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浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷
数学试题
（2025年4月）
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集概念进行求解.
【详解】 .
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】 .
故选：B.
3. 已知向量 满足 ， ，且 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 7
【答案】C
【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出 ，再由 及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ， ，且 的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
4. 直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
又圆心 到直线 的距离 ，
所以弦长 为 .
故选：B
5. 将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简 ，再得到平移后的解析式，即可得到 ， ，逐个
检验即可得出答案.【详解】因为 ，
将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 ，
所以 ，则 ， ，
， ，当 时， ， 时， ，
故选：A.
6. 已知函数 ，则（ ）
A. 当 时， 是偶函数，且在区间 上单调递增
B. 当 时， 是奇函数，且在区间 上单调递减
C. 当 时， 是偶函数，且在区间 上单调递减
D. 当 时， 是奇函数，且在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的 取值，对函数进行分析，即可判断和选择.
【详解】对AB：当 时， ，其定义域为 ， ，故
为偶函数；
又 ，当 时，令 ，
因为 在 单调递增， 在 单调递增，故 在 单调递增，故 在 单调递减，故AB都错误；
对CD：当 时， ，其定义域为 ， ，故
为奇函数；
又 ，当 时， 均为减函数，故 为 上的
减函数，
故 为 上的增函数，故C错误，D正确.
故选：D.
7. 已知双曲线 的左焦点为 ，点 在 的右支上，且 ，则 的最
小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 10 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义，将 与 进行转化，再结合三角形三边关系求出 的最小
值．
【详解】对于双曲线 ，根据双曲线的标准方程 （ ），可得 ，
．则 ．
设双曲线的右焦点为 ，由双曲线的定义可知，点 在双曲线的右支上，则 ，即
；
同理，点 在双曲线的右支上，则 ，即 ．所以 ．
根据三角形三边关系， ，当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立．
又 ，则 ，即 ．
所以 的最小值为10．
故选：C．
8. 已知 的两个内角 都是关于 的方程 的解，其中
，则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将方程转化为关于 的一元二次方程，利用根与系数关系得到 和 的
表达式，通过三角恒等式求出 ，进而求出 得解.
【详解】方程 变形为 ，
由题， 是方程的两根，则 ， ，又
，
又 ，所以 ，
，
又 ，则 ， ，
.
故选：B.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若
去掉一个最高分和一个最低分，则（ ）
A. 这组分值的极差变小
B. 这组分值的均值变大
C. 这组分值的方差变小
D. 这组分值的第75百分位数不变
【答案】AC
【解析】
【分析】对A，根据极差的定义求解判断；对B，计算前后两组数据的均值判断；对C，利用方差的公式
计算判断；对D，根据百分位数的定义计算判断.
【详解】对于A，原来6个数据的极差为 ，
去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为 ，极差变小了，故A正确；对于B，原来6个数据的均值为 ，
后来这4个数据的均值为 ，所以均值不变，故B错误；
对于C，原来6个数据的方差为
，
后来这4个数据的方差为 ，
所以这组分值的方差变小，故C正确；
对于D，因为 ，所以原来6个数据的第75百分位数为 ，
又 ，所以后来这4个数据的第75百分位数为 ，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在区间 内存在零点
B. 0是 的极小值点
C. 在区间 内存在极大值
D. 在区间 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A：令 ，得到零点，看区间 内有无这些零点，没有则不存在零点．对于
选项B：在 附近，分析 、 、 正负． 时 ， 时，所以 是极小值点．对于选项C：对 求导．在 内，分析 各项正负，判断是否
存在极大值．对于选项D：在 上，分析 正负，再分析 各项正负，得 ，所以
单调递减．
【详解】函数 ，令 ，则 或 或 ．
由 ，解得 ； 由 ，解得 ， ；
由 ，即 ，解得 ．
在区间 内，不存在上述使 的 值，所以 在区间 内不存在零点，A选项错误．
当 在 附近时， ， 在 上单调递增，且 ．
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， 在 附近正负交替，但 ，所以 是 的极小值点，
B选项正确．
对 求导，得：
．
当 时， ， ， ， ．
，且在 内，随着 的变化， 会先大于 后小于 ，所以 在区间 内存在极大
值，C选项正确．
当 时， ， ， ，则 ．
对 分析，在 上， ，， ，所以 ；
， ， ，所以 ；
， ， ，所以 ．
即 ，所以 在区间 上单调递减，D选项正确．
故选：BCD．
11. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. 数列 为递增数列
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：构造函数 ，求导判断其单调递增．由 算出 ，得 ．假
设 ，可推出 ，再构造 ，求导判断其单调性，得出 ，所以数
列递增．
对于B选项：由A选项分析知 ，所以不存在 使 ．
对于C选项：要证 ，构造 ，多次求导判断单调性，得出
，从而证明不等式成立．
对于D选项：由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可.【详解】设 ，对其求导可得 ．
因为 恒成立，所以 在 上单调递增．
已知 ，则 ，依次有 ， ,
，设 ， ，对 求导得 ．
当 时， ，所以 ， 在 上单调递减．
则 ，即 ，所以 为递增数列，A选项正确．
由上述分析可知 ，所以不存在 ，使得 ，B选项错误．
要证 ，即证 ．
设 ， ，对 求导得 ．
令 ，求导得 ，当 时， ，
在
所以 上单调递减．则 ，
所以 在 上单调递增．
所以 ，即 ，
所以 ， ，C选项正确.
