湖南长沙明德中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(1)_2024年3月_013月合集_2024届新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

明德中学 2024 年上学期入学考试
高一年级数学
试卷时量：120分钟 满分 150命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
一､单选题（本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合M ={ 0,1,2,3 } ,N ={x∣x<2}，则M ∩ (  N ) =（ ）
R
A.
(−∞,2 )
B.
(
2,3
)
C.
{
2,3
}
D.
{
1,2,3
}
2.设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2 −mx−1=0有实根”的否定是（ ）
A.任意m≥0，使mx2 −mx−1=0无实根
B.任意m<0，使mx2 −mx−1=0有实根
C.存在m≥0，使mx2 −mx−1=0无实根
D.存在m<0，使mx2 −mx−1=0有实根
3 4
3.已知角 α 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ,− ，那么
5 5
cos
( π+α)
等于（ ）
4 3 4 3
A.− B. C. D.−
5 5 5 5
4.若实数a,b,c满足ac2 >bc2,m>0，则下列结论中正确的是（ ）
A.a >b B. a > b
1 1 b b+m
C. < D. <
a b a a+m
 
3
5.已知 f ( x ) 的定义域是−1, ，则 f ( sin2x ) 的定义域为（ ）
2
 
π π  π π 
A. +2kπ, +2kπ  ,k∈Z B. +kπ, +kπ  ,k∈Z
6 3  6 3 
 2π π  π 7π 
C. − +2kπ, +2kπ  ,k∈Z D. +kπ, +kπ  ,k∈Z
 3 6  3 6 
3a
6.关于x的不等式−x2 +4ax−3a2 ≥0(a >0)的解集为 { x∣x ≤ x≤ x } ，则x +x + 的最小值是
1 2 1 2 x x
1 2
（ ）
学科网（北京）股份有限公司2 6
A.4 B.2 6 C.2 D.
3
7.命题“对任意的m∈[−1,1 ] ，总存在唯一的x∈[
0,3
]
，使得x2 −2x−am−1=0”成立的充分必要条件是
（ ）
A.−2≤a≤2 B.−1≤a≤1
C.0<a<1 D.−1<a<1
8.已知函数 f ( x )=a ( 3x +3 ) +x2 −2bx，若函数 y = f ( x ) 与函数y = f ( f ( x )) 的零点相同，则a−2b的
取值可能是（ ）
A.2 B.-2 C.5 D.4
二､多选题（本题共 3个小题，每小题 6分.共 18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得
6分.选错得 0分，部分选对得 3分）
 π
9.已知函数 f
(
x
)=sin2x+
，则（ ）
 3
A.函数 f ( x ) 的最小正周期为π
( ) π
B.函数 f x 的图象关于直线x=− 对称
6
π π
( )
C.函数 f x 在区间 , 上单调递减
4 2
( ) 5π
D.函数 f x 的图象可由y =sin2x的图象向右平移 个单位长度得到
6
10.如图，某池塘里浮萍的面积 y （单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at(a>0，且a ≠1）.
下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍曼延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t ,t ,t ，则t +t =t
1 2 3 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司 4(x+2)2 ,x≤−1,

11.已知函数 f(x)= 若函数y = f(x)−m有三个零点x ,x ,x ，且x < x < x ，则
log (x+1), x>−1, 1 2 3 1 2 3
 1

2
（ ）
A.1<m≤4
15 1
B.− < x ≤−
16 3 2
C.函数 f ( x+1 ) 的增区间为 [−2,−1 ]
D.x2 +x2 +log 2的最小值为8+ 2
1 2 m
三､填空题（本题共 3个小题，每题 5分，共 15分）
1
12.函数 f (x)= 的定义域为__________.
xlnx
 x
1
13.若函数 f ( x )=    2  ,x≤0 若 f ( x ) 在区间 ( m,n ) 上既有最大值，又有最小值，则n−m的取值范

−x2 +2x+1,x>0
围是__________.
14.已知 f
(
x
)=sinx+2cosx，当x=θ时，
f
(
x
)
取得最大值，则tanθ=__________.
四､解答题（本题共 5个小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：
2
（1） 

