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2023-2024 学年北京理工大学附属中学分校八年级（下）月考数
学试卷（4月份）
一、单选题
1．（3分）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示（ ）千米/秒．
A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×103
2．（3分）下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜b B．a+b＞0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，
直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 D，另一边与三角板的两直角边分别交于点
F，点A，那么∠BAF的大小为（ ）
A．20° B．40° C．45° D．50°
5．（3分）已知 ﹣ ＝1，则代数式 （ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
6．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则这个正多边形的每一个外角的度数是
第1页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．36° B．45° C．72° D．60°
7．（3分）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果
影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：
①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；
②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在 0.812附近摆动，显示出一定的稳定
性；
③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是 0.809，所以“罚球命中”的概率是
0.809．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①③ D．②③
8．（3分）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，连接CE．给出下面四个
结论：①AE+CE≥ a；②CE≤ a；④当CE＝a时，tan∠ABE＝ ，所有正
确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
二、填空题
9．（3分）分式 的值为0，则x的值是 ．
第2页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司10．（3分）方程 的解为 ．
11．（3分）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到
的新抛物线解析式为 ．
12．（3分）如图，A，B，D三点在半径为5的 O上，AB是 O的一条弦，若AB＝8，
则OC的长为 ． ⊙ ⊙
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲 、 乙 两 组 数 据 的 方 差 分 别 为 s 甲 2 ， s 乙 2 ， 则 s 甲 2 s 乙 2
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，BD＝8，则OM的
长为 ．
15．（3分）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的
x的值 ．
16．（3分）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需 A，B，C，D，E，F，G七道
工序．施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
第3页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时 11 15 28 17 16 31 25
间/天
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分
别为5万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短 万元．
三、解答题
17．计算： ．
18．解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．
20．下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：等边三角形△ABC．
作法：如图，
①以点A为圆心，以AB的长为半径作 A；
②以点B为圆心，以AB的长为半径作⊙B，交于 A于C；
③连接AC，BC． ⊙ ⊙
所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C在 A上，
∴AB＝AC（ ⊙ ）（填推理的依据）．
同理∵点A，C在 B上，
∴AB＝BC． ⊙
第4页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司∴ ＝ ＝ ．
∴△ABC是等边三角形． （ ）（填推理的依据）．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，0），（2，
2），
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 x＞﹣1时，对于 x的每一个值，函数y＝mx+2的值大于一次函数y＝kx+b
（k≠0），直接写出m的取值范围．
22．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了
志愿服务团队选拔活动，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两
所学校这些学生的整体情况（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x
＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82
83 83 84 85 86 86.5
87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 46%
第5页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生
中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由
为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分
数至少达到 分的学生才可以入选．
23．如图，在△AOC中，OA＝OC，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点
F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）连接DF，若sinA＝ ，AC＝9
24．如图，AB是 O的直径，过 O外一点P作 O的两条切线PC，切点分别为C，D，
连接OP ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，OA＝2，求OP的长．
25．小云在学习过程中遇到一个函数 （x≥﹣2）．下面是小云对其探
究的过程，请补充完整：
第6页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y ＝|x|，即y ＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y 随x的增大而
1 1 1
，且y ＞0；对于函数y ＝x2﹣x+1，﹣2≤x＜0当时，y 随x的增大而 ，且y
1 2 2 2
＞0；结合上述分析，进一步探究发现，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 ．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时
x 0 1 2 3 ⋯
y 0 1 ⋯
综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2），解决问题：若
直 线 l 与 函 数 的 图 象 有 两 个 交 点
．
26．在平面直角坐标系xOy中，点M（x ，y ），N（x ，y ）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a
1 1 2 2
＞0）上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x ＝a+1，x ＝a+2，比较y 与y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
（3）若对于m＜x ＜m+1，m+1＜x ＜m+2，总有y ＜y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
