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明德中学 2024 年上学期入学考试
高一年级数学
试卷时量：120分钟 满分 150命题：高一数学备课组 审定：高一数学备课组
一､单选题（本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知集合M ={ 0,1,2,3 } ,N ={x∣x<2}，则M ∩ ( N ) =（ ）
R
A.
(−∞,2 )
B.
(
2,3
)
C.
{
2,3
}
D.
{
1,2,3
}
2.设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2 −mx−1=0有实根”的否定是（ ）
A.任意m≥0，使mx2 −mx−1=0无实根
B.任意m<0，使mx2 −mx−1=0有实根
C.存在m≥0，使mx2 −mx−1=0无实根
D.存在m<0，使mx2 −mx−1=0有实根
3 4
3.已知角 α 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ,− ，那么
5 5
cos
( π+α)
等于（ ）
4 3 4 3
A.− B. C. D.−
5 5 5 5
4.若实数a,b,c满足ac2 >bc2,m>0，则下列结论中正确的是（ ）
A.a >b B. a > b
1 1 b b+m
C. < D. <
a b a a+m
3
5.已知 f ( x ) 的定义域是−1, ，则 f ( sin2x ) 的定义域为（ ）
2
π π π π
A. +2kπ, +2kπ ,k∈Z B. +kπ, +kπ ,k∈Z
6 3 6 3
2π π π 7π
C. − +2kπ, +2kπ ,k∈Z D. +kπ, +kπ ,k∈Z
3 6 3 6
3a
6.关于x的不等式−x2 +4ax−3a2 ≥0(a >0)的解集为 { x∣x ≤ x≤ x } ，则x +x + 的最小值是
1 2 1 2 x x
1 2
（ ）
学科网（北京）股份有限公司2 6
A.4 B.2 6 C.2 D.
3
7.命题“对任意的m∈[−1,1 ] ，总存在唯一的x∈[
0,3
]
，使得x2 −2x−am−1=0”成立的充分必要条件是
（ ）
A.−2≤a≤2 B.−1≤a≤1
C.00，且a ≠1）.
下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍曼延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t ,t ,t ，则t +t =t
1 2 3 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司 4(x+2)2 ,x≤−1,
11.已知函数 f(x)= 若函数y = f(x)−m有三个零点x ,x ,x ，且x < x < x ，则
log (x+1), x>−1, 1 2 3 1 2 3
1
2
（ ）
A.10
围是__________.
14.已知 f
(
x
)=sinx+2cosx，当x=θ时，
f
(
x
)
取得最大值，则tanθ=__________.
四､解答题（本题共 5个小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）计算下列各式的值：
2
（1）
27
− 3 −
49
0.5 +(0.008) − 2 3× 1 +(π−1)0
8 9 25
1
（2）log 3⋅log 8+(lg5)2 +lg5lg20+ lg16−2log23
2 3 2
16.（本小题满分15分）
sin
( π−α)
已知 f
(α)=
tan
( π+α)
11
（1）求 f π的值；
6
π 1 π
（2）已知 f α+ = ，求sin −α 的值.
3 3 6
17.（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司 π 3
已知函数 f ( x )=2cosx⋅sinx− +2 3cos2x− ,x∈R
3 2
( )
（1）求 f x 的对称轴方程；
π π
（2）若关于x的方程3[f ( x ) ]2 +mf ( x )+1=0在区间
− ,
上有两个不相等的实根，求实数m的取值范
6 3
围.
18.（本小题满分17分）
已知函数 f ( x )=log ( 1−x )−log ( b+x )+m（a >0且a ≠1）为奇函数.
a a
( )
（1）求函数 f x 的定义域及解析式；
1 1
（2）若x∈
− ,
，函数 f ( x ) 的最大值比最小值大2，求a的值.
2 2
19.（本小题满分17分）
设正整数n≥4，若由实数组成的集合A={ a ,a ,,a } 满足如下性质，则称 A为H 集合：对 A中任意四
1 2 n n
个不同的元素a,b,c,d ，均有ab+cd∈A.
1 1
（1）判断集合A =0, ,1,2和A = ,1,2,3是否为H 集合，说明理由；
1 2 2 3 4
（2）若集合A={ 0,x,y,z } 为H 集合，求 A中大于1的元素的可能个数；
4
（3）若集合 A为H 集合，求证： A中元素不能全为正实数.
n
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数学参考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【详解】设 f ( x ) 的零点为x ，则 f ( x )=0，又 f ( f ( x )) =0，
0 0 0
故 f ( 0 )=0，解得a =0，则 f ( x )= x2 −2bx.f ( f ( x )) = ( x2 −2bx )( x2 −2bx−2b ) ，
因为函数 y = f ( x ) 与函数y = f ( f ( x )) 的零点相同，所以方程x2 −2bx−2b=0无解或与方程
x2 −2bx=0的解相同，所以Δ=4b2 +8b<0或b=0，解得−20
Δ =m2 −12=0
则需H
(
1
)=3+m+1<0或
m ，
0<− <1
6
解得：m<−4或m=−2 3.
1−x>0
( )
18.【详解】（1）要使函数 f x 有意义，则 ，可得：−b< x<1，
b+x>0
因为 f
(
x
)
为奇函数，所以−b+1=0，即b=1，所以 f(x)的定义域为
(−1,1 )
，
由 f(0)=0可得：m=0，所以 f(x)=log (1−x)−log (1+x)，
a a
此时 f (−x )=log ( 1+x )−log ( 1−x )=−f ( x ) ， f ( x ) 是奇函数，符合题意.
a a
1−x 2
（2） f(x)=log (1−x)−log (1+x)=log =log −1+ ，
a a a1+x a x+1
①当a >1时，函数y= f(x)单调递减，
学科网（北京）股份有限公司1 3 1
所以 f(x) = f(− )=log −log =log 3，
max 2 a 2 a 2 a
1 1 3 1
f(x) = f( )=log −log =log ，
min 2 a 2 a 2 a 3
1
所以 f(x) − f(x) =log 3−log =log 9=2，解得a=3.
max min a a 3 a
②当00，从而yz∉A，与yz∈A矛盾；
②若x< y<0< z，因为xz < yz < xy，故xz = x,yz = y,xy = z，
学科网（北京）股份有限公司所以z =1,xy =1.
1
经验证，此时A=x, ,0,1是H 集合，元素大于1的个数为0；
x 4
③若x<0< y< z，因为xz < xy <0，所以与
{
x,y,z
}={
xy,yz,xz
}
矛盾；
④若01.经验证，此时A=0,x,1, 是H 集合，元素大于1的个数为1；
x x 4
综上： A中大于1的元素的可能个数为0,1.
（3）假设集合 A中全为正实数.
若A 中至少两个正实数大于1，设0a >1，
1 2 n n n−1
取 { a,b,c,d }={ a ,a ,a ,a } ，则ab+cd =a a +a a ∈A，
n−3 n−2 n−1 n n−3 n−2 n−1 n
而a a +a a >a a >a ，从而a a +a a ∉A，矛盾；
n−3 n−2 n−1 n n−1 n n n−3 n−2 n−1 n
因此 A中至多有1个正实数大于1.
当n=4时，设a 0，
1 2 3 4 1 3 2 4 4 3 2 1 3 2 4 1 3 2
( aa +a a )−( aa +a a )=a ( a −a )−a ( a −a )=( a −a )( a −a )>0，
1 3 2 4 1 4 2 3 2 4 3 1 4 3 4 3 2 1
所以aa +a a >aa +a a >aa +a a >a ，
1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1
所以aa +a a =a ,aa +a a =a ,aa +a a =a .因为0
