文档文本内容
2024 北京理工大附中高三三模
数 学
班级______姓名______
一、选择题
1. 设 ，其中x，y是实数，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算.
【详解】 ，．
由（1-i）x=1+yi，得x-xi=1+yi，
∴x=1,y=-1，
则|x-yi|=|1+i|= ．
故答案为B.
【点睛】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．
2. 已知集合 ，若 ，则 可能是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出 的取值集合即得.
【
详解】由 ，得 ，则 ， 或 ，
由 ，得 ，显然选项ABC不满足，D满足.
故选：D3. 在 展开式中，常数项的二项式系数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出常数项即得.
【详解】二项式 展开式的通项 ，
由 ，得 ，则 展开式的常数项是第2项，
所以常数项的二项式系数为 .
故选：A
4. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】 ，则 为偶函数，但在区间 上单调递减，
故A错误；
为偶函数，但在区间 上不具有单调性，
故B错误；
的定义域为 ，且 ，则 为偶函数，令 ，当 时，则 ，
则 ，由对勾函数的性质可知， 在 单调递增，
所以 在区间 上单调递增，故C正确；
为奇函数，故D错误；
故选：C
5. 已知双曲线 的一个焦点坐标是 ，则 的值及 的离心率分别为（ ）
A. B. C. 1，2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出 的值及离心率.
【详解】依题意，双曲线 化为： ，
则 ，解得 ，双曲线 的离心率 .
故选：A
6. 已知向量 ， 满足 ， ，若 ，且 ，则 的最大值
为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ， ，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到 ，
然后数形结合求 的最大值.【详解】如图:令 ， ，则 ，故 .
因为 ，所以 ，记 的中点为 ，所以点 在以 为直径的圆 上.
设 ，连接 ，因为 ，所以点 在直线 上.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
结合图形可知，当 时， 即 取得最大值，且 .
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何
中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的
解集、方程有解等问题.
7. 已知 是三个不同的平面， ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由 ，若 ，由面面平行的性质知： ，必要性成立；
由 ，若 ，则 或 相交，充分性不成立．
相交情况如下：故选：B.
8. 已知直线 ，圆 ，下列说法错误的是（ ）
A. 对任意实数 ，直线 与圆 有两个不同的公共点；
B. 当且仅当 时，直线 被圆 所截弦长为 ；
C. 对任意实数 ，圆 不关于直线 对称；
D. 存在实数 ，使得直线 与圆 相切．
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线 所过的定点，并判断该定点与圆 的位置关系，再逐项分析判断即可得解.
详解】直线 ，由 ，解得 ，即直线 恒过定点 ，
【
圆 的半径 ， ，即点 在圆 内，
对任意实数 ，直线 与圆 有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线 不过圆 的圆心，因此对任意实数 ，圆 不关于直线 对称，C正确；
直线 的斜率 ，当 时，直线 的斜率为 ，因此直线
此时直线 被圆 所截弦是过点 的最短弦，最短弦长为 ，因此当且仅当 时，直线 被圆 所截弦长为 ，B正确.
故选：D
9. 在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，则 的
周长为（ ）
A. 10 B. 11 C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出 即得.
【详解】在四棱锥 中，连接 交于 ，连 ，则 为 的中点，如图，
正方形 中， ， ，
在 与 中， ，则 ≌ ，
于是 ，
由余弦定理得 ，
所以 的周长为 .
故选：C10. 平面内相距 的A，B两点各放置一个传感器，物体 在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别
实时记录下 两点与 的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线 所示.已知曲线 经过
点 ， ， ，曲线 经过点 ，且 若 的运动轨迹
与线段 相交，则 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及 分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系，设点，作出相应的辅助线，分析可知 ，结合 分析求解
即可.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设动点 的轨迹与 轴重合，
其在 时刻对应的点分别为 ， 的速度为 ，
因为 ，可得 ，
由题意可知： 均与 轴垂直，且 ，作 垂足为 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ；
又因为 轴，
所以 的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值为： ；
又 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点 的轨迹与 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长
度，进而分析求解.
二、填空题
11. 已知角 的终边经过点 ，且 ，则 等于__________．
【答案】－4
【解析】
【详解】由题意， ，解得 ，故答案为 .
12. 已知抛物线 的焦点为 ，则 的坐标为______；过点 的直线交抛物线 于 两点，
若 ，则 的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由给定的抛物线方程直接求出焦点坐标；利用抛物线定义求出点 的纵坐标，再求出三角形面积.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，则 ，解得 ，于是 ， ，
所以 的面积为 .