27．在△ABC中，∠B＝∠C＝ （0°＜ ＜45°），AM⊥BC 于点 M（不与点 M，C 重
合），将线段DM绕点D顺时针α 旋转2α得到线段DE．
α
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，EF，直接
写出∠AEF的大小
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）（0°＜ ≤180°），将
一个图形先绕点S顺时针旋转 ，再绕点T逆时针旋转 α
（1）点R在线段ST上，则在α点A（1，﹣1），B（3，α﹣2），C（2，﹣2），D（0，
﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是 ；
（2）x轴上的一点P经过一次“ 对称旋转”得到点Q．
①当 ＝60°时，PQ＝ ；α
②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；
（3）α以点O为圆心作半径为1的圆．若在 O上存在点M，使得点M经过一次“ 对
称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出 的⊙取值范围． α
α
第8页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司参考答案与试题解析
一、单选题
1．（3分）光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示（ ）千米/秒．
A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×103
【解答】解：每秒30万千米，用科学记数法表示3×105千米/秒．
故选：B．
2．（3分）下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一个点，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
故选：A．
3．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＜b B．a+b＞0 C．ab＞0 D．b﹣a＞0
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：观察数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，
A．|a|＞|b|＝b，该选项不符合题意；
B．a+b＜0，该选项不符合题意；
C．ab＜7，该选项不符合题意；
D．b﹣a＝b+（﹣a）＞0，该选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）摆放位置如图所示，
直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 D，另一边与三角板的两直角边分别交于点
F，点A，那么∠BAF的大小为（ ）
A．20° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，
∴∠CED＝40°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故选：A．
5．（3分）已知 ﹣ ＝1，则代数式 （ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：∵ ﹣ ＝3，
第10页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司∴ ﹣ ＝1，
则 ＝1，
∴mn＝n﹣m，即m﹣n＝﹣mn，
则原式＝
＝
＝
＝﹣3，
故选：D．
6．（3分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则这个正多边形的每一个外角的度数是
（ ）
A．36° B．45° C．72° D．60°
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故选：A．
7．（3分）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果
影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：
①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；
②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在 0.812附近摆动，显示出一定的稳定
性；
第11页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是 0.809，所以“罚球命中”的概率是
0.809．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①③ D．②③
【解答】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，但“罚球命中”的概率不
一定是0.822；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在 0.812附近摆动，可以估计该球员“罚
球命中”的概率是8.812；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是 0.809，但是“罚球命中”的概率不是
0.809．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，连接CE．给出下面四个
结论：①AE+CE≥ a；②CE≤ a；④当CE＝a时，tan∠ABE＝ ，所有正
确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
【解答】解：①连接AC，△ABC为等腰直角三角形 a，所以AE+CE≥ ；
②连接CO，OC＝ ＝
最小
＝ ＝ ，故CE≥
a；
③当CE与圆O相切时，∠BCE最大，若∠BCE＝60°，tan30＝ ，故③错误；
④当CE＝a时，CE与圆O相切 ，故④正确．
故选：C．
第12页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司二、填空题
9．（3分）分式 的值为0，则x的值是 1 ．
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣8＝0且x≠0，
∴x＝8．
故答案为1．
10．（3分）方程 的解为 ．
【解答】解： ，
去分母，得5x＝﹣x+2，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
故答案为： ．
11．（3分）将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到
的新抛物线解析式为 y ＝（ x ﹣ 2 ） 2 ﹣ 1 ．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向下平移1个单位长度，再向右平移8个单位长度后2﹣
1，
故答案为：y＝（x﹣4）2﹣1．
12．（3分）如图，A，B，D三点在半径为5的 O上，AB是 O的一条弦，若AB＝8，
则OC的长为 3 ． ⊙ ⊙
第13页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AC＝CB＝ AB＝8，
∴OC＝ ＝ ＝3，
故答案为：3．
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲 、 乙 两 组 数 据 的 方 差 分 别 为 s 甲 2 ， s 乙 2 ， 则 s 甲 2 ＞ s 乙 2
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【解答】解： ＝ ×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲 5＝ ×[（11﹣13）5+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）4+（15﹣13）2]＝2，
＝ ×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙 2＝ ×[（12﹣13）2+（12﹣13）5+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）5]＝0.8，
∵7＞0.8，
∴s甲 6＞s乙 2．
故答案为：＞．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，BD＝8，则OM的
长为 ．
第14页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ ×2＝2 BD＝ ，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝3 ，
∵点M为AB的中点，
∴OM＝ AB＝ ＝ ，
故答案为： ．
15．（3分）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的
x的值 50 ° （答案不唯一） ．
