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北京市延庆区 2021－2022 学年七年级上学期期末考试数学试卷
数 学
一、选择题：（共10个小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的．
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）
求解．
【详解】解：-2的倒数是- ，
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 据北京市金融监管局消息，将在2022年2月举办的北京冬奥会试点数字人民币．市场预期有关部门会
以其作为起始点，在全国普及数字人民币．2021年12月10日，小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中
存入100元，记作 ，那么 表示（ ）
A. 支出40元 B. 收入40元 C. 支出60元 D. 收入60元
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，根据正数和负数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得 表示：支出40元
故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正数和负数的性质，从而完成求解．
3. 图中哪一个角的度数最接近45°（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据目测法或度量法解答即可．
【详解】解：根据图形，∠1和∠2是钝角，∠3接近直角，∠4接近45°，
故选：D．
【点睛】本题考查角的比较，熟知角的度量的方法是解答的关键．
4. 截止到2021年12月5日，成功报名北京冬奥会赛会志愿者的人数已超过1120000人．将1120000用科
学记数法表示应为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1120000=1.12 ，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a
的值以及n的值．
5. 如图是某立体图形的展开图，则这个立体图形是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱
【答案】A
【解析】【分析】根据常见几何体的展开图形特征进行判断即可．
【详解】解：由展开图中间一行可知，该图形的侧面展开后是长方形，则该立体图形为柱体，
∵上下两个面为三角形，刚好与3个侧面对应，
∴该立体图形为三棱柱，
故选：A．
【点睛】本题考查常见几何体的展开图形识别，理解并掌握常见几何体的展开图特征是解题关键．
6. 方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程两边同时乘以2，即可求解．
【详解】解：
两边同时乘以2，得： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程得基本步骤是解题的关键．
7. 有理数2.345精确到十分位的近似数是（ ）
A. 2.34 B. 2.35 C. 2.3 D. 2.4
【答案】C
【解析】
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】解：2.345≈2.3（精确到十分位）．
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数：近似数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据整式的加减运算，逐项计算，分析判断即可
【详解】A. 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. 故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是解题的关键．
9. 有理数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的比较大小，绝对值的定义，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，分别判断即可．
【详解】解：A选项，观察数轴，c＞a＞b，故该选项错误，不符合题意；
B选项，观察数轴，|c|＜2，|b|＞2，∴|b|＞|c|，故该选项错误，不符合题意；
C选项，∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，故该选项错误，不符合题意；
D选项，∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，绝对值的定义，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，熟练掌握
有理数的计算法则是解题的关键．
10. 幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴
礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发
现”．请将 ， ， ， ， ， ， ， ， 分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行
以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，则x＋y的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设如图所示的幻方中y右边的方格中的数为z，根据“同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上
的3个数相加都得0”可得 ， ， ，求出 和 的值，然后代入即
可求出x＋y的值．
【详解】解：设如图所示的幻方中y右边的方格中的数为z，
∵同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0，
∴ ，解得： ，
又∵ ，将 代入得： ，
又∵ ，将 代入得： ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了幻方的性质，代数式求值问题，解一元一次方程等知识，解题的关键是根据幻方中的
规律列方程求出 和 的值．
二、填空题 （共8个小题，每题2分，共16分）
11. 写出单项式 的一个同类项：________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据同类项的概念求解即可，答案不唯一．
【详解】解：∵ 的字母部分是 ，
∴ 的同类项即字母部分为 即可，
∴ 的同类项可以为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了同类项 的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义．同类项：如果两个单项式，
他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
