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房山区 2023 年高三年级第一次模拟考试数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在 的展开式中， 的系数是（ ）
.
A B. 8 C. D. 4
3. 已知数列 对任意 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上一点 到点 的距离为 ，则点 到原点的距离为（
）
A. B. C. D.
6. 已知直线 与圆 相交于M，N两点.则 的最小值为（ ）
.
A B. C. 4 D. 6
7. 已知函数 同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有 ；②对任意实数 ，
当 时，都有 .则函数 的解析式可能为（ ）A. B. C. D.
8. 在 中， ， 为 所在平面内的动点，且 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 ，当血氧饱和度低
于 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： 描述血氧饱
和度 随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度，K为参数.已知 ，
给氧1小时后，血氧饱和度为 .若使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要给氧时间（单位：时）为
（ ）
（精确到0.1，参考数据： ）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9
10. 如图，已知正方体 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与三条直线 所成的角都相等的直线有且仅有一条
B. 与三条直线 所成的角都相等的平面有且仅有一个
C. 到三条直线 的距离都相等的点恰有两个
D. 到三条直线 的距离都相等的点有无数个
第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在复平面内复数 对应点的坐标为 ，则 _________.
12. 能够说明“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为
__________.
13. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线C的离心率为__________.
14. 在 中， ，则 __________； 的值为__________.
15. 设函数 给出下列四个结论：①函数 的值域是 ；② ，方程
恰有3个实数根；③ ，使得 ；④若实数 ，且
.则 的最大值为 .其中所有正确结论的序号是
__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 值；
（2）再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定 的解析式.设函数
，求 的单调增区间.条件①： 是偶函数；条件②： 图象过点 ；
条件③： 图象的一个对称中心为 .注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
给分.
17. 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD， ，M为BC的中点.
（1）求证： 平面PBD；
的
（2）求平面ABCD与平面APM所成角 余弦值；
（3）求D到平面APM的距离.
18. 某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.
让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确
率如下表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
讲座前
讲座后
（1）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于 的概率；
（2）从正确率不低于 的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.
求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.
19. 已知椭圆 过点 ，且离心率为
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E相切，过点 作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明： 为定值.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间；
（3）求证：当 时，关于x的不等式 在区间 上无解.
21. 如果数列 对任意的 ， ，则称 为“速增数列”.
（1）判断数列 是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列 为“速增数列”.且任意项 ， ，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为 （ ）的数列 是“速增数列”，且 的所有项的和等于k，若
， ，证明： .