【解答】解：连接BF，BE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE，
∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝ ＝120°，
∴∠ABF＝ ＝30°，
∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，
∵点M在正六边形的边EF上运动，∠ABM＝x°，
∴30°≤x≤60°，
∴x＝50°．
故答案为：50°（答案不唯一）．
16．（3分）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需 A，B，C，D，E，F，G七道
第15页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司工序．施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时 11 15 28 17 16 31 25
间/天
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 8 6 天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分
别为5万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短 3 8 万元．
【解答】解：（1）由题意得：
28+17+16+25＝86（天），
即在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少86天完成；
故答案为：86；
（2）由题意可知，工序A缩短2天，工序D缩短2天时增加的投入最少
8×5+4×2+6×2
＝10+16+12
＝38（万元），
即所增加的投入最少是38万元．
故答案为：38．
三、解答题
17．计算： ．
【解答】解：
＝ ﹣2﹣2×
＝ ﹣1﹣
＝3．
第16页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司18．解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：
由①得，x≤2；
由②得，x＞﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤3．
在数轴上表示为：
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+6）x+m2﹣2＝4有两个不相等的
实数根，
∴[﹣（2m+1]）4﹣4（m2﹣4）＞0，
解得：m＞﹣ ．
∴m的取值范围是m＞﹣ ．
（2）根据题意得5m+1＝0，
解得m＝﹣ ，
故m的值为﹣ ．
20．下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：等边三角形△ABC．
作法：如图，
①以点A为圆心，以AB的长为半径作 A；
②以点B为圆心，以AB的长为半径作⊙B，交于 A于C；
⊙ ⊙
第17页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司③连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C在 A上，
∴AB＝AC（ 同圆的⊙半径相等 ）（填推理的依据）．
同理∵点A，C在 B上，
∴AB＝BC． ⊙
∴ AB ＝ AC ＝ BC ．
∴△ABC是等边三角形． （ 三边都相等的三角形是等边三角形 ）（填推理的依
据）．
【解答】解：（1）如图，
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C在 A上，
∴AB＝AC（同圆的半⊙径相等 ）（填推理的依据）．
同理∵点A，C在 B上，
∴AB＝BC． ⊙
∴AB＝AC＝BC．
∴△ABC是等边三角形． （三边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．
故答案为同圆的半径相等；AB，BC．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，0），（2，
2），
第18页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 x＞﹣1时，对于 x的每一个值，函数y＝mx+2的值大于一次函数y＝kx+b
（k≠0），直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把点（1，0），8）代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
故一次函数解析式为：y＝2x﹣2；
（2）把x＝﹣1代入y＝7x﹣2，求得y＝﹣4，
把点（﹣7，﹣4）代入y＝mx+2，
解得m＝8，
∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，
∴2≤m≤3．
22．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了
志愿服务团队选拔活动，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两
所学校这些学生的整体情况（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x
第19页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司＜100）．
b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：
80 80 81 81.5 82
83 83 84 85 86 86.5
87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78 46%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生
中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水
平更高，理由为 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学
更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至
少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分
数至少达到 88. 5 分的学生才可以入选．
【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为 ＝81.25，
乙学校学生成绩的中位数为84，
故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，
故答案为：A；
（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，乙校的中位数更高；与甲
校相比，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；
第20页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司故答案为：乙学校，与甲校相比，说明乙校综合展示水平较高的同学更多，乙校的优秀
率更高
（3） ×50＝15，
故预估甲学校分数至少达到88.4分的学生才可以入选，
故答案为：88.5．
23．如图，在△AOC中，OA＝OC，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点
F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）连接DF，若sinA＝ ，AC＝9
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OD是AC边上的中线，
∴ ，
∵∠COB的角平分线OH，
∴∠BOF＝∠COF，
∴ ，
∵CF⊥OH
∴四边形CDOF是矩形．
（2）解：∵OA＝OC，OD是AC边上的中线，
∴ ，
∵ ，
设OD＝4k，OA＝8k，
第21页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司根据勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形CDOF是矩形，
∴ ．
24．如图，AB是 O的直径，过 O外一点P作 O的两条切线PC，切点分别为C，D，
连接OP ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，OA＝2，求OP的长．
【解答】解：（1）方法1、连接OC，
∴OC＝OD，
∵PD，PC是 O的切线，
∵∠ODP＝∠⊙OCP＝90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中， ，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
第22页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司∴∠DOP＝∠COP，
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD；
