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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
延庆区 2024 年初三统一练习
数学
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题：（共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下倒是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给的三视图即可得．
【详解】解：根据三视图得，该几何体的三视图是三棱柱，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握三视图．
2. 截止2024年2月18日，在春节期间延庆区共接待游客1320000人，火盆锅、十字花柿为火热的延庆旅
游春节档增添了流量．将1320000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
根据科学记数法定义，这里 ， ．
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【详解】 ．
故答案为：C．
3. 如图，直线 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
由a与b平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再利用三角形外角性质即可求出所求角的度
数．
【详解】如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
4. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 度后两部分重合．根据中心对称图形和轴对称图形
的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
D选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
故选：D
5. 正七边形的外角和是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和为 ，即可求解．
【详解】解：七边形的外角和为 ．
故选：B．
6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键．
由数轴可知， ， ，由此逐一判断各选项即可．
【详解】由数轴可知， ， ，
A、 ，故选项A不符合题意；
B、 ，故选项B符合题意；
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C、 ， ， ，故选项C不符合题意；
D、 ， ， ，故选项D不符合题意；
故选：B
7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回
并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球
的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
8. 小明和弟弟周末去图书馆．二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明用 到达图书馆，
弟弟比他早出发 ，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆 设小明和弟弟所走的路程分别为 ，
其中 与时间 之间的函数关系如图所示．则下列结论正确的是( )
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①小明家与图书馆之间的距离为 ；
②当小明出发时，弟弟已经离家 ；
③小明每分钟比弟弟多走 ；
④小明出发 分钟后追上弟弟．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据函数图象获取信息，根据图象直接可得小明家与图书馆之间的距离为
判断①正确；求出小明的速度为 ，弟弟的速度为 ，可得小明出发时，弟弟已经
离家 ，判断②正确；小明每分钟比弟弟多走 ，判断③错误；设小
明出发x 小明追上弟弟，有 x (x ，可解得小明出发 小明追上弟弟，判断④错误．
【详解】解：由图象可知，小明家与图书馆之间的距离为 故①正确；
小明的速度为 ，弟弟的速度为 ，
小明出发时，弟弟已经离家 ，故②正确；
小明每分钟比弟弟多走 ，故③错误；
设小明出发 小明追上弟弟，则 ，
解得 ，
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小明出发 小明追上弟弟，故④错误；
正确的结论为①②；
故选：A．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于 ，列不等式求解即可．
【详解】解： 分式有意义的条件是分母不能等于 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
10. 分解因式：x3﹣xy2=_____．
【答案】x（x+y）（x-y）
【解析】
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 方程 的解为_______．
【答案】 ##1
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先化成一元一次方程，即可得出答案．
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【详解】
，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 图象上，则 _____
的
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌
握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小，
又∵点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图， 中，延长 至 ，使得 ．若 ，则 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形
的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
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， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14. 某次射击训练中，在同一条件下，甲、乙两名运动员五次射击成绩如下表．
甲
乙
甲、乙二人射击成绩的平均数分别为 ，方差分别为 ，则 ， (填
“ ”“ ”或“ ”)．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查平均数与方差，首先依据平均数=总数÷个数分别计算出甲和乙的平均数，即可判断
其大小；再依据方差的计算公式
分别计算甲、乙的方差即可作出判断．
【详解】解： ，
则
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，
，
则
故答案为： ， ．
15. 如图， 与 分别相切于A，B两点，连接 ．若 ，则 的度数为
_______．
【答案】 ##132度
【解析】
【分析】本题考查切线的性质和多边形内角和，根据切线的性质可得 ，再根据四边