12. 如图中给出了某城市连续5天中，每一天的最高气温和最低气温（单位： ），那么最大温差是
________ ．
【答案】15
【解析】
【分析】通过表格即可求得最高和最低气温，12月3日的温差最大，最大温差为10-（-5）=15℃；
【详解】解：12月1日的温差：
12月2日的温差：
12月3日的温差：
12月4日的温差：
12月5日的温差：，
最大温差是15 ，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了正数与负数以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13. 对单项式“ ”可以解释为：长方形的长为 ，宽为 ，则此长方形的面积为 ．请你对“ ”再
赋予一个含义：________．
【答案】角形的一条边长为 ，这条边上的高为 ，则此三角形的面积为
【解析】
【分析】结合题意，根据单项式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，对“ ”再赋予一个含义：三角形的一条边长为 ，这条边上的高为 ，则此三角
形的面积为
故答案为：角形的一条边长为 ，这条边上的高为 ，则此三角形的面积为 ．
【点睛】本题考查了单项式的知识；解题的关键是熟练掌握单项式的性质，从而完成求解．
14. 如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是________，
理由是________．
【答案】 ①. PC ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：∵ ，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【点睛】此题考查了垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握垂线段最短．15. 如果 是关于x的方程 的解，那么a ＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】将x=4代入原方程即可求出答案．
【详解】解：将x=4代 ，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义．
16. 已知：∠A＝25.15°， ，那么∠A________∠B（填“＞”或“＝”或“＜”）
【答案】<
【解析】
【分析】利用角度的运算可得 ，然后问题可求解．
【详解】解：由∠A＝25.15°， 可知 ，
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查角的运算，熟练掌握角度的运算是解题的关键．
17. 点A，B，C在同一条直线上，如果 ， ，那么 ＝________．
【答案】3或9##9或3
【解析】
【分析】根据题意分点A在点B左边和点A在点B右边两种情况讨论，分别求出AB的长度，然后根据线
段之间的和差求解即可．
【详解】解：当点A在点B左边时，如图所示，
∵ ，
∴ ，∴ ；
当点A在点B右边时，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，AC的长度为3或9．
故答案为：3或9．
【点睛】此题考查了线段之间的和差计算，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．
18. 如表是某面包店的价目表．小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，
优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个，他挑选了香蒜面
包．如果小明原本的结账金额为 元，则小明后来的结账金额为________元．（用含 的式子表示）
面包品种 甜甜圈 芒果面包 香蒜面包 切片面包 奶香片 奶油面包
单 价 5元 6元 7.5元 11元 12元 12元
【答案】 或 或
【解析】
【分析】分三种情况：当小明原本拿的4个面包中最低价格高于或等于香蒜面包的价格时，当小明原本拿
的4个面包中最低价格低于或等于香蒜面包的价格且没有甜甜圈时，当小明原本拿的4个面包中最低价格
低于或等于香蒜面包的价格，且有甜甜圈时讨论，即可求解．
【详解】解：当小明原本拿的4个面包中最低价格高于或等于香蒜面包的价格时，香蒜面包免费，则小明
后来的结账金额为 元；
当小明原本拿的4个面包中最低价格低于或等于香蒜面包的价格且没有甜甜圈时，芒果面包免费，则小明
后来的结账金额为 元；
当小明原本拿的4个面包中最低价格低于或等于香蒜面包的价格，且有甜甜圈时，甜甜圈免费，则小明后来的结账金额为 元；
的
综上所述，小明后来 结账金额为 或 或 元．
故答案为： 或 或
【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系，并灵活利用分类讨论的思想解答是解
题的关键．
三、解答题（共10个小题，共64分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）9 （2）-14
【解析】
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先计算有理数的乘法，然后运用加减法则计算即可得．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 计算：
（1）（2）
【答案】（1）-5 （2）-5
【解析】
【分析】（1）利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21. 已知： ，求代数式 的值．
【答案】 ，7
【解析】
【分析】先将代数式化简，再代入，即可求解．
【详解】解：
∵
∴原式 ．【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
22. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化 为1，得 ，
∴原方程的解为 ；
【小问2详解】
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
∴原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化
为1，求出解．23. 如图，已知四点A，B，C，D．
（1）画射线DA；
（2）画直线AC；
（3）连接CD，并在线段CD的延长线上取一点E，使得DE＝CD；
（4）画直线BE，与直线AC交于点F．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解； （3）见详解；
（4）见详解．
【解析】
【分析】（1）根据射线是向一方无限延长的画出射线即可；
（2）根据直线是向两方无限延长画出直线AC即可；
（3）根据线段是可以度量的画出线段CD，再按要求画出点E即可；
（4）根据直线是向两方无限延长画出直线BE和点F即可．
【小问1详解】
解：如图，射线DA为所求射线；
【小问2详解】
解：如图，直线AC为所求直线；
【小问3详解】
解：如图，线段CD，DE为所求的线段；
【小问4详解】
