文档内容
2024 届安师大附中高三最后一卷模拟
数学试题
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 2024年5月28日
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．四答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，且 是复数z的共轭复数，则 的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
2．设 ，则“ ”是“ 为 的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C．若空间中四条不同的直线 满足 ，则
D．若 为异面直线， 平面 平面 ，且 与 相交，若直线 满足 则 必平行
于 和 的交线
4．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线 的焦距 B． 的值
C．函数 的最小正周期 D．数据 的下四分位数
5．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（
）种
A．186 B．264 C．284 D．336
学科网（北京）股份有限公司6．已知 与直线 交于 、 两点，且 被 截得两段圆弧的长度之比为 ，
若 为 上一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函数分别为 和 ，且满足
，且 ，
则 （ ）
A．1012 B．2024 C．-1012 D．-2024
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的为（ ）
A．在回归模型的残差分析中，决定系数 越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B．数据 的标准差为 ，则数据 的标准差为
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是
对立事件
10．已知 ，下面结论正确的是（ ）
A． 时， 在 上单调递增
B．若 ，且 的最小值为 ，则
C．若 在 上恰有7个零点，则 的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司D．存在 ，使得 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
11．已知 、 是曲线 上不同的两点， 为坐标原
点，则（ ）
A．
B．
C．线段PQ的长度的最大值为
D．当 均不在 轴上时，过点 分别作曲线 的两条切线 与 ，且当 时， 与 之间的距
离记为 ，则 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出 的展开式的第4项的系数：______．（用数字表示）
13．在棱长为4的正方体 中，点 是棱 的中点，则四面体 的外接球的体积
为______．
14．已知实数 ，且满足 ，当 取得最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本
大题满分13分）
已知 分别为 三个内角 的对边，且
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，求 的长．
16．（本大题满分15分）
如图，三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
（1）求证： 两两垂直；
（2）若 为 中点， 为 中点，求 与平面 所成角的正弦值．
学科网（北京）股份有限公司17．（本大题满分15分）
在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就
餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了
100名学生，统计数据如下：
男生 女生 合计
喜欢食堂就餐 40 20 60
不喜欢食堂就餐 10 30 40
合计 50 50 100
（1）依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：
（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一
个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 ；若星期二选择了②号套餐，则星
期四选择①号套餐的概率为 ，求甲同学星期四选择②号套餐的概率．（3）用频率估计概率，从该校学
生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为 ．事件“ ”的概率为 ，求使
取得最大值时 的值．
参考公式： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（本大题满分17分）
已知点 是椭圆 与抛物线 的交点，且 、
分别为 的左、右顶点．
（1）若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程：
学科网（北京）股份有限公司（2）设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 两点，与 相交于
两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值：
（3）设直线 ，直线 分别与直线 交于 两点， 与 的面积分别为
，若 的最小值为 ，求点 的坐标．
19．（本大题满分17分）
若数列 的各项均为正数，且对任意的相邻三项 ，都满足 ，则称该数列为“对
数性凸数列”，若对任意的相邻三项 ，都满足 则称该数列为“凸数列”．
（1）已知正项数列 是一个“凸数列”，且 ，（其中 为自然常数， ），证明．数列
是一个“对数性凸数列”，且有 ；
（2）若关于 的函数 有三个零点，其中 ．证明：数列
是一个“对数性凸数列”：
（3）设正项数列 是一个“对数性凸数列”，求证：
最后一卷数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1．C 2．B 3、A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABC 10．CD 11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．-160 13． 14．7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学科网（北京）股份有限公司15（1）由正弦定理有
由 化简得
由 有 ，可得
故 ，则 ．
（2）由 有
又 可得 ，易得 有正
在 中， ．
故 的长为
16（1）在 上任取一点 ，作 交 于 ，作 交 于 ，由平面 平面
交于 面 ， 有 面 ，又 面 有 ，同理
，又由面 中， 可得 面 ，则 ．
同理可得 ，即 两两垂直．
（2）分别以DB，DC，DA所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
易得
有
设面 的法向量 ，则由 可取 ．
学科网（北京）股份有限公司则 与平面 所成角的正弦值为
17．（1） ：假设食堂就餐与性别无关
由列联表可得
所以依据小概率值 的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．
（2）记星期二选择了①号套餐为事件 ，选择②号套餐为 ，
星期四选择了①号套餐为事件 ，选择②号套餐为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
（3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率 ，
则 ，所以 ，
若 取得最大值，则 ，
即
又 且 ，所以 ．
18．（1）由题意得 ，故 ，则 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故椭圆 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，将其代入 中，即 ，解得 ，
故 的准线方程为 ；
（2）由题意得 ，解得 ，
故 ，
直线 的方程为 ，联立 得， ，
设 ，则 ，
故 ，
联立 与 得， ，
设 ，则 ，
故 ，
若 方向相同，
若 方向相反， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ；
（3）由 三点共线，可得
，故
同理，由 三点共线，可得
，
则
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
因为 ，令 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
其中
因为 ，所以 的开口向下，
对称轴为
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
故 的最小值为 ，
令 ，解得 ，负值舍去，
故 ，解得 ，
又 ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司则点 的坐标为
19．（1）法一：由 得到 ，累乘法得到
：
法二：由 得到 ；
（2）根据题意及三次函数的性质易知 有两个不等实数根，
所以 ，
又 ，所以 ，
显然 ，即 不是 的零点，
又 ，
令 ，则 也有三个零点，
即 有三个零点，
则 有三个零点，
所以 有两个零点，
所以同上有 ，
故数列 为一个“对数性凸数列”；
（3）记 ．则欲证不等式可化归为
，即 ．①
由数列 为对数性凸数列知 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司故
再由 ，得
故式①成立．从而，原不等式成立．
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