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北京一零一中 2021-2022 学年度第二学期高三数学三模
一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
3. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 ，则该四棱柱的高为（
）
.
A B. 2 C. D.
4. 已知向量 的夹角为 ，则
A. B. C. D.
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd B. 若ac＞bc，则a＞b
C. 若 ，则a＜b D. 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
6. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，有 成立，
则 图象的一个对称中心坐标是（ ）
A. B.C. D.
的
7. 一个圆 周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们
为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ）
A. 70 B. 140 C. 210 D. 280
8. 数列 表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率
．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 会发生变化．下图描
述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长
率 的规律描述正确的是（ ）
A B.
.C. D.
9. 如果函数 在定义域内存在区间 ，使 在 上的值域是 ，那么称 为“倍增
函数”，若函数 为“倍增函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知正方体 的棱长为 ， 是 的中点，点 在侧面 （含边界）内，
若 ，则 面积的最小值为（ ）A. B. C. D.
二、填空题共5小题．
11. 已知等差数列 中 ，则 _______．
12. 设m为实数，复数 （这里i为虚数单位），若 为纯虚数，则 的值
为______．
13. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是________.
14. 设双曲线 的两个焦点是 ，点 在双曲线上，则 ___________；
若 为锐角，则点 的纵坐标的取值范围是___________.
15. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是9.
其中判断正确的序号是______.
三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 已知函数 ．
的
（Ⅰ）求函数 单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 ______，求实数 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
17. 作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城
市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴
（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长 ，下面给出
的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日
发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长 ．
（1）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
（2）通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为 ，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，
记X为“选取的2个年份中，增长率高于 的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
（3）设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为 ，平均数为 ，比较和 与 的大小（只
需写出结论）．
18. 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ，
, , 分别为 的中点，点 在线段 上.（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设 ，当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
19. 已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于 ， 在区间 上有极小值，且极小值大于0.
20. 已知椭圆 ，离心率 ．直线 与 轴交于点 ，与椭圆 相交
于 两点．自点 分别向直线 作垂线，垂足分别为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试证明 为定值．
21. 设正整数数列 满足 ．
（1）若 ，请写出 所有可能的取值；
（2）记集合 ，证明：若集合 存在一个元素是3的倍数，则 的所有元素都是3的倍数；
（3）若 为周期数列，求 所有可能的取值.
