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高三年级数学模拟试题评分细则
一、单选题
1. 设全集 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 为奇函数且 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
5. 已知抛物线 的弦 的中点横坐标为5，则 的最大值为（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为 ，高为
16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂
料，则共需涂料（ ）
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
7. 若数列 满足 ，则 一定等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 若函数 ，满足 ．若函数 存在零点 ，则（
）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用
APP的结论正确的是（ ）
A. 超过 大学生更爱使用购物类APP
的
B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D. APP使用目的中6个占比数字的 分位数是
10. 在正方体 中，点 为棱 中点，则（ ）
A. 过 有且只有一条直线与直线 和 都相交
B. 过 有且只有一条直线与直线 和 都垂直
C. 过 有且只有一个平面与直线 和 都平行
D. 过 有且只有一个平面与直线 和 所成角相等
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学科网（北京）股份有限公司的
11. 已知 ，记 为集合 中元素 个数， 为集合 中的最小元素．若非空数集
，且满足 ，则称集合 为“ 阶完美集”．记 为全部 阶完美集的个数，
下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 将 阶完美集 的元素全部加1，得到的新集合，是 阶完美集
C. 若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
D. 若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
三、填空题
12. 在多项式 的展开式中， 的系数为32，则 ______.
13. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》
而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为
30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．
14. 如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 顺时针旋转 后，构成一个斜坐标平面 .在此斜坐标
平面 中，点 的坐标定义如下：过点 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于 两点，则
在 轴上表示的数为 ， 在 轴上表示的数为 .那么以原点 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方
程为___________.
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学科网（北京）股份有限公司15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个
“二阶等差数列”，已知数列 是一个二阶等差数列，其中 ．
（1）求 及 通的项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
16. 某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，
分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现
从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
（1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80 90分为良好，70 80分为一般，60 70分为合格，60分
以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀
的概率，并求初赛成绩优秀的人数 的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩 服从正态分布 ，其中 可
近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ．已
知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
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学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ；若 ，则 ，
， ．
的
17. 如图，侧面 水平放置 正三棱台 ，侧棱长为 为棱
上的动点.
（1）求证： 平面 ；
（2）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出点 ；若不存在，
请说明理由.
18. 已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，记动圆圆心 的轨迹为
.
（1）求 的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线
上一点 处的切线方程为： .试运用
该性质解决以下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切
点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记
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学科网（北京）股份有限公司， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
19. 定义可导函数p（x）在x处 函数 为p（x）的“优秀函数”，其中 为p（x）
的
的导函数．若 ，都有 成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀
区间”．已知 ．
（1）求出f（x）的“优秀区间”；
（2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程 有两个不同的实数解 、 ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： （参考数据： ）．
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