文档内容
雅礼中学 2023 届高三月考试卷（六）
数学
命题人：刘一波 审题人：张鎏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页．时量120
分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数 的实部和虚部相等，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数实部和虚部的概念及四则运算求解即可.
【详解】由题设 ，
因为复数 的实部和虚部相等，
所以 ，解得 ，
故选：B
2. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题及相关概念求解即可.
【详解】命题“ ”的否定为“ ”
故选：C
3. 已知向量 ，且 ，则实数 =
A. B. 0 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得， ，因为 ，所以 ，解得 ，故选C.
考点：向量的坐标运算.
4. 已知 ，则 是 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.
【详解】因为 ，
所以当 时， 成立，
当 成立时，如取 ，此时 不成立，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题.
5. 在 中， ， ， ，则 的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件可利用余弦定理将 边求出，再将 求出，利用三角形面积公式
求出答案.
【详解】在 中，由余弦定理得
,
,整理得
解得 （舍）
由 ,可得故选A项.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.
6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一
封信有 种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有
种，故选B.
考点：排列与组合
7. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，O为坐标原点．以 为
直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以 为直径的圆与直线 相切，若
，则双曲线的焦距等于（ ）
A. B. 6 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设以 为直径的圆与直线 相切于点N，圆心为M，则 ，因此
，所以 ，由此可求出 ，而 ，
再由勾股定理可得 ，而已知 ，从而可求出 的值
【详解】依题意知 ，设以 为直径的圆与直线 相切于点N，圆心为M，
则 ，因此 ，所以 ．设双曲线的焦距为 ，则 ，解得 ，
由勾股定理可得 ，
于是 ， ，故焦距 ．
故选：A
【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题
8. 已知m，n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小
值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】 ，
当 时， 恒成立，则 单调递增， ，显然 不恒成立，
当 时， 时， ，函数 单调递减； 时，
，函数 单调递增，
∴ ，
∵ 恒成立，∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
在
∴ ．
故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分．
9. 已知 满足 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】因为 满足 且 ，所以 ， ， 符号不确定，
选项A：因为 ， ，所以 ，选项A正确；
选项B：因为 ， ，所以 ， ，选项B正确；
选项C：因为 ， ，
当 时， ，所以 ；
当 且 时， ，所以 ，选项C错误；
选项D：因为 ， ，所以 ， ，选项D正确；
故选：ABD
10. 如图，直三棱柱 中， ， ， ，外接球
的球心为 ，点 是侧棱 上的一个动点．下列判断中正确的是
A. 直线 与直线 是异面直线B. 一定不垂直
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断A；利用线面垂直的判定与性质判断B；找出球
心，由棱锥底面积与高为定值判断 C；设 ，列出 关于 的函数式，结合
其几何意义求出最小值判断D．
【详解】解：如图，
A． 直线 经过平面 内的点 ，而直线 在平面 内不过 ， 直
线 与直线 是异面直线，故A正确；
B．当 时， 平面 ，则 ，故B错误；
C．由题意知，直三棱柱 的外接球的球心为 是 与 的交点，则
的面积为定值，由 平面 ，
到平面 的距离为定值， 三棱锥 的体积为定值，故C正确；
D．设 ，则 ， ．由其几何意义，
即平面内动点 与两定点 ， 距离和 最的小值知，其最小值为 ，故D正
确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查异面直线的判定、垂直，三棱锥的体积的求法，以及距离最小值的求法，
是中档题.
11. 设函数 在R上存在导函数 ，对任意的 有 ，且在
上 ，若 ，则实数a的可能取值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】AB
【解析】
【分析】构建 ，根据题意分析可得： 为奇函数，在R上单调递增，
利用单调性解不等式即可得结果.
【详解】
令 ，即 ，则 为奇函数，
当 时， ，则 在区间 上单调递增，
故 在区间 上单调递增，则 在R上单调递增，
∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，
故A、B正确，C、D错误.
故选：AB．
12. 已知直线 ，则下列说法正确的是（
）
A. 直线 一定不过原点
B. 存在定点 ，使得点 到直线 的距离为定值
C. 点 到直线 的最小值为
D. 若直线 分别与 轴， 轴交于 两点，则 的周长可以等于12
【答案】ABD
【解析】
【分析】将原点 代入直线方程解 判断A，设 ，利用点到直线距离公式
判断B，由B可得直线 为圆 的切线，利用直线和圆的位置关系
判断C，利用特殊点判断选项D.
【详解】选项A：将 代入直线 得 ，即 ，
其中 ， ，
因为 ，所以 无解，选项A正确；选项B：设点 ，则点 到直线 的距离
，
令 解得 ，
故当 点坐标为 时，点 到直线 的距离为定值 ，选项B正确；
选项C：由选项B可知直线 为圆 的切线，
设点 到切线的距离为 ，
所以 ，所以点 到直线 的最小值 ，选项C错误；
选项D：由图像可知随直线 斜率由 ， 的周长先减小，再增大，存在最小
值，
不妨在圆上取一点 作切线，记为 ，即 ，
所以 ， 的周长为 ，选项D正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中， 的系数等于____________．（用数字作答）
【答案】120
【解析】
【分析】利用二项式展开式分两种情况求出即可.