方法2、∵PD，
∴PD＝PC，
∵OD＝OC，
∴P，O在CD的中垂线上，
∴OP⊥CD
（2）如图，连接OD，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝8，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝ ＝ ．
25．小云在学习过程中遇到一个函数 （x≥﹣2）．下面是小云对其探
究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y ＝|x|，即y ＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y 随x的增大而
1 1 1
减小 ，且y ＞0；对于函数y ＝x2﹣x+1，﹣2≤x＜0当时，y 随x的增大而 减小
1 2 2
，且y ＞0；结合上述分析，进一步探究发现，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 减小
2
．
第23页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时
x 0 1 2 3 ⋯
y 0 1 ⋯
综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2），解决问题：若
直线l与函数 的图象有两个交点 ．
【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y ＝|x|，即y ＝﹣x，当﹣2≤x＜4时，y
6 1 1
随x的增大而减小，且y ＞3；对于函数y ＝x2﹣x+2，当﹣2≤x＜0时，y 随x的增大而
1 2 7
减小，且y ＞0；结合上述分析，对于函数y，y随x的增大而减小．
2
故答案为：减小，减小；
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知，x＝﹣7时，最大值m＝ ，
故答案为： ．
26．在平面直角坐标系xOy中，点M（x ，y ），N（x ，y ）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a
1 1 2 2
第24页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司＞0）上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x ＝a+1，x ＝a+2，比较y 与y 的大小，并说明理由；
1 2 1 2
（3）若对于m＜x ＜m+1，m+1＜x ＜m+2，总有y ＜y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞8）的对称轴为：x＝﹣ ＝8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵a＞0，抛物线开口向上；
∴M（x ，y ），N（x ，y ）都在对称轴右侧，
2 1 2 4
∵当x＞1时，y随x的增大而增大 ＜x ，
1 2
∴y ＜y ；
1 2
（3）∵m＜x ＜m+1，m+1＜x ＜m+2，
3 7
∴ ＜ ，
∵y ＜y ，a＞0，
1 8
∴M（x ，y ）距离对称轴更近，x ＜x ，则MN的中点在对称轴的右侧，
1 4 1 2
∴
解得：m ．
27．在△ABC中，∠B＝∠C＝ （0°＜ ＜45°），AM⊥BC 于点 M（不与点 M，C 重
合），将线段DM绕点D顺时针α 旋转2α得到线段DE．
α
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，EF，直接
写出∠AEF的大小
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2 ，
α
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学科网（北京）股份有限公司∵∠C＝ ，
∴∠DECα＝∠MDE﹣∠C＝ ，
∴∠C＝∠DEC， α
∴DE＝DC，
∴DM＝DC，即D是MC的中点；
（2）∠AEF＝90°，
证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2 ，
∴∠FCH＝2 ， α
∵∠B＝∠C＝α ，
∴∠ACH＝ ，α△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠AαCH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，CM＝m+n，
.DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
第26页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）（0°＜ ≤180°），将
一个图形先绕点S顺时针旋转 ，再绕点T逆时针旋转 α
（1）点R在线段ST上，则在α点A（1，﹣1），B（3，α﹣2），C（2，﹣2），D（0，
﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是 B ， C ；
（2）x轴上的一点P经过一次“ 对称旋转”得到点Q．
①当 ＝60°时，PQ＝ 2 ； α
②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；
（3）α以点O为圆心作半径为1的圆．若在 O上存在点M，使得点M经过一次“ 对
称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出 的⊙取值范围． α
α
【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点
C；
当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″；
故答案为：B，C；
第27页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司（2）①当 ＝60°时，如图，
α
∵x轴上的一点P经过一次“ 对称旋转”得到点Q，
∴△SPP′和△TQP′均为等边α 三角形，
∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，
∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，
∴∠SP′T＝∠PP′Q，
∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），
∴PQ＝ST＝2，
故答案为：2；
②当 ＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，
如图，α将x轴作一次“ 对称旋转”后得到直线y＝﹣3，
α
第28页（共31页）
学科网（北京）股份有限公司∵QT⊥x轴，点P经过一次“ 对称旋转”得到点Q，
∴点Q的坐标为Q（1，﹣1）α，
∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，
∴P′T＝QT＝3，∠P′TQ＝30°，
∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，
∵∠TSP′＝30°，
∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，
∵ST＝2，
∴SP′＝ ＝ ，
∴SP＝SP′＝ ，
∴点P的坐标为P（﹣3+ ，0）．
（3）点M在 O上，则M绕S顺时针旋转 度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转
度以后的 ⊙O′上，则N在O′关于T逆时α针旋转 度以后的 O″上，只需 O′与
αx轴有交点⊙O″在粉弧上， α ⊙ ⊙
如图， O″与x轴相切，在x轴上取点R，使O″R＝7，
⊙
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学科网（北京）股份有限公司″
∴HR＝ ，
∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″T＝O′T，
∴△O″TR≌△TO′S（SSS），
∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，
故7°＜ ≤30°；
如图，α O″与x轴相切，在x轴上取点R，使O″R＝2，
⊙
∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，
∴∠TRO″＝150°，
∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，
∴∠SO′T＝∠RTO″，
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学科网（北京）股份有限公司∵O′T＝TO″，
∴△O′ST≌△TRO″（SAS），
∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，
∴ ＝150°，
∴α150°≤ ≤180°；
综上所述α，0°＜ ≤30°或150°≤ ≤180°．
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