27

− 3 − 

49

0.5 +(0.008) − 2 3× 1 +(π−1)0
 8   9  25
1
（2）log 3⋅log 8+(lg5)2 +lg5lg20+ lg16−2log23
2 3 2
16.（本小题满分15分）
sin
( π−α)
已知 f
(α)=
tan
( π+α)
11 
（1）求 f  π的值；
 6 
 π 1 π 
（2）已知 f  α+  = ，求sin −α 的值.
 3 3 6 
17.（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司 π 3
已知函数 f ( x )=2cosx⋅sinx−  +2 3cos2x− ,x∈R
 3 2
( )
（1）求 f x 的对称轴方程；
 π π
（2）若关于x的方程3[f ( x ) ]2 +mf ( x )+1=0在区间

− ,

上有两个不相等的实根，求实数m的取值范
 6 3
围.
18.（本小题满分17分）
已知函数 f ( x )=log ( 1−x )−log ( b+x )+m（a >0且a ≠1）为奇函数.
a a
( )
（1）求函数 f x 的定义域及解析式；
 1 1
（2）若x∈

− ,

，函数 f ( x ) 的最大值比最小值大2，求a的值.
 2 2
19.（本小题满分17分）
设正整数n≥4，若由实数组成的集合A={ a ,a ,,a } 满足如下性质，则称 A为H 集合：对 A中任意四
1 2 n n
个不同的元素a,b,c,d ，均有ab+cd∈A.
 1  1 
（1）判断集合A =0, ,1,2和A = ,1,2,3是否为H 集合，说明理由；
1  2  2 3  4
（2）若集合A={ 0,x,y,z } 为H 集合，求 A中大于1的元素的可能个数；
4
（3）若集合 A为H 集合，求证： A中元素不能全为正实数.
n
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数学参考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【详解】设 f ( x ) 的零点为x ，则 f ( x )=0，又 f ( f ( x )) =0，
0 0 0
故 f ( 0 )=0，解得a =0，则 f ( x )= x2 −2bx.f ( f ( x )) = ( x2 −2bx )( x2 −2bx−2b ) ，
因为函数 y = f ( x ) 与函数y = f ( f ( x )) 的零点相同，所以方程x2 −2bx−2b=0无解或与方程
x2 −2bx=0的解相同，所以Δ=4b2 +8b<0或b=0，解得−2<b≤0，
所以0≤a−2b<4，故选：A
11.【详解】
如图所示：
对于A：方程 f ( x )=m有三个解⇔ y = f ( x ) 与y=m有3个交点，从图中可以看出A正确；
对于B：令 log 1 ( x+1 )=4 得x=− 15 ，即B 点的坐标为   − 15 ,4  ，令 log 1 ( x+1 )=1 得x=− 1 ，即C
2 16  16  2 2
 1 
点的坐标为 − ,1，
 2 
15 1
由图可知x 的范围应该介于B ，C 之间，可以取B 点，不能取C 点，所以− ≤ x <− ，故B正确；
3 16 3 2
对于C： f ( x ) 的增区间为 [−2,−1 ] ，所以 f ( x+1 ) 的增区间为 [−3,−2 ] ，故C错误；
对于D：x 1 ,x 2 关于x =−2对称，所以x 1 +x 2 =−4， m=4 (x 1 +2)2 =4 (x 2 +2)2
令 4 (x+2)2 =4 得x =−3或x=−1，由图可知x 1 ∈[−3,−2 )
1
x2 +x2 +log 2 = x2 +(−4−x )2 +log 2 =2 ( x +2 )2 + +8
1 2 m 1 1 4 (x1+2)2 1 4 ( x +2 )2
1
学科网（北京）股份有限公司1 1
2 ( x +2 )2 + +8≥2 2 ( x +2 )2⋅ +8=8+ 2
1 4 ( x +2 )2 1 4 ( x +2 )2
1 1
等号当2 ( x
1
+2 )2 =
4 ( x
1
+2 )2
时即x
1
= − 4 2 −2∈[−3,−2 )时成立，故D正确.
2
1
故选：ABD
12.【答案】
(
0,1
)∪( 1,+∞)
13.【答案】(1,3]
1 5 2 5 α
14. 【详解】令cosα= ,sinα= ，其中 为锐角，
2 5 5
 
5 2 5
则 f ( x )=sinx+2cosx= 5 sinx+ cosx= 5 ( sinxcosα+cosxsinα)= 5sin ( x+α) ，因为
 
5 5
 
当x=θ时， f ( x ) 取得最大值，则θ+α=2kπ+ π (k∈Z)，
2
π  π  5
所以，θ=2kπ+ −α(k∈Z)，所以，sinθ=sin2kπ+ −α

