙2 乙2，甲1 乙2，甲2 乙2，乙1
抽出的结果共有12种可能，而来自不同剧社的结果又8种可能，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社
的概率为： (分别来自不同剧社) ．
故答案为：4； ．
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【点睛】本题考查了加权平均数、列举法求概率、数形结合的思想等知识．准确的识图和精确地计算是解
决本体的关键．
24. 如图，AB是 的直径，CB，CD分别与 相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延
长AD，EC交于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求FA的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为
OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平
行线的判定定理，得出结论；
（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又
由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由
切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CF= ，最后证△EOC∽△EAF，得 ，即 ，可求得
FE=3 ，即可由FA=FE得出答案．
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【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
∵CB，CD分别与 相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FA OC；
【小问2详解】
解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
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∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE= ，
∵FA OC，
∴△EOC∽△EAF，
∴ ，即 ，
∴FE=3 ，
∴FA=FE=3 ．
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
25. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 为直径的半圆 ， ，如图1和图2所
示， 为水面截线， 为台面截线， ．
计算：在图1中，已知 ，作 于点 ．
（1）求 的长．
操作：将图1中的水面沿 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 时停止滚动，如图
2．其中，半圆的中点为 ， 与半圆的切点为 ，连接 交 于点 ．
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探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段 与 的长度，并比较大小．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明 进而得到 ，利用锐角三角函数求 ，再与（1）中 相
减即可；
（3）由半圆的中点为 得到 ，得到 分别求出线段 与 的长度，再相减
比较即可．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ 为圆心， 于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴在 中，
．
（2）∵ 与半圆的切点为 ，
∴
∵
∴ 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）∵ 于点 ，
∴ ，
∵半圆的中点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性
质构造直角三角形是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 在抛物线 上，其中
， ．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）直线 经过点 ， ，若对于 ， ，都有 ，求 的取值范
围．
【答案】（1） 的值为3
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质：
（1）求得对称轴，利用抛物线的对称性即可求得x 的值；
2
（2）由题意可知当 时， ，据此得出 ，即可求得的取值
范围．
【小问1详解】
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解： ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
， ，
点 ， ， ， 关于直线 对称，
的值为3；
【小问2详解】
解： 直线 经过点 ， ，若对于 ， ，都有 ，
，
∴线段 的中点坐标在对称轴右侧，
，
，
解得 ．
27. 如图，在 中， ，点P为 外一点，点P与点C位于直线 异侧，
且 ，过点C作 ，垂足为D．
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（1）当 时，在图1中补全图形，并直接写出线段 与 之间的数量关系；
（2）如图2，当 时，
①用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明；
②在线段 上取一点K，使得 ，画出图形并直接写出此时 的值．
【答案】（1）见解析， ；（2）① ，见解析，②见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（2）①如图，作 于点E，作 交 的延长线于点F， 证明四边形 为正方形，
可得 ，从而可得答案；②画图如下：延长 交于点 记 交于点 证明
可得 再利用锐角三角函数可得答案．
【详解】（1）解：补全图形如图所示．
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由题意得： ，
重合，
．
（2）① ．
证明：如图，作 于点E，作 交 的延长线于点F，则 ．
∵ 于点D，
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∴ ，
∴四边形 为矩形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
可得 ，
∴
∴ ．
②画图如下：延长 交于点 记 交于点
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【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，矩形，正方
形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段AB与直线 ，给出如下定义：若线段AB关于直线l
的
对称线段为 ( ， 分别为点A，B的对应点)，则称线段 为线段AB的“ 关联线段”．
已知点 ， ．
（1）线段 为线段AB的“ 关联线段”，点 的坐标为 ，则 的长为______，b的值为
______；
（2）线段 为线段AB的“ 关联线段”，直线 经过点 ，若点 ， 都在直线 上，连接
，求 的度数；
（3）点 ， ，线段 为线段AB的“ 关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k
使得线段 与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）2；-1
（2）15°或105°
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（3） 或
【解析】
【分析】(1)由对称性质AB、A′B′关于直线l对称，所以A′B′=AB=2，由题意，得
y=x+b，把AA′的中点( ， )代入y=x+b，求出b即可；
(2)作C关于l的对称点C′，连接O C′，OA，OC′，因为AB的对称点在l 上，所以点C的对称点C′在直线
1
AB上，则可求出点C′的坐标为(1， )，继而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以
∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，然后利用对称的性质得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；
(3)求出两种特殊情形 的值，即可得出b的取值范围．
【小问1详解】
解：∵A(1，1)，B(1，-1)，
∴AB=2，
∵AB、A′B′关于直线l对称，
∴A′B′=AB=2,
由题意，得k=1，
∴y=x+b，
∵A、A′关于直线l对称，
∴直线l经过AA′的中点，
∵A(1，1)，A′(2，0)，
∴AA′的中点为( , )，即( ， )，
把( ， )代入y=x+b，得 = +b，
解得：b=-1，
故答案为：2,-1；
【小问2详解】
解：如图，作C关于l的对称点C′，连接O C′，OA，OC′，
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由题意，得直线l解析式为：y=kx，
设C关于l的对称点为C′，
∴OC′=OC=2，
∵AB关于l对称点A′B′在l 上，
1
又l 经过点C，
1
∴点C′在直线AB上，
∵A(1，1)，B(1，-1)，
∴直线AB即是直线x=1，
∴C′横坐标为1，
∴C′纵坐标为 ,
∴C′(1， )，
∴tan∠C′OK= = ，
∴∠C′OK=60°，
∵A(1，1)，
∴OA=AK，
∴△AOK是等腰直角三角形，
∴∠AOK=45°，
∴∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，
∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，
∴∠COA′=∠C′OA=15°；
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的
当A′B′在y轴 右侧时，同理可求∠COA′=∠COD+∠A′OD=105°，
【小问3详解】
设直线y=kx+b与y轴交于点E，连接EB，EA．
当b>0时，⊙E(r=EB)与PQ相切时， ．
当b<0时，⊙E(r=EA)经过点P时，
∵线段 与线段PQ有公共点，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一
次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键．
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