文档内容
西南大学附中 重庆育才中学 万州中学
高 2024 届拔尖强基联盟高三下二月联合考试
数 学 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
命题学校：西南大学附中
2024年2月
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数
据的第75百分位数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
2．已知点 在抛物线 上，F为抛物线的焦点，则直线QF的斜率为（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知 ， ， 是空间中三条互不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法正
确的是（ ）
A． ， ，则 B． 且 ，则
C． ， ，则 D． ， ， ，则
4．数列 的前n项和为 ，满足 ，则 （ ）
A．30 B．64 C．62 D．126
5．已知圆O： ，弦 过定点 ，则弦长 不可能的取值是（ ）
A． B． C．4 D．
高三下二月联合考试 数学 第 1 页（共 5 页）6．在同一直角坐标平面内，已知点 ， ， ，点P满足 ，则
的最小值为（ ）
． B． C． D．
A
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，已知M为双曲线 上一动点，
过M作双曲线E的切线交x轴于点A，过点A作AD⊥OM
于点D，则 的值是（ ）
椭圆
A． B． 双曲线
C． D．不确定 双曲线 内切圆
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 抛物线
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 的对称中心为
C． 在 上的递增区间为 D． 在 上的极值点个数为1
10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者
计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有
一人选择.事件 为“甲选择北京”，事件 为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（
）
A．事件 与 互斥 B．
C． D．
11．已知定义在实数集 上的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
， ，则（ ）
高三下二月联合考试 数学 第 2 页（共 5 页）A． B． 的图像关于点 成中心对称
． D．
C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已 知 集 合 ， 集 合 ， 则
________．
13．如图，在正四棱柱 中， ， ，E 为
的中点，则 中点到平面 的距离为________．
14．已知实数 满足 ，则 的最大值为________； 的取值范
围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分) 等差数列 的前n项和为 ，同时满足 ， 成等差数列， 是
和 的等比中项．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 当 时，求数列 的前n项和 ．
16．(15分) 2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛
围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，
小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超
过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好
为3分奖励旺旺零食大礼包一份．
(1) 求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
(2) 用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望．
高三下二月联合考试 数学 第 3 页（共 5 页）17．(15 分 ) 在 四 棱 锥 中 ， 已 知 ， ， ，
， ， ．
(1) 求证：平面 平面ABCD；
(2) 若线段MB上存在点E，满足 ，且平面ACE与平面ADM的夹角的余弦值
为 ，求实数 的值．
18．(17分) 如图，已知椭圆 ： 与椭圆 ： 有相同的离心率
点 在椭圆 上．过点 的两条不重合直线 与椭圆 相交于 两点，与椭
圆 相交于 和 四点．
(1) 求椭圆 的标准方程；
(2) 求证： ；
(3) 若 ，设直线 的倾斜角分别为 ，求证： 为定值．
高三下二月联合考试 数学 第 4 页（共 5 页）19．(17分) 已知函数 ， ，其中 ．
(1) 讨论 的单调性；
(2) 若 ， ，求证： 在定义域内有两个不同的零点；
(3) 若 恒成立，求m的值．
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