24高三下开学考数学试题定稿_2024年2月_01每日更新_26号_2024届重庆市拔尖强基联盟（重庆育才中学、西南大学附属中学、重庆万州中学）高三下学期2月联合考试_数学

西南大学附中 重庆育才中学 万州中学 高 2024 届拔尖强基联盟高三下二月联合考试 数 学 试 题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 命题学校：西南大学附中 2024年2月 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1． 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数 据的第75百分位数为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 2． 已知点 高三下二月联合考试 数学 第 1 页（共 4 页） Q ( 1 , 4 ) 在抛物线 x 2 = 2 p y 上，F为抛物线的焦点，则直线QF的斜率为（ ） A．3 B． 1 6 3 C． 6 1 3 6 D． 6 1 4 5 3． 已知 m ，n，l是空间中三条互不重合的直线，，  是两个不重合的平面，则下列说法正确的 是（ ） A．m⊥，m⊥n，则n// B．m//n且 m ⊥  ，则 n ⊥  C． m // ，m⊥n，则 n ⊥  D．  // ，l，n，则l//n 4． 数列  a n  的前n项和为S ，满足 1 S +1=a ( nN*) ，则 n 2 n n S 5 = （ ） A．30 B．64 C．62 D．126 5． 已知圆O：x2 +y2 =4，弦AB过定点P(1,1)，则弦长 AB 不可能的取值是（ ） A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 56． 在同一直角坐标平面内，已知点O(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，点 高三下二月联合考试 数学 第 2 页（共 4 页） P 满足PAPB=0，则 OPOB的最小值为（ ） A．2−2 2 B．2 2−2 C．2 2+2 D．−2 2−2 tanAtanB 1  7． 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = ，c= 3，C = ， tanA+tanB 2 3 则 a b 的值为（ ） A． 4 3 B． 2 3 C． 3 D．3 8． 如图，已知M为双曲线 E : x a 2 2 − y b 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 ) 上一动点， 过M作双曲线E的切线交x轴于点A，过点A作AD⊥OM于 点D，则 O D  O M 的值是（ ） A． a 2 B． b 2 C． c 2 D．不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知函数 f ( x ) = 2 s in  2 x −  6  + 3 ，则下列说法正确的是（ ） A． f ( x ) 的值域为 1 , 5  B． f (x)的对称中心为   1 2 + k  2 , 0  , k  Z     C． f (x)在 0,  上的递增区间为 0,  D．  2  3 f ( x ) 在 0 , 5 6    上的极值点个数为1 10． 2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者 计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一 人选择.事件 M 为“甲选择北京”，事件 N 为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ） A．事件M 与N互斥 B． P ( N | M ) = P ( M | N ) C． P ( M N ) = 3 3 1 6 2 D．P(M N)= 3 11． 已知定义在实数集 R 上的函数 f (x)，其导函数为 f  ( x ) ，且满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + x y ， f ( 1 ) = 0 1 ， f(1)= ，则（ ） 2 1  A． f (0)=0 B． f (x)的图像关于点  ,0 成中心对称 2  2024 C． f (2024)=10122023 D． f(k)=10122024 k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 已知集合A=  xZ −2x2+7x−30  ，集合 高三下二月联合考试 数学 第 3 页（共 4 页） B =  x lo g 2 x  1  ，则 A B = ________． 13． 如图，在正四棱柱 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中， B B 1 = 2 ， A B = A D = 1 ，E为 A A 1 的中点，则 A C1 中点到平面 D C E 的距离为________． 14． 已知实数a,b满足 a 2 − a b + b 2 = 1 ，则 a b 的最大值为________； a 2 1 + 1 + b 2 1 + 1 的取值范围 为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (13分) 等差数列  a n  的前n项和为 S n ，同时满足 a n  N * ， a 3 , S 3 , a 7 成等差数列， S 2 是 a 2 − 1 和 S 3 − 1 的等比中项． (1) 求数列  a n  的通项公式； 1 (2) 当b =a + 时，求数列 n n a a n n+1  b n  的前n项和T ． n 16． (15 分) 2024 年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛 围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个， 小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超 过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好 为3分奖励旺旺零食大礼包一份． (1) 求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率； (2) 用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望．17． (15分) 在四棱锥 高三下二月联合考试 数学 第 4 页（共 4 页） M − A B C D 中，已知AB CD， C D = 2 ， A B = B C = 1 ， A M = C M = 1 2 0 ，  A B C = 6 0 ，AD⊥ AM ． (1) 求证：平面 M A C ⊥ 平面ABCD； (2) 若线段MB上存在点E，满足 B E =  E M ，且平面ACE与平面ADM的夹角的余弦值为 7 7 0 0 ，求实数的值． 18． (17分) 如图，已知椭圆 E 1 x2 y2 ： + =1(ab0)与椭圆 a2 b2 E 2 x2 y2 ： + =1有相同的离心率， 12 4 点 P ( 3 ,1 ) 在椭圆 E 1 上．过点 P 的两条不重合直线 l1 , l2 与椭圆 E 1 相交于 Q , H 两点，与椭圆 E 2 相交于 A , B 和 C , D 四点． (1) 求椭圆 E 1 的标准方程； (2) 求证： S  A P D = S  B Q D ； BQ DP (3) 若 = ，设直线 DH BP l1 , l2 的倾斜角分别为，，求证：+为定值． 19． (17分) 已知函数 f (x)=ln(x+1)−mx，g(x)=cosmx−1，其中mR． (1) 讨论 f (x)的单调性； (2) 若m=1， h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) + 1 ，求证： h ( x ) 在定义域内有两个不同的零点； (3) 若 f (x)+g(x)0恒成立，求m的值．