故答案为： ；
13. 已知等比数列 满足： （ ），请写出符合上述条件的一个等比数列
的通项公式：______．
【答案】 （答案不唯一， （ ， ））
【解析】
【分析】根据给定条件，可得 ，公比 ，再写出数列 的一个通项公式即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ， ，得 ，
显然 ，即 ，于是 ，解得 ，
，满足 ， ，
取 ， .
故答案为：
14. 已知函数 ．
①若 ，则 的最小正周期是______；，②若 ，则 的值域是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】把 代入，t明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出 的最小正周期；把 代入，
利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出 的值域.
【详解】当 时， ，函数 的最小正周期为 ；
当 时， ，令 ，
，求导得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ， 的值域是 .
故答案为： ；
15. 设函数 给出下列四个结论：①对 ， ，使得 无解；
②对 ， ，使得 有两解；③当 时， ，使得 有解；④当 时，
，使得 有三解.其中，所有正确结论的序号是______.
【答案】③④
【解析】【分析】取 ，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数 的值域，可判断①的正误；当
时，可以否定②；考虑 时，求得函数 的值域，即可判断③；当 时，结合一次函数的
单调性和基本不等式，以及函数 的图象，即可判断④.综合可得出结论.
【详解】对于①，可取 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，当且仅当 时，取得等号，
故 时， 的值域为R，
∴ ， 都有解，故①错误；
对于②，当 时，由于对于任意 , 无解；
时， ，对任意的 ,至多有一个实数根，故②错误；
对于③，当 时， 时， 单调递减，可得 ；
又 时， ，即有 .
可得 ，则 的值域为 ，
∴ ， 都有解，故③正确；
对于④，当 时， 时， 递增，可得 ；
当 时， ，当且仅当 时，取得等号，
由图象可得，当 时， 有三解，故④正确.
故答案为：③④.【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运
用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题
16. 在锐角 中，已知
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理代入计算可得 或 ，然后结合余弦定理分别检验，再由三角形的面
积公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理的边角互化可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
且 为锐角三角形，所以 .
【小问2详解】
因为 ， ，由余弦定理可得 ，即 ，解得 或 ，
因为 为锐角三角形，当 时，边 最大，所以角 为最大角，
而 ，
此时角 为钝角，与 为锐角三角形矛盾，故 ；
当 时，边 最大，所以角 为最大角，
而 ，此时角 为锐角，
所以 符合条件.
所以 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ， 为
中点， ．
（1）设平面 平面 ，求证： ；
（2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥 存在且唯一确定．
（ⅰ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ⅱ）平面 交直线 于点 ，求线段 的长度．
条件①：平面 平面 ；条件②： ；
条件③：四棱锥 的体积为 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得.
（2）选条件①③或②③，证明 底面 ，求出 ，（ⅰ）以 为原点，建立空间直角坐标
系，求出平面 与平面 的法向量，进而求出面面角；（ⅱ）令 ，利用垂直关系的向
量表示求出 即可.
【小问1详解】
在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，则 ，
而 平面 平面 ，于是 平面 ，
又 平面 ，且平面 平面 ，所以 .
【小问2详解】
选条件①③，平面 平面 ，四棱锥 的体积为 ，
连接 和 交于点 ，连接 ，显然 是 中点，由 ，得 ，
而平面 平面 ， 平面 ， 底面 ，
， ，解得 ，
选条件②③， ，四棱锥 的体积为 ，连接 和 交于点 ，连接 ，显然 是 中点，由 ，得 ，
又 是 中点，由 ，得 ，而 平面 ，则， 底面 ，
， ，解得 ，
若选条件①②，平面 平面 ， ，此2条件均可证明 底面 ，
点 的位置不确定，即四棱锥 存在，但不唯一，因此条件①②不可选.
（i）以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
平面 的法向量为 ，因此 ，
所求平面 与平面 所成角的余弦值为 .
（ii）平面 交线段 于点 ，由（i）知， ，设 ，则 ，
由 ，得 ，所以 .
18. 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有 两个指标．从两条产品线上各随机抽取一
些产品，指标数据如下表：
甲生产线
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产品序号
指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02
指标 2.01 1.97 1.96 2.03 2.03 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02
乙生产线
1 2 3 4 5 6 7 8
产品序号
指标 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01
指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
（1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其 指标大于1且 指标大于2的概率；
（2）从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示 指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
（3）已知产品 指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪
条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）甲.
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，利用列举法求出古典概率即得.
