2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题_2024年4月_01按日期_15号_2024届江苏省南通如皋高三下适应性考试(二)(南通2.5模）_2024届江苏省南通市如皋市高三下学期二模数学试题

2024 年高考适应性考试（二） 数学试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.  1.sin2 的值为（ ） 12 1 3 1 3 1 3 A.  B.  C. D. 2 4 2 4 4 4 2.已知复数z满足z2 34i，则 z （ ） 3 A. B.5 C. 5 D.2 2 3.若 1x 2  1x 3 1x 10 a a xa x2 a x10，则a 等于（ ） 0 1 2 10 2 A.49 B.55 C.120 D.165 1 4.已知 f  x 对于任意x,yR，都有 f  x y  f  x  f  y ，且 f   2则 f  4 （ ） 2 A.4 B.8 C.64 D.256   2 5.已知函数 y 3sinxcosx（0）在区间   ,  上单调递增，则的最大值为（ ）  4 3  1 1 12 8 A. B. C. D. 4 2 11 3 6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ） A.15 B.25 C.30 D.35 7.已知曲线C :x2  y2 4x2y0与曲线C : f  x  x2在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线 1 2 倾斜角分别为，，则（ ）     A. B.  C. D.  2 2 3 4 8.在棱长为2的正方体ABCDABC D 中，P，Q，R分别为棱BC，CD，CC 的中点，平面PQR截 1 1 1 1 1 正方体ABCDABC D 外接球所得的截面面积为（ ） 1 1 1 1 5 8 35 2 15 A.  B.  C.  D.  3 3 3 3 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分，请把答案填涂在答题 学科网（北京）股份有限公司卡相应位置上.    3 3        9.已知向量a在向量b方向上的投影向量为 , ，向量b 1, 3 ，且a与b夹角 ，则向量a可以    2 2 6 为（ ）         A. 0,2 B. 2,0 C. 1, 3 D. 3,1 x2 y2 10.已知椭圆C:  1（a b0）的左，右焦点分别为F ，F ，上，下两个顶点分别为B ，B ， a2 b2 1 2 1 2 1 BF 的延长线交C于A，且AF  BF ，则（ ） 1 1 1 2 1 1 3 A.椭圆C的离心率为 B.直线AB 的斜率为 3 3 1 C.△ABF 为等腰三角形 D.AB :AB  11:3 3 1 2 2 1 11.某农科所针对耕种深度x（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系进行研究，所得部分数据如 下表： 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 18 每公顷产量y/t 6 8 m n 11 12 已知mn，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程： y b  xa  ， 6 y2 510， 6  y  y 2 24， i i i1 i1 数据在样本 12,m ， 14,n 的残差分别为， . 1 2  n  x x  y  y  20 i i （参考数据：两个变量x，y之间的相关系数r为 ，参考公式：b   i1 ，a   yb x， 21  n  x x 2 i i1  n  x x  y  y  i i r  i1 ）  n  x x 2   n  y  y 2 i i i1 i1 则（ ） 4 10 A.mn17 B.b   C.a   D.  1 7 7 1 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. f  1h  f  1  12.已知 f  x  x3 x2，当h0时， _________. h 学科网（北京）股份有限公司 13.已知二面角l为直二面角，A，B，Al，Bl，则AB与，所成的角分别为 ， 6  ，AB与l所成的角为___________. 4 14.已知抛物线C:y2 4x，过点 4,0 的直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB中点M 的轨迹方程 为__________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程. 1 15.（本小题满分13分）设数列 a 的前n项和为S ，若S  a n2 1，nN* . n n n 2 n （1）求a ，a ，并证明：数列 a a 是等差数列； 1 2 n n1 （2）求S . 20 2 16.（本小题满分15分）已知函数 f  x lnxax，g  x  ，a 0. ax （1）求函数 f  x 的单调区间； （2）若a 0且 f  x ≤g  x 恒成立，求a的最小值. 17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师 担任教练. （1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？ （2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等， 1 每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为 .