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北京市丰台区 2021-2022 学年度第二学期综合练习（二）
高三数学 2022．04
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数
4. 在 的展开式中，常数项为
A. B. C. 60 D. 240
5. 已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班
迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某
天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（ ）
A. 0.13 B. 0.17 C. 0.21 D. 0.3
7. 已知 ， ， ，则（ ）A. B.
C. D.
8. 设等差数列 的前n项和为 ．若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知偶函数 在区间 上单调递减．若 ，则x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线C： （ ， ）的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ，
．以线段 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限， 与另一条渐
近线平行．若 ，则 的面积是（ ）
.
A B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量 ， ．若 ，则 ______．
12. 已知抛物线C： ，则抛物线C的准线方程为______．
13. 在 中， ， ， ，则 ______．
14. 在平面直角坐标系中，已知点 ，动点N满足 ，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______．
15. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： ）与时间t（单位：月）满足关系式： （a为常
数），记 （ ）．给出下列四个结论：
①设 ，则数列 是等比数列；
②存在唯一的实数 ，使得 成立，其中 是 的导函数；
③常数 ；
④记浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则 ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在正三棱柱 中， ，D为BC的中点，平面 平面 ．
（1）求证： ；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 已知数列 的前n项和为 ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ．若对任意 ，不等式 恒成立，求m的最小值．
条件①： 且 ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有
的
8张相同 卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回
地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片
中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何
奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望
；
（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿
意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
.
19 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间和极值；
（2）当 时，求证： ；（3）直接写出a的一个取值范围，使得 恒成立．
20. 已知椭圆C： 经过点 ，P到椭圆C的两个焦点的距离和为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 ，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C
交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
21. 设 ， ，…， ， ，是 个互不相同的
闭区间，若存在实数 使得 ，则称这 个闭区间为聚合区间， 为该聚合区间
的聚合点．
（1）已知 ， 为聚合区间，求t 的值；
（2）已知 ， ，…， ， 为聚合区间．
（ⅰ）设 ， 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k， ，使得
；
（ⅱ）若对任意p，q（ 且p， ），都有 ， 互不包含．求证：存在不同的i，
，使得 ．