由选项C知 ，移项可得 ，
两边同时乘以 得 .两边同时取倒数得 ，移项可得 .
因为 ，所以 ，即 .
利用累加法：
.
已知 ，则 ，所以 ，两边同时取倒数得 ，
移项可得 ，选项D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理可得 ，再由余弦定理可得 ，最后得到
.
【详解】 ，
由正弦定理可得， ，
又由余弦定理可得， ，， .
故答案为： .
13. 已知偶函数 的定义域为 ，且 ，则 的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过赋值法求得 ，以及 的解析式，再求其值域即可.
【详解】对 ，令 ，则 ，解得 ；
对 ，令 ，则 ，
又 为偶函数， ，故 ，解得 ；
又 ，故其值域为 .
故答案为： .
14. 设点 在“笑口”型曲线 上，则 的最小值为__________.
【答案】 ##-0.125
【解析】
【分析】分 和 两种情况去绝对值化简，利用二次函数求最值即可
【详解】当 时， ，即 ，平方得，即 ，
此时
， .
当 时， ，即 ，平方得 ，
即 ，
此时
，
综上， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的曲线方程，解题的关键是去绝对值，得到不含绝对值的曲线方
程. 本题中将获得的新曲线方程代入 ，消元后可得到所求的最小值.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）记 的两个零点分别为 ，求曲线 在点 处的切线方程.【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间.
（2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定 的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ，
因此函数 有两个零点 ，且 ，即 ，
则所求切线的切点坐标为 ，斜率 ，切线方程为
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
16. 已知数列 满足
（1）记 ，求 ，并证明数列 是等比数列；
（2）记 ，求满足 的所有正整数 的值.【答案】（1） ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件判断数列 的类型，再用等比数列定义证明即可；
（2）先运用等比数列公式求 ，再求出 的表达式，进而求出 的表达式，最后根据其
单调性确定满足条件的正整数 的取值．
【小问1详解】
因为 ，所以 .
又因为
所以数列 是首项为5，公比为2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ，
所以 ，
因为 单调递增，
且 ，
所以正整数 的所有取值为 .
17. 已知椭圆 的焦距为2，且过点 .
（1）求 的方程；
（2）设 为 的左、右顶点，在过点 且垂直于 轴的直线上任取一点 ，过 作 的切线，切点为（异于 ），作 ，垂足为 .记 和 的面积分别为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 ，代入 ，得到方程组，求出 ，得到答案；
（2）设 ，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，根据相切，由根的判别式得到
方程，求出 ，求出 ， ，表达出直线 的方程为 ，设
与 交于点 ，求出 ，所以 ， 为 中点，得到答案.
【小问1详解】
由题意知 ，且过点 ，
即 ，
解得 ，
所以 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，直线 的方程为 ，
代入 的方程得 .因为直线 与 相切，
所以 ，
化简得 ，所以 ，
所以 ，代入直线 的方程得 ，
设 与 交于点 ，又 ，直线 的方程为 ，
因为 ，
代入直线 的方程得 ，
所以 ，所以 为 中点.
因此点 到直线 的距离相等，所以 .
18. 如图，在四面体 中， ，记二面角 为
分别为 的中点.（1）求证： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）设在四面体 内有一个半径为 的球，若 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，即可得到 ，从而得到 平面
，即可得证；
（2）以 为原点， 分别为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法计算可得；
（3）设 在平面 内的射影为 ，即可得到点 到平面 的距离 ，即可求出四面体
的体积，再求出四面体 的表面积，即可求出四面体 的内切球半径 ，即可得证.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，又 分别为 的中点，
则 ， ，因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知 是二面角 的平面角，所以 .
如图，以 为原点， 分别为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，可取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .【小问3详解】
因为 与 的面积为 ，
设 在平面 内的射影为 ，即 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面
，
又 平面 ，所以 ，又 ，所以 为二面角 的平面角，
所以点 到平面 的距离 ，
因此四面体 的体积为 .
又 ， 平面 ，所以 ，所以 到直线 的距离等于 ，
所以 边 的高 ，
所以 的面积 ，
注意到 ，因此 的面积也为 ，
所以四面体 的表面积为 ，
因此四面体 的内切球半径 ，
所以 ，即 .19. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.
其中 校和 校各4名， 校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.
（1）若来自 校的4名毕业生的面试序号分别为 ，且 ，来自 校的4名毕业
生的面试序号分别为 ，且 ，来自 校的2名毕业生的面试序号分别为 ， ，
且 .
（i）求概率 ；
（ii）记随机变量 ，求 的均值 .
（2）经面试，第 位面试者的面试得分为 ，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为
提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则： ，且
，集合 中的最小元素为 ，最终录用第 位面试者.如果以新规则面试这10
名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接求解 即可；先求得 的取值，再根据期望计算公
式，直接计算即可；（2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，即可证明.
【小问1详解】
（i） ，
（ii） 的可能取值为 ，则 ，
所以
【小问2详解】
①第一种情况，录用了面试得分第一的人.
若面试得分第一的人在第 位，要使得其被录用，则在他前面的 个人中的最高分必然在前3
位，
其他 个人可以任意排列，在得分第一后面的 个人任意排列，这种情况的概率为：
.
②第二种情况，录用了面试得分第二的人.
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为 .
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第 位，
同样在他前面的 个人中的最高分必然在前3位，其他 个人可以任意排列，
在得分第二后面的 （含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为：
