文档内容
2024 年高考适应性考试（二）
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B.5 C. D.2
3.若 ，则 等于（ ）
A.49 B.55 C.120 D.165
4.已知 对于任意 ，都有 ，且 则 （ ）
A.4 B.8 C.64 D.256
5.已知函数 （ ）在区间 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为
（ ）
A.15 B.25 C.30 D.35
7.已知曲线 与曲线 在第一象限交于点 ，在 处两条曲线的切线
倾斜角分别为 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8.在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，平面
学科网（北京）股份有限公司截正方体 外接球所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题
卡相应位置上.
9.已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，向量 ，且 与 夹角 ，则向量 可以
为（ ）
A. B. C. D.
10.已知椭圆 （ ）的左，右焦点分别为 ， ，上，下两个顶点分别为 ， ，
的延长线交 于 ，且 ，则（ ）
A.椭圆 的离心率为 B.直线 的斜率为
C. 为等腰三角形 D.
11.某农科所针对耕种深度 （单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据
如下表：
耕种深度 /cm 8 10 12 14 16 18
每公顷产量 /t 6 8 11 12
已知 ，用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程： ， ，
，数据在样本 ， 的残差分别为 ， .
（参考数据：两个变量 ， 之间的相关系数 为 ，参考公式： ，
学科网（北京）股份有限公司， ）
则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 ，当 时， _________.
13.已知二面角 为直二面角， ， ， ， ，则 与 ， 所成的角分别为
， ， 与 所成的角为___________.
14.已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，则线段 中点 的轨迹方程
为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.
15.（本小题满分13分）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求 ， ，并证明：数列 是等差数列；
（2）求 .
16.（本小题满分15分）已知函数 ， ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 且 恒成立，求 的最小值.
17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老
师担任教练.
（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，
学科网（北京）股份有限公司每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为 .传球从老师开始，记为第一次传球，前三次
传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
18.（本小题满分17分）已知三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形， 为
的重心， .
（1）求证： ；
（2）已知 ， 平面 ，且 平面 .
①求证： ；
②求 与平面 所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）已知双曲线 的渐近线为 ，左顶点为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）直线 交 轴于点 ，过 点的直线交双曲线 于 ， ，直线 ， 分别交 于 ，
，若 ， ， ， 均在圆 上，
①求 的横坐标；
②求圆 面积的最小值.
学科网（北京）股份有限公司【参考答案】
一、单选题
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A
二、多选题
9.AD 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12.1 13. 14.
四、解答题
15.（1）当 时，由条件得 ，所以 .
当 时，由条件得 ，所以 .
因为 ，所以 （ ），
两式相减得： ，即 ，
所以 ，
从而数列 为等差数列.
（2）由（1）知 ，
与（1）类似，可证： ， ，…， 成等差数列，
所以
.
16.（1） （ ），
当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上递增；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ； ， ，
从而 在 上递增，在 递减.
（2）令 ，要使 恒成立，
只要使 恒成立，也只要使 .
，
由于 ， ，所以 恒成立，当 时， ，当 时， ，
所以 ， ，
解得： ，所以 的最小值为 .
17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为 ；
再选出副队长，方法数也是 ，故共有方法数为 （种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为 （种）；
若甲任队长，方法数为 ，故甲不担任队长的选法种数为 （种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为 ；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，
其概率为 ；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为 ，故这种传球方式，三次传球后
球回到老师手中的概率为： .
学科网（北京）股份有限公司②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为 ，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球
给甲，其概率为 ，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为 ，这种传球方式，三次传球后球回到老师
手中的概率为 .
所以，前三次传球中满足题意的概率为： .
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是 .
18.（1）连 交 于 ，连 .
由于 为 的重心，所以 为 的中点.
在三棱柱 中，因为 ， ， ，所以 ，
从而 .
由于 为 的中点，所以 ， ，又 ，所以 平面 ，因为
平面 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）①∵ ， ，∴ 为正三角形；同理， 也为正三角形，∴
，从而三棱锥 的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，
学科网（北京）股份有限公司由于 为 的重心，∴ 平面 ，又 平面 ，所以 .
②设 的重心为 ， ，且 ，在平面 内，过 作 ，连 ，
则 平面 .
以 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.
，
所以 ， ， ， ，
，
所以 .
设 ， 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以设 ，由①知： ，从而存在实数 ，使 ，
所以 ，解得： ， ， ，
从而 . ，令 ，
，令 ，
学科网（北京）股份有限公司.
19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在 轴上，可设双曲线的方程为
（ ， ），从而渐近线方程为： ，由题条件知： .
因为双曲线的左顶点为 ，所以 ， ，双曲线的方程为： .
（2）① ，设直线 的方程为： ，将 代入方程： ，
得： ，当 且 时，
设 ， ，则 ， .
设直线 得倾斜角为 ，不妨设 ，则 ，
由于 ， ， ， 四点共圆知： ，所以直线 的倾斜角为 ，
.
学科网（北京）股份有限公司直线 的方程为： ，令 ，则 ，从而 ，
所以 ，又 ，得： ，
，
又 ， 代入上式得：
，
，
，
化简得： ，解得： （舍）或 .
故点 的坐标为 .
② ，由①知： ，所以 .
，所以 ，
若 ， 在 轴上方时， 在 的上方，即 时， ；
若 ， 在 轴下方时，即 时， ，所以 或 .
又直线 与渐近线不平行，所以 .
所以 ， 或 且 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
设圆 的半径为 ，面积为 ，则 ，
所以
，
当且仅当 即 时，上述不等式取等号，
或 且 .
所以 且 ，从而 且 .
学科网（北京）股份有限公司