传球从老师开始，记为第一次传球，前三次 7 传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？ 18.（本小题满分17分）已知三棱柱ABCABC 中，底面△ABC是边长为2的正三角形，G 为△ABC 1 1 1 1 的重心，AABAAC  60 . 1 1 （1）求证：BB BC ； 1 学科网（北京）股份有限公司（2）已知AA2，P平面ABC，且C P 平面ABC. 1 1 1 ①求证：AG∥C P； 1 ②求AP与平面ABC所成角的正弦值. 1 1 3   19.（本小题满分17分）已知双曲线E的渐近线为y  x，左顶点为A  3,0 . 3 （1）求双曲线E的方程； （2）直线l:xt交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线AB，AC 分别交l于G ，H， 若O，A，G ，H均在圆P上， ①求D的横坐标； ②求圆P面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司【参考答案】 一、单选题 1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A 二、多选题 9.AD 10.ACD 11.ABD 三、填空题  12.1 13. 14.y2 2  x4  3 四、解答题 1 15.（1）当n1时，由条件得a  a  2，所以a 4. 1 2 1 1 1 当n2时，由条件得 a a  a 5，所以a 2. 1 2 2 2 2 1 1 因为S  a n2 1，所以S  a  n1 21（n≥2）， n 2 n n1 2 n1 1 1 两式相减得：a  a  a 2n1，即a a  4n2， n 2 n 2 n1 n n1 所以 a a  a a 4  n1 2 4n2 4，   n1 n n n1 从而数列 a a 为等差数列. n1 n （2）由（1）知a a  4n2， n n1 与（1）类似，可证：a a ，a a ，…，a a 成等差数列， 1 2 3 4 19 20 所以S  a a  a a  a a  20 1 2 3 4 19 20 10  678   422  442  4202  420 . 2 1 1ax 16.（1） f x  a （a 0）， x x 当a0时，由于x 0，所以 f x 0恒成立，从而 f  x 在 0,上递增； 1 1 当a 0时，0 x ， f x 0；x ， f x 0， a a  1 1  从而 f  x 在0, 上递增，在 , 递减.  a a  2 （2）令h  x  f  x g  x lnxax ，要使 f  x ≤g  x 恒成立， ax 只要使h  x ≤0恒成立，也只要使h  x  ≤0. max 学科网（北京）股份有限公司1 2  ax1  ax2  h x  a  ， x ax2 ax2 2 2 由于a 0，x 0，所以ax10恒成立，当0 x 时，h x 0，当  x时，h x 0， a a 2 2 2 所以x ，h  x  h   ln 3≤0， a max a a 2 2 解得：a≥ ，所以a的最小值为 . e3 e3 17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C1； 3 再选出副队长，方法数也是C1，故共有方法数为C1C1 9（种）. 3 3 3 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A2 4312（种）； 4 若甲任队长，方法数为C1，故甲不担任队长的选法种数为1239（种） 3 答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. 1 （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为 ；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学， 4 6 1 其概率为 ；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为 ，故这种传球方式，三次传球后 7 7 1 6 1 3 球回到老师手中的概率为：    . 4 7 7 98 3 ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为 ，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球 4 2 1 给甲，其概率为 ，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为 ，这种传球方式，三次传球后球回到老师 7 7 3 2 1 3 手中的概率为    . 4 7 7 98 3 3 3 所以，前三次传球中满足题意的概率为：   . 98 98 49 3 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是 . 49 18.（1）连AG交BC于D，连AD. 1 由于G 为△ABC的重心，所以D为BC的中点. 1 在三棱柱ABCABC 中，因为AB  AC ，AA AA，AABAAC ，所以△AAB≌△AAC ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 从而AB  AC. 1 1 学科网（北京）股份有限公司由于D为BC的中点，所以AD  BC ，AD  BC，又ADAD D，所以BC 平面AAD，因为 1 1 1 AA平面AAD，所以BC  AA，因为AA∥BB，所以BC BB . 