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北京市大兴区第一中学 2025 届高三下学期高考适应性测试（三模）数
学试题
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
3. 设 ，若 ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 已知 ，则 的值为（ ）
A. 15 B. C. D.
5. 已知点 是准线为 的抛物线 上一动点， 于点 ，点 ，则
的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 ，则函数 的最小正周期为（ ）
.
A B. C. D.
7. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现
有一台计算机每秒能进行 次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行 次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据： ， ）（ ）
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
8. 已知数列 为无穷等比数列， 为其前 项和，“存在 ，对于任意的 ， ”是
“存在 ，对于任意的 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除
中，底面 是正方形， ∥平面 ， ，其余棱长都为 ，则这个几何体的
体积为（ ）
A. B. C. D.
的
10. 已知 半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两点，D为BC的中
点，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数 是纯虚数，则 ________．
12. 过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，则 的最小值为__________．的
13. 已知函数 ，若 对任意 都成立，则满足条件 一个实数 的
值是_____________.
14. 设 为双曲线 的左、右焦点，且直线 为双曲线 的一条渐近
线，点 为 上一点，如果 ，那么双曲线 的方程为_____________．
15. 已知 是各项均为正数的无穷数列，其前 项和为 ，且 给出下列四个结论：
① ；
② 各项中的最大值为2；
③ ，使得 ；
④ ，都有 .
的
其中所有正确结论 序号是_______.
三、解答题：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求a的值．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
17. 如图，矩形 ，平面 平面 ，，平面ADF与棱BE交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求直线CF与平面ADF夹角的正弦值．
18. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等
情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对
“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（2）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很
有帮助”记4分．
①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率；
②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为 ，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得
分的平均值记为 ，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为 ，请直接写出 的大小关系．
（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 经过点 ，且右顶点为 ．（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）过点 的直线与椭圆 交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线
OP交于点M、N，求证： ．
20. 已知函数 的最大值为 ，设函数 的图象在点 处的切线为 ．
（1）求 的值；
（2）证明：当 时，切线 与函数 的图象有另一交点 ，且 .
21. 给定正整数k，m，其中 ，如果有限数列 同时满足下列两个条件．则称 为
数列．记 数列的项数的最小值为 ．
条件①： 的每一项都属于集合 ；
条件②：从集合 中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是 的子列．
注：从 中选取第 项、第 项、…、第 项（ ）形成的新数列 称为
的一个子列．
是
（1）分别判断下面两个数列， 否为 数列．并说明理由！
数列 ；
数列 ．
（2）求 的值；
（3）求证 ．