=cosα= ，
2  2  5
 π  2 5 sinθ 5 5 1
cosθ=cos2kπ+ −α

=sinα= ，故tanθ= = ⋅ = ，
 2  5 cosθ 5 2 5 2
2
273 49 0.5 − 2 1 3 −2 7 1 −2 1 4 7
15.   −   +(0.008) 3 × +(π−1)0 =   − +   × +1= − +25×
 8   9  25 2 3 5 25 9 3
1 4 7 1
+1= − +2= .
25 9 3 9
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：
1 lg3 lg8 1
log 3⋅log 8+(lg5)2 +lg5lg20+ lg16−2log 2 3 = ⋅ +lg5(lg5+lg20)+ lg24 −
2 3
2 lg2 lg3 2
3lg2
3= +lg5⋅lg ( 5×20 )+2lg2−3
lg2
=3+2lg5+2lg2−3=2lg10=2.
sin
( π−α)
sinα  kπ 
16.（1）由诱导公式得： f (α)= = =cosα  α≠ ,k∈Z，
tan ( π+α) tanα  2 
11  11π  π π 3
所以 f  π =cos =cos2π−  =cos = .
 6  6  6 6 2
学科网（北京）股份有限公司 kπ   π 1  π 1
（2）由（1）得 f (α)=cosα  α≠ ,k∈Z，由 f  α+  = ，得cos α+  = .
 2   3 3  3 3
π  π  π  π 1
所以sin −α  =sin −  α+  =cos α+  = .
6  2  3  3 3
 
1 3 3
17.（1） f ( x )=2cosx⋅ sinx− cosx+2 3cos2x−
 
2 2 2
 
3 1 3  π
=sinxcosx+ 3cos2x− = sin2x+ cos2x=sin2x+

2 2 2  3
π π π kπ
令2x+ = +kπ得x= + ,k∈Z
3 2 12 2
( ) π kπ
所以 f x 的对称轴方程为x = + ,k∈Z
12 2
 π π π
（2）因为x∈  − ,  ，则2x+ ∈[ 0,π ]，
 6 3 3
f ( x ) 的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令t = f ( x ) 则t∈[ 0,1 ]
依题意得：3t2
+mt+1=0在t∈[
0,1
)
上仅有一个实根.
令H ( t )=3t2 +mt+1，因为H ( 0 )=1>0
Δ =m2 −12=0

则需H
(
1
)=3+m+1<0或
m ，

0<− <1
 6
解得：m<−4或m=−2 3.
1−x>0
( )
18.【详解】（1）要使函数 f x 有意义，则 ，可得：−b< x<1，
b+x>0
因为 f
(
x
)
为奇函数，所以−b+1=0，即b=1，所以 f(x)的定义域为
(−1,1 )
，
由 f(0)=0可得：m=0，所以 f(x)=log (1−x)−log (1+x)，
a a
此时 f (−x )=log ( 1+x )−log ( 1−x )=−f ( x ) ， f ( x ) 是奇函数，符合题意.
a a
1−x  2 
（2） f(x)=log (1−x)−log (1+x)=log =log  −1+ ，
a a a1+x a  x+1
①当a >1时，函数y= f(x)单调递减，
学科网（北京）股份有限公司1 3 1
所以 f(x) = f(− )=log −log =log 3，
max 2 a 2 a 2 a
1 1 3 1
f(x) = f( )=log −log =log ，
min 2 a 2 a 2 a 3
1
所以 f(x) − f(x) =log 3−log =log 9=2，解得a=3.
max min a a 3 a
②当0<a<1时，函数y= f(x)单调递增，
1 1 3 1 1 3 1
所以 f(x) = f( )=log −log =log ， f(x) = f(− )=log −log =log 3，
max 2 a 2 a 2 a 3 min 2 a 2 a 2 a
1 1
所以 f(x) − f(x) =log −log 3=log =2，
max min a 3 a a 9
1
解得a= .
3
1
综上，a= 或a=3.
3
 1 
19.【详解】（1）集合A =0, ,1,2是H 集合，
1  2  4
当 {{ a,b } , { c,d }} =    0, 1   , { 1,2 }   时，0× 1 +1×2=2∈A ；
 2  2 1
当 {{ a,b } , { c,d }} =   { 0,1 } , 1 ,2  时，0×1+ 1 ×2=1∈A ；
 2  2 1
当 {{ a,b } , { c,d }} =   { 0,2 } ,   1 ,1    时，0×2+ 1 ×1= 1 ∈A ；
 2  2 2 1
1 
集合A = ,1,2,3不是H 集合，
2 3  4
取
{
a,b,c,d
}= 