【详解】由题意分两种情况：
① ，
② ，故 的系数为： ，
故答案为：120.
14. 点 到抛物线 准线的距离为4，则实数 ____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程可得准线方程，根据点 到准线的距离为4求解 的值
即可.
【详解】抛物线 即 的准线方程为 ，
因为点 到准线的距离为4，
所以 ，解得 ，
故答案为：
15. 若正整数m满足 则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）
【答案】155
【解析】
【分析】利用题中提示 ，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的
运算性质，转化为关于 的不等式求解即可．
【详解】解： ，
取以10为底的对数得 ，
即
又
，
因为 是正整数，所以
故答案为：155．
16. 在 中 ， ， 则 的面 积 最 大 值 为
____________．
【答案】3
【解析】
【分析】先由正弦定理得到 ，再建立平面直角坐标系求得点C的轨迹，从而
得到 的面积关于 的解析式，利用函数的单调性即可求得 的面积最大值.【详解】因为 ，所以由正弦定理得 ，即 ，
以线段 所在直线为x轴，以 的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，
由 得 ，
因为 ，所以整理得 ，
由此可知点C的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径 ，
所以 面积 在 上单调递减，
的
所以 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，满足关系
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：当 时，总有 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用 及等比数列的定义求解即可；
（2）利用放缩法和裂项相消求和即可.
【小问1详解】因为 ，解得 ，
①，所以 ②，
① ②得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
【小问2详解】
因为对任意正整数 ，总有 ，
所以当 时，
．
18. 已知函数 ， ．
（1）设 是函数 图象的一条对称轴，求 的值．
（2）求函数 的单调递增区间．
【答案】（1） 或 ,（2） （ ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为 ，
再由对称轴的计算方法得 ，即 （ ）．所以
．最后分 为奇数或偶数两种情况求出 的值
为 或 ．
（Ⅱ）先求出 ，再由 ， 得函数的单调递增区间为 （ ）
试题解析：（I）由题设知 ．
因为 是函数 图象的一条对称轴，所以 ，
即 （ ）．所以 ．
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ．
（II）
．
当 ，即 （ ）时，
函数 是增函数，
故函数 的单调递增区间是 （ ）．
考点：辅助角公式的应用对称轴的求法求三角函数单调性区间
19. 如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，
， ．
（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，利用线面垂直的判定定理证得 平
面 ，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）由(1)建立如图空间直角坐标系 ，利用向量法分别求出平面 、平面
的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，
因为四边形 是边长为 的菱形，所以 ，
因为 ,所以 是等边三角形，
所以 ,
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
由（1）知，平面 平面 ，而平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
所以直线 两两垂直，以 为原点建立如图空间直角坐标系 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，得 ，
所以 ，由图可知二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，
并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的
草莓的箱数 （单位：箱）与成本 （单位：千元）的关系如下：
1 3 4 6 7
5 6.5 7 7.5 8
与 可用回归方程 （其中 为常数）进行模拟．
（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．
（利润=售价-成本）
（2）据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直
方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置 辆小货车专门运输农
户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水
果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较 和 时，此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设 ，则
0.54 6.8 1.53 0.45
线性回归直线 中， ．
【答案】（1）3236元
（2）购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．
【解析】
【分析】（1）利用参考公式和表中数据求出线性回归直线方程，再将 代入即可求
解；
（2）根据题意设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为 元，根据题意列
出分布列，根据分布列求出平均值即可求解.
【小问1详解】
根据题意， ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 时， （千元），
即该水果100箱的成本为11764元，
故该水果100箱的利润 （元）．
【小问2详解】
根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：
箱
数设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为 元，
则 的可能取值为1500，800，100，其分布列为：
1500 800 100
故 ,
的可能取值为2000，1300，600， ，其分布列为：
2000 1300 600
故 ,
即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．
21. 如图，椭圆 和圆 ，已知圆 将椭圆 的
长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的下顶点为E，过坐标原
点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定
点．
【答案】（1）
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得答案；
（2）设直线 的方程，与椭圆方程联立求 的坐标，进而可求直线 的方
程，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可得： ，则 ，
∵ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
由题意知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的斜率为 k，则直线
，
联立方程 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ 为圆 的直径，点E在圆 上，则 ，即 ，
∴ ，则直线 ，
故用 去替代k得 ，
∵ ，
∴直线 ，即 ，∴直线 经过定点 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使不等式
成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值，可得
答案；
（2）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于
和 的不等式，构造以 为变量、以 为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答
案.
【小问1详解】
要证 ，只需证 ，
令 ， ，
由 ， ， ， ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ ，即 ，∴ ．
【小问2详解】由题意得 ， ，
∵ ，显然 ， ，
∴ 在区间 上为增函数，
∴ 时， ，
∴ ，
设 ，有 在 时恒
成立，
∵ ，
① 时，∵ ，显然 ，∴ 在 时单调递减，此时
不符合；
② 时，∵ ，显然 ，∴ 在 时单
调递减，此时 不符合；
③ 时，∵ ，
若 ，显然 ，则 在区间 上单调递减，此时 不
符合；
若 ，显然当 时， ，则 在区间 上单
调递减，此时 ，不符合；
若 时，则 在区间 上单调递增，此时 ，符合．综上得 ，解得 ，即实数k的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零
点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