形内角和即可求解．
【详解】∵ 与 分别相切于A，B两点，
∴
∵
∴
故答案为： ．
16. 小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，
发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价
格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参
加特惠活动两者的花费相差0.9元，则_________花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活
动）；两个面包的定价相差_________元．
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【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为 元，面包便宜的定价为y元，根据使用
会员卡与参加特惠活动两者的花费相差 元，列出方程即可求解．
【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，依题意有：
，
则 ，
解得 ．
故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差 元．
故答案为：②， ．
三、解答题（共68分：17-20题，每小题5分；21题6分；22题5分；23题6分；24题5分；
25-26题，每小题6分；27-28题，每小题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，利用特殊锐角三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值的性
质计算即可．
【详解】解：
18. 解不等式组： ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查 是的解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小
取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得， ；
由②得， ；
原不等式组的解集为： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【详解】解：
．
，
，
原式 ．
20. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】 ，
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【解析】
【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
利用根的判别式得出m的取值范围，再根据m为正整数，即可解决问题．
【详解】解： 关于 的方程 有实数根，
．
，
．
，
为正整数，
．
此时的方程为： ．
方程的解为： ．
21. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线与边 分别交于点E，F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，菱形的判定，勾股定理，正切以及直角三角形斜边上的一半等
于斜边的一半等知识：
（1）根据线段垂直平分线的性质得出 ，根据全等三角形的判定推出
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，根据全等三角形的性质得出 ，求出 ，根据菱形的判
定得出即可；
（2）由 得 ，设 ，则 ，在 中由勾股定理列方程
求出 得 ，在 中，由勾股定理 ，根据直角三
角形的性质可得结论
【小问1详解】
证明：∵对角线 的垂直平分线 分别与 交于点O、E、F，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
【小问2详解】
解： 四边形 为菱形，
四边形 是矩形，
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．
．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
∴
∵ 是 的中点，
．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 和点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，直接写
出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质．
（1）把 和 代入得： ，解出 的值可得答案；
（2）当 时， ，把 代入 得 ，根据当
时，对于 的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，可知 ．
【小问1详解】
解：把 和 代入得：
，
解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
当 时， ，
把 代入 得： ，
解得 ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，
∴直线 (与直线 的交点的横坐标不小于3，
．
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23. 如图， 是 的外接圆， 的直径 交 于点E，点D为 的中点，连接 ．
（1）求证： ；
（2）过点C作 ，交 的延长线于点F，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到 ，求得 ，连接 ，得到
，求得 ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵点 为 的中点，
，
；
【小问2详解】
解：∵ ，
，
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，
，
，
连接 ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
．
24. 某校七、八年级各有400名学生，为了解他们每学期参加社会实践活动的时间情况，现从七、八年级
各随机抽取20名学生进行调查，下面给出部分信息．
a．七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据如下：
3，4，8，9，6，8，10，11，5，7，9，11，9，6，7，9，10，5，10，5
b．八年级 20 名学生参加社会实践活动时间的数据的频数分布直方图如下：（数据分为 5 组：
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）
c．八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据在 这一组的是：
时
8 9
间/h
人数 4 2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全b中的频数分布直方图；
（2）七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的众数是 ；八年级20名学生参加社会实践活动
时间的数据的中位数是 ；
的
（3）为鼓励学生积极参加社会实践活动，对七、八年级在本学期参加社会实践活动时间不小于8小时 同
学进行表彰，估计这两个年级共有多少同学受表彰？
【答案】（1）见详解 （2）
（3）估计这两个年级大约共有500名同学受表彰