解：直线BE为所求的直线，点F即为所求作的点．【点睛】本题考查作图-基本作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线
段的定义．
24. 某校七年级组织去北京世园公园开展综合实践活动．已知参加活动的教师和学生共70人；其中学生人
数比教师人数的3倍还多6人，问参加活动的教师和学生各有多少人？
【答案】教师有16人，学生有54人
【解析】
【分析】设教师有x人，则学生有（3x+6）人．根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设教师有x人，则学生有（3x+6）人．根据题意得：
．
解这个方程，得： ．
．
答：教师有16人，学生有54人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
25. 根据题意，补全解题过程．如图，点C为线段AB上一点，D为线段AC的中点，若AD＝3，BC＝2，
求BD的长．
解：∵D为线段AC的中点，AD＝3，
∴CD＝ ＝ ．（ ）
∵BD＝ ＋ ，BC＝2，
∴BD＝ ．
【答案】AD，3，线段中点定义，CD，BC，5
【解析】
【分析】根据线段中点定义求出CD，代入BD=CD+BC求出即可．
【详解】解：∵D为线段AC的中点，AD=3，
∴CD=AD=3．（线段中点定义）
∵BD=CD+BC，BC=2，
∴BD=5．
【点睛】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点定义，能够求出CD的长是解此题的关键．
26. 阅读材料：数学活动课上，小明经过观察、思考，发现并提出猜想：把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字 交换位置，得到的新数与原数的和是11的整数倍．
解决问题：
（1）用含 ， 的式子表示原来的两位数是 ；
（2）小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由．
【答案】（1）
（2）正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两位数的表示方法：十位上的数字乘以10加上个位上的数字乘以1即可得；
（2）先表示出新的两位数，然后求新旧两位数的和即可得．
【小问1详解】
解：十位上的数为a，个位数字为b，则这个两位数为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
小明 的猜想正确．
理由：由题意可知，新的两位数是 ，
所以新数与原数的和是： ，
，
，
，
，
所以新数与原数的和是11的整数倍．
【点睛】题目主要考查整式的加法，理解题意，用代数式准确表示出两位数是解题关键．
27. 已知：∠AOB，过点O引两条射线OC，OM，且OM平分 ．
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，且点C在∠AOB的内部．①请补全图形；
②求出∠MOB的度数；
以下是求∠MOB的度数的解题过程，请你补充完整．
解：∵∠AOC＝∠AOB－∠BOC，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝ 90°．
∵OM平分 ，
∴∠MOC＝ ＝ °．
∵∠MOB＝∠MOC＋ ，
∴∠MOB＝ °．
（2）若∠AOB＝α，∠BOC＝β（其中α＜β＜90°），画出图形并直接写出∠MOB的度数．（用含α，β的
式子表示）
【答案】（1）①见解析；② ，45，∠COB，75
（2）见解析， 或
【解析】
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②利用角平分线计算得 ，再结合图形计算即可得；
（2）分两种情况讨论，如解析中图象所示，分别利用角平分线进行计算即可得．
【小问1详解】
①根据题意，作图如下：②解：∵ ， ， ，
∴ ．
∵OM平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ； ； ； ；
【小问2详解】
解：分两种情况讨论：
①如图所示： ， ，
，
∴
，
∴；
∴
②如图所示： ， ，
，
∴
，
∴
；
∴
综上可得： 或 ．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算，理解题意，充分利用角平分线进行计算是解题关键．
28. 已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点．
给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M—N的亲和距离；记作：d
（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0
举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）
＝1
根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x＋1，点O为原点，
（1）当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝ ；
（2）如果d（原点O，线段DE）＝3，那么 ；
（3）数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y＋4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出 的
值．【答案】（1）1 （2）3或-4
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据当x=1时，点D表示的数是1，点E表示的数是x+1=2,点O到线段DE的最短距离为
OD=1即可；
（2）根据d（原点O，线段DE）＝3，可得OD=3或OE=3，分类考虑当OD=3时，点D在点O的右侧，
可得x-0=3，当OE=3时，点E在点O的左侧，0-（x+1）=3，解方程即可；
（3）线段DE与FG的位置有两种，DE在FG的左侧，或DE在FG的右侧，当DE在FG的左侧时，d
（线段DE，线段FG）＝2，即EF=2，利用两点距离公式得出 ，当DE在FG的右侧时，d
（线段DE，线段FG）＝2，即GD=2，根据两点距离公式得出 即可．
【小问1详解】
解：当x=1时，点D表示的数是1，点E表示的数是x+1=2,
∴点O到线段DE的最短距离为1，
d（原点O，线段DE）=1；
故答案为1；
【小问2详解】
解：∵d（原点O，线段DE）＝3，
∴OD=3或OE=3
当OD=3时，x-0=3，x=3，
当OE=3时，0-（x+1）=3
∴x=-4，
故答案为-4或3；
【小问3详解】
解：线段DE与FG的位置有两种，DE在FG的左侧，或DE在FG的右侧，
当DE在FG的左侧时，
∵d（线段DE，线段FG）＝2，即EF=2，
∴ ，∴ ，
∴ ；
当DE在FG的右侧时，
∵d（线段DE，线段FG）＝2，即GD=2，
∴ ，
∴ ，
∴d（线段DE，线段FG）＝2， =-3或6．
【点睛】本题考查新定义图形的距离，数轴上表示数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类思想
的应用等，掌握相关知识是解题关键．