（2）分别求出甲、乙的 指标大于2的产品的概率，再求出 的可能值及对应的概率，进而求出期望.（3）分别求出甲乙产品 指标之和与3的差的绝对值地平均值，比较大小即得.
【小问1详解】
记事件C为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A指标大于1且B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，A指标大于1且B指标大于2的产品为4号、9号、10号，共3个，
因此 可估计为 .
【小问2详解】
记事件 为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
记事件 为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，B指标大于2的产品为1号、4号、9号、10号，共4个，
因此 可估计为 ；
乙生产线抽取的8件产品中，B指标大于2的产品为1号、2号、3号、5号、6号、7号、8号，共7个，
因此 可估计为 ，因此 的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以 的期望为 .
【小问3详解】
甲生产线产品 指标之和与3的差的绝对值依次为：
，其平均值为 ；乙生产线产品 指标之和与3的差的绝对值依次为：
，其平均值为 ，
显然 ，所以甲生产线产品更好的概率估计值最大.
19. 已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右焦点 的
直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：点 在定直线上.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出 即可得解.
（2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，再求出直线 与直线 的交点横坐标，并结合韦达定理计
算即得.
【小问1详解】
依题意， ，半焦距 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
显然直线 不垂直于y轴，设直线 ，
由 消去x并整理得 ，
，设 ，则 ，且有 ，
直线 ，直线 ，
联立消去y得 ，即 ，
整理得 ，
即 ，
于是 ，而 ，
则 ，因此 ，
所以点 在定直线 上.
20. 已知 在 处的切线方程为 ．
（1）求实数 的值；
（2）证明： 仅有一个极值点 ，且 ．
（3）若 ，是否存在 使得 恒成立，存在请求出 的取值范围，不存在
请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）不存在，理由见详解【解析】
【分析】（1）求出 的导数，根据切线方程求出 ， 的值即可；
（2）求导可得 ，令 ，利用导数可得 的单调性，结合零点存在性定
理可得 在 上存在唯一零点 ，且 ，进而可得 的单调性，可判断极值情况；
结合 代入化简 ，运算得证；
（3）问题转化为 ，对 恒成立，当 时，显然上式不成立；当 时，令
，利用导数可得存在 ，使得 ，当 时，
，即 单调递减，此时 ，上式不能恒成立，得解.
【小问1详解】
由题意， ，则 ，
解得 ，又 ，可得切点为 ，代入 ，得 .
所以实数 .
【小问2详解】
由（1）得 ，则 ，
令 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
且当 时， ， ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，使得 即 ，
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 仅存在一个极值点 ， ，
，
又函数 ， ，而 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 .
【小问3详解】
若存在 ，使得 恒成立，即 ，对 恒成立，
当 时，当 时，则 ，显然上式不成立；
当 时，令 ， ，
则 ，
令 ，则 在 上恒成立，所以 即 在 上单调递增，又 ， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ，即 单调递减，此时 ，
所以 不恒成立，
故当 时，不存在 满足条件.
综上，不存在 ，使得 恒成立.
【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为 ，对 恒成立，分
和 讨论，其中 时，令 ，利用导数判断求解找出矛盾.
21. 给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项 ，并将剩
下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 .
将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 、 、 、 、 ，写出 、 、 的值及 的特征值；
（Ⅱ）若 ，当 ，其中 、 且 时，
判断 与 的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ； ； . 的特征值为 ；（Ⅱ） ，理由见解析；
（Ⅲ）最小值为 .【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中的定义可求出 、 、 的值及 的特征值；
（Ⅱ）分 、 和 、 两种情况讨论，结合题中定义可证明出
；
（Ⅲ）设 ，利用（Ⅱ）中的结论 ，结合数列 的特征值为 ，
可得出 ，并证明出 ，
即可求出 的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题知： ， ， ，
的特征值为 ；
（Ⅱ） .
理由如下：由于 ，可分下列两种情况讨论：
当 、 时，
根据定义可知：
，
同理可得： .
所以 ，所以 .
当 、 时，同理可得：，
所以 ，所以 .
综上有： ；
（Ⅲ）不妨设 ，
，
显然， ，
.
当且仅当 时取等号；
.
当且仅当 时取等号；
由（Ⅱ）可知 、 的较小值为 ，
所以 .
当且仅当 时取等号，
此时数列 为常数列，其特征值为 ，不符合题意，则必有
.
下证：若 ， ，总有 .证明：
.
所以 .
因此
.
当 时， 可取到最小值 ，符合题意.
所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定
义进行求解，考查推理能力，属于难题.
