精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（原卷版）_2026届湖南省雅礼中学高三下学期开学考试_湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

湖南长沙市雅礼中学 2025-2026 学年高三下学期开学考试数学试题
命题人；薛祖山 审题人：张鎏
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2
-i2026
1. 在复平面内，复数 1+i 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C 第三象限 D. 第四象限
.
ì1,x>0
ï
2.
已知符号函数sgnx=í0,x=0 ，则“sgna´sgnb>0”是“ab>0”的（
）
ï
-1,x<0
î
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
r   r   r r æ 3πö
3. 已知向量a = -1, 3 ,b = 2,- 3 ,a与b 的夹角为q，则sin ç q- ÷ =（ ）
è 2 ø
3 5 5 5 5 7 5 7
A. B. - C. - D.
7 7 14 14
4. 下列结论中，错误的是（ ）
A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B 若随机变量x~ N  1,s2 ,Px£ -2=0.21，则Px£4=0.79
.
C. 已知经验回归方程为y =bx+1.8，且x =2,y =20，则b =9.1
D. 根据分类变量X 与Y 成对样本数据，计算得到c2 =9.632，依据小概率值a=0.001的c2独立性检
验
x =10.828
，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
0.001
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公众号：高考试卷君5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如
玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形
为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为60°，则该茶杯容量（茶
杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：cm3）
56 3 112
A. π B. 19 3π C. π D. 63 3π
3 3
3
6. 已知sina+b= ，tana=2tanb，则sina-b=（ ）
5
1 1 2 3
A. - B. C. D.
5 5 5 5
7. 已知函数 f x=2-x -2x，若不等式 f ax+1+ f lnx>0在 0,+¥ 上恒成立，则实数a的取值范
围是（ ）
æ 2 ö æ 2ö
A. ç - ,+¥ ÷ B. -1,+¥ C. ç -¥,- ÷ D. -¥,-1
è e ø è eø
8. 设N 为正整数，在平面直角坐标系xOy中，若Cmx2 +Cn y2 =1(0£m£ N,0£n£ N ，且m,nÎZ）
N N
恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N 的一个可能取值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 7 D. 5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
p
9. 已知函数 f x= Asinwx+4f(A>0,w>0,0<f< )的部分图象如图所示，若将函数 f(x)的图
8
1 p
象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题
4 6
正确的是（ ）
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公众号：高考试卷君1 p
A. 函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin( x+ )
2 6
p
B. 函数g(x)的解析式为g(x) = 2sin(2x- )
6
4p
C. 函数g(x)在区间[p, ]上单调递增
3
p
D. 函数 f(x)图象的一条对称轴是直线x=-
3
10. 已知抛物线C：y2 =6x的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与
C的准线相切于点D．若 AD = 3 BD ，则下列说法正确的是（ ）
3
A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为
3
C. AF =3 BF D. 圆E的半径是4
11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD- ABC D 中，M，N，P分别是AA ，CC ，C D 的中点，Q是
1 1 1 1 1 1 1 1
线段D A 上的动点，则( )
1 1
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体ABCD- ABC D 所得截面面积的取值范围为é2 6,3 3ù
1 1 1 1 ë û
9π
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
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公众号：高考试卷君e
12. 若曲线y =lnx+a 的一条切线为y =ex+b，其中a,b为正实数，则a+ 的取值范围是
b+2
__________.
x2 y2
13. 已知双曲线G: - =1的左、右焦点分别为F、F ，点P(4,2)，点Qx ,y  是第一象限内双曲
1 2 0 0
16 9
uuur uuur uuuur uuur
QF ×PF F F ×PF
线G上的一点，满足 Q u 1 u F ur 1 = 2 u F u 1 u F ur 1 .记V F 1 PQ、 V F 2 PQ的面积分别为S 1 、S 2 ，则S 1 -S 2 =
1 2 1
______.
14. 锐角VABC中，角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，满足a2 =bb+c，a+b=3，则VABC的周长
的取值范围为_______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 a  的各项均为正数，前n项和为S ，且a =1， S 是1-S 与S 的等差中项.
n n 1 n+1 n n+1
 
（1）证明：数列 S 是等差数列；
n
（2）设b =-1n ×S +a ，求数列 b  的前2n项和T .
n n n n 2n
16. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC =2AD=2AB=2 2，ÐABC =90°，如图（1）．把△ABD
沿BD翻折，使得平面ABD^平面BCD．
（1）求证：CD^ AB；
BN
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存
BC
在，说明理由．
17. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题
游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答
1
题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 .当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙
2
罐无球.
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公众号：高考试卷君（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第 n  nÎN*,n³5  次答题后游戏停止的概率为 a .问：a 是否存在最大值?若存在，求出最大
n n
值；若不存在，试说明理由.
18. 已知点F -1,0,F 1,0 ，动点T 满足TF + TF =4，动点T 的轨迹记为C.
1 2 1 2
（1）求C的方程；
（2）直线l:x =4与x轴交于点M,B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q.
①证明：直线BP,BF ,BQ的斜率成等差数列；
2
②e N 经过B,P,Q三点，是否存在点B，使得ÐPNQ=90o？若存在，求 BM ；若不存在，请说明理
由.
19. 已知a为常数，函数 f x= x  eax +a  +lnx-1.
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个零点x ,x x < x 
1 2 1 2 .
①求a的取值范围；
②若x ×xm >em+1恒成立，求m的取值范围.
1 2
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