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是
正确求解的前提．
（1）用20减去其它各组的频数，可得 的频数，进而补全 中的频数分布直方图；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用400乘样本中参加社会实践活动时间不小于8小时 同的学所占比例解答即可．
【小问1详解】
解： (人)；
频数分布直方图如图所示：
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【小问2详解】
在七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据中，9出现的次数最多，故众数是9；
八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的中位数是 ．
故答案为： ；
【小问3详解】
(名)，
答：估计这两个年级大约共有500名同学受表彰．
25. 如图，已知 ，点D是边 上一点，且 ，点P是线段 上的动点，过点P作
的垂线，垂足为E，连接 ，设 ．
通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：
（1）选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：
0 1 2 3 4 5 6
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；
（2）自变量x的取值范围是_______；
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（3）在平面直角坐标系 中，画出此函数的图象：
（4）结合函数图象解决问题：当 时， 的长约为________ （结果精确到 ）．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题
的解题关键．
（1）当 时，点 运动到点 处，此时点 与点 重合，即可求出 长；
（2）由 ，可得 的取值；
（3）描点，连线即可；
（4）做出 的图形，利求出交点纵坐标即 的长．
【小问1详解】
解：当 时，点 运动到点 处，此时点 与点 重合，
，
；
【小问2详解】
∵ ，
即当点 在点 处时， ，
当点 在点 处时， ，
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∴自变量 的取值范围是 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
如图所示，
【小问4详解】
当 时， ，如图，
作 的图象，与之前函数交于点 ，经测量点 纵坐标约为 ，
∴ 长约为 ，
故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ，点 在抛物线 上．设抛物线的
对称轴为直线 ．
（1）若 ，求t的值；
（2）点 在该抛物线上，若对于 都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 性质，熟悉相关结论是解题关键．
（1）由题意得 ，据此即可求解；
（2）分类讨论①当 时，②当 时，两种情况即可求解；
【小问1详解】
解： 点 ，点 在抛物线 上，
且 ，抛物线的对称轴为 ，
，
．
【小问2详解】
解： 点 ，点 ，点 在抛物线 上，
， ， ．
且 ．
①当 时，有 ，
②当 时，有 ，
．
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．
．
．
综上： ．
27. 在 中， ，点D在线段 上（点D与点A、点C不重合），连接 ，
过点D作 的垂线交直线 于点E，过点A作 的垂线交直线 于点F．
（1）如图1，当点D在线段 上时，
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系并证明．
（2）如图2，当点D在线段 的延长线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段
之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；② ，见解析
（2）补全图形见解析，
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助
线构造全等三角形是解题的关键．
（1）①由余角的性质可求解；②由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
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（2）由“ ”可证 ，可得 ，即可求解．
【小问1详解】
①证明：∵ ，
，
又 ，
；
② ，理由如下：
在
如图1， 上截取 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
理由如下：如图2，过点 作 ，交 的延长线于 ，
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，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
即 ．
28. 我们规定：将图形 先向右平移 个单位，得到图形 ，再作出图形 关于直线 的对
称图形 ，则称图形 是图形 的 ， 平对图形．
（1）已知点 ，若 ， ，则点 的坐标是________；点 的坐标是________；
（2）已知点 ，它的平对图形 ，求出 与 的数量关系；
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（3）已知 的半径为 ，其中 ，若存在实数 ，使 的平对图形与直线 有公共点，
直接写出 的最小值及相应的 的值．
【答案】（1）点 的坐标是 ；点 的坐标是
（2）
（3） 的最小值为 ，相应的 的值为
【解析】
【分析】（1）根据坐标的平移和轴对称规律，结合新定义解答即可；
（2）根据新定义和坐标平移，轴对称坐标的变化规律列式变形即可求出 与 的数量关系；
（3）先求出圆心 的平对点 的坐标，求出 到直线 的距离，再根据 的平对图形与直
线 有公共点，则 到直线 的距离不大于半径 ，列式求解即可．
【小问1详解】
解：点 向右平移 个单位，得到 ，即 ，
关于直线 的对称点 ，即 ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
点 ，它的平对图形 ，
, 向右平移 个单位长度，得到 ' ， 关于直线 的对称图形 ''，
，
；
【小问3详解】
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圆心 向右右平移 个单位，得到 关于直线 的对称点
，
画出示意图如下，连接 '' ，图中 ， ， ， 于点 ，
， ， ，
，
使 的平对图形与直线 有公共点，只要 到直线 的距离不大于半径 即可，
，即 ，
当 时，解得 ，此时有最小值，
，
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， 随着 的增大而增大，
当 时， 最小，最小值为 ；
当 时，解得 ，此时有最大值，不合题意，
故 的最小值为 ，相应的 的值为 ．
【点睛】本题以新定义为背景，考查几何变换，解答中涉及平移，轴对称，坐标与变换，点到直线的距离，
直线与圆的位置关系，面积法，一次函数图象，不等式变形等，理解新定义是解题的关键．
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