1 1 1 1 1 1 （2）①∵AA AB 2，AAB60，∴△AAB为正三角形；同理，△AAC也为正三角形，∴ 1 1 1 1 AB  AC BC  2，从而三棱锥AABC 的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 1 1 1 由于G 为△ABC的重心，∴AG 平面ABC，又C P 平面ABC，所以AG∥C P. 1 1 1 1 1 ②设△ABC的重心为O，OAD，且AO:OD2:1，在平面ABC内，过O作OE∥BC ，连AO， 1 则AO 平面ABC. 1 以O为原点，以OA，OE，OA 分别为x， y，z 轴建立空间直角坐标系. 1 2 2 3 2 6 AO  AA2AO2  22   ， 1 1   3   3 2 3   3   3   2 6  所以A ,0,0，B ,1,0，C ,1,0，A 0,0, ，   3     3     3   1  3         2 6    2 6 OC OA  AC OA  AC 0,0,   3,1,0  3,1, ， 1 1 1 1 1   3     3    2 6 所以C  3,1, . 1  3    设G  x,y,z ，AP与平面ABC所成的角为， 1 1 1  2 6   3   3   2 3 2 6  则 x,y,z  0,0,  ,1,0 ,1,0 ,0,  ，         3 3   3   3   9 9    8 3 2 6 所以AG ,0, ，    9 9  学科网（北京）股份有限公司    因为P平面ABC，所以设P  x,y,0 ，由①知：C P∥AG，从而存在实数，使C P AG， 1 1  2 6  8 3 2 6 5 3 所以x 3,y1,  ,0, ，解得：3，y 1，x ，      3   9 9  3 5 3   5 3 2 6      从而P ,1,0.AP ,1, ∥ 5, 3,2 2 ，令a  5, 3,2 2 ，   3   1   3 3     8 3 2 6      AG ,0, ∥ 4,0, 2 ，令n 4,0, 2 ，    9 9        an 54   3 0 2 2  2 2 2 sin     . a  n 52 38 4 22 3 x2 y2 19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，可设双曲线的方程为  1 a2 b2 b b 3 （a 0，b0），从而渐近线方程为： y  x，由题条件知：  . a a 3   x2 因为双曲线的左顶点为A  3,0 ，所以a  3，b1，双曲线的方程为：  y2 1. 3 （2）①D  t,0 ，设直线BC的方程为：my  xt ，将xmyt代入方程：x2 3y2 30，     得： m2 3 y2 2mtyt2 30，当m2 30且12 t2 m2 3 0时， 2mt t2 3 设B  x ,y ，C  x ,y ，则 y  y  ，y y  . 1 1 2 2 1 2 m2 3 1 2 m2 3   设直线AG得倾斜角为，不妨设0 ，则AGH  ， 2 2  由于O，A，G ，H四点共圆知：HOD AGH ，所以直线OH 的倾斜角为 ， 2 学科网（北京）股份有限公司  sin     sin  2  k k  tantan     1. AG OH  2  cos   cos    2  y  t 3   y  t 3  直线AC的方程为：y  y 2  x 3  ，令xt ，则 y  2 ，从而H  t, 2  ， x  3 x  3  x  3  2 2  2      y t 3 y t 3 2 y y 2 所以k  ，又k k  1 ，得： 1  1， OH t  x  3  AG AB x  3 x  3 t  x  3  2 1 1 2       t 3 y y t x  3 x  3 ， 1 2 1 2 又x my t ，x my t 代入上式得： 1 1 2 2      t 3 y y t my t 3 my t 3 ， 1 2 1 2       2  t 3 y y t m2y y m t 3  y  y  t 3 ， 1 2  1 2 1 2    t2 3  t2 3   2mt  2  t 3  tm2 m t 3   t 3  ， m2 3  m2 3 m2 3  3 化简得：4t2 3 3t30，解得：t  3（舍）或t  . 4  3  故点D的坐标为 ,0.    4    3  3 5 3  ②AG:y tan x 3 ，由①知：t  ，所以G , tan.   4  4 4  1  3 3  OH : y  x，所以H , ，   tan  4 4tan  5 3 3 若G ，H在x轴上方时，G 在H的上方，即tan0时， tan ； 4 4tan 5 3 3 5 5 若G ，H在x轴下方时，即tan0时， tan ，所以tan 或tan . 4 4tan 5 5 3 又直线AG与渐近线不平行，所以tan  . 3 学科网（北京）股份有限公司5 5 3 所以0，tan 或tan 且tan  . 5 5 3 2 2 因为OG    3     5 3tan   1 3  1 25tan2  ，      4   4  4 1   3 125tan2 OG 4 设圆P的半径为R，面积为S，则2R   ， sin sin      3 125tan2 1 125tan2 sin2cos2 所以R2     64 sin2 64 sin2    3 125tan2 1tan2 3  1     25tan2  26 64 tan2 64  tan2  3  1  27 ≥ 2 25tan2 26 ， 64   tan2   16 1 5 当且仅当25tan2 即tan 时，上述不等式取等号， tan2 5 5 5 3 tan 或tan 且tan  . 5 5 3 27 7 27 7 所以R2  且R2  ，从而S  且S  . 16 4 16 4 学科网（北京）股份有限公司