1
,1,2,3

，则ab+cd =
1
×1+2×3=
19
∉A ，不满足题中性质.
3  3 3 2
（2）当
{
a,b,c,d
}={
0,z,x,y
}
时，ab+cd = xy∈A，
当
{
a,b,c,d
}={
0,x,y,z
}
时，ab+cd = yz∈A，
当
{
a,b,c,d
}={
0,y,z,x
}
时，ab+cd = xz∈A，
所以
{
x,y,z
}={
xy,yz,xz
}
.
不妨设x< y< z，
①若x< y< z <0，因为 yz >0，从而yz∉A，与yz∈A矛盾；
②若x< y<0< z，因为xz < yz < xy，故xz = x,yz = y,xy = z，
学科网（北京）股份有限公司所以z =1,xy =1.
 1 
经验证，此时A=x, ,0,1是H 集合，元素大于1的个数为0；
 x  4
③若x<0< y< z，因为xz < xy <0，所以与
{
x,y,z
}={
xy,yz,xz
}
矛盾；
④若0<x< y<z，因为xy < xz < yz，故xy = x,xz = y,yz = z，
1  1
所以y =1,z = >1.经验证，此时A=0,x,1, 是H 集合，元素大于1的个数为1；
x  x 4
综上： A中大于1的元素的可能个数为0,1.
（3）假设集合 A中全为正实数.
若A 中至少两个正实数大于1，设0<a <a <<a ，则a >a >1，
1 2 n n n−1
取 { a,b,c,d }={ a ,a ,a ,a } ，则ab+cd =a a +a a ∈A，
n−3 n−2 n−1 n n−3 n−2 n−1 n
而a a +a a >a a >a ，从而a a +a a ∉A，矛盾；
n−3 n−2 n−1 n n−1 n n n−3 n−2 n−1 n
因此 A中至多有1个正实数大于1.
当n=4时，设a <a <a <a ，
1 2 3 4
若0<a <a <a ≤1<a ，
1 2 3 4
当 { a,b,c,d }={ a ,a ,a ,a } 时，ab+cd =aa +a a ∈A，
1 2 3 4 1 2 3 4
当 { a,b,c,d }={ a ,a ,a ,a } 时，ab+cd =aa +a a ∈A，
1 3 2 4 1 3 2 4
当 { a,b,c,d }={ a ,a ,a ,a } 时，ab+cd =aa +a a ∈A，
1 4 2 3 1 4 2 3
由于 ( aa +a a )−( aa +a a )=a ( a −a )−a ( a −a )=( a −a )( a −a )>0，
1 2 3 4 1 3 2 4 4 3 2 1 3 2 4 1 3 2
( aa +a a )−( aa +a a )=a ( a −a )−a ( a −a )=( a −a )( a −a )>0，
1 3 2 4 1 4 2 3 2 4 3 1 4 3 4 3 2 1
所以aa +a a >aa +a a >aa +a a >a ，
1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1
所以aa +a a =a ,aa +a a =a ,aa +a a =a .因为0<a −a <1，
1 2 3 4 4 1 3 2 4 3 1 4 2 3 2 3 1
所以a −a =( aa +a a )−( aa +a a )=a ( a −a )−a ( a −a )
4 2 1 2 3 4 1 4 2 3 4 3 1 2 3 1
=( a −a )( a −a )<a −a ，矛盾.因此当n=4时，0<a ,a ,a ,a ≤1.
4 2 3 1 4 2 1 2 3 4
当n≥5时，集合 A中至少有4个不同的正实数不大于1，
{ }
设S = t t = a −a ,i, j∈{ 1,2,,n } ,i ≠ j ，
i j
学科网（北京）股份有限公司因为S是有限集，设s−r =minS ，其中r,s∈A,r <s.
又因为集合 A中至少有4个不同的正实数不大于1，
所以s−r <1，且存在 p,q∈A，且 p≤1,q≤1使 p,q,r,s互不相同，
则0< p−q <1，
当
{
a,b,c,d
}={
r,p,s,q
}
时，ab+cd =rp+sq∈A，
当
{
a,b,c,d
}={
s,p,r,q
}
时，ab+cd =sp+rq∈A，
于是 ( rp+sq )−( sp+rq ) = p ( r−s )−q ( r−s ) = ( p−q ) ( s−r )< s−r，
与s−r =minS 矛盾.因此， A中元素不能全为正实数.
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