文档内容
湘 豫 名 校 联 考
#$#%年%月高三第一次模拟考试
数学!文科"参考答案
题号 ! # % & ’ ( ) * " !$ !! !#
答案 + , + - . + - , , . + .
一#选择题$本题共!#小题%每小题’分%共($分/在每小题给出的四个选项中%只
有一项是符合题目要求的/
!!+!&命题意图’本题考查集合的运算及解不等式#考查了数学运算的核心素养!
&解析’因为集合"0!#"!###1##1%$$"0!#"!#1!$#$%"#$0!#"!###1##%!"0!#"!#!%#%
%"#所以"&$0!#"!#!%#%%"0$!#%%!故选+!
#!,!&命题意图’本题考查复数的运算和复数模的求解#考查了运算求解能力和数学运算的核心素养!
’ ’$!3#2%
&解析’因为%0 0 0!3#2#所以#%12#0#!32#0槡!#3!#0槡#!故选,!
!1#2 $!1#2%$!3#2%
%!+!&命题意图’本题考查程序框图及函数计算#考查了数学运算$逻辑推理的核心素养!
&解析’由程序框图可知#该程序是运算分段函数&$#%0
%456# ###’!#
的值!因为输出的函数值&$#%0
!
#
#3!##$! #
! ! !
所以当#’!时#由456# #0
#
#解得#0槡#&当#$!时#由#3!0
#
#解得#01
#
!故选+!
&!-!&命题意图’本题考查函数的周期性及函数的对称性#考查了数学抽象$逻辑推理的核心素养!
&解析’由&$#3#%3&$#1#%0$#得&$&3#%01&$1#%!!又函数&$#1!%的图象关于直线#0!对称#所
以函数&$#%的图象关于’轴对称#即&$#%0&$1#%"!联立!"两式#可得&$&3#%01&$1#%01&$#%#
所以&$#3*%0&$#%!所以函数&$#%的一个周期为*!所以&$#$#%%0&$#’%7*1!%0&$1!%0&$!%0!!
故选-/
’!.!&命题意图’本题考查独立性检验#考查了数学运算$逻辑推理$数据分析的核心素养!
!$$7$#$7!’1%’7%$%# !$$
&解析’因为(#的观测值)0 0 ("!$"!’)!*)"#由临界值表知#有""!’8的把
’’7&’7’$7’$ !!
握认为’竞赛成绩是否优秀与性别有关(!故选.!
(!+!&命题意图’本题考查线性规划#考查了直观想象$逻辑推理的核心素养!
&解析’由题#画出满足题意的可行域如图所示#令%0#1#’#%0#1#’可化
! ! ! ! !
为’0 #1 %#1 %相当于直线’0 #1 %在’轴上的截距!平移直
# # # # #
!
线’0 ##当直线过点"时#截距最大#%最小&当直线过点*时#截距最小#
#
%#1’3#0$# %#0%# %#3’0$#
%最大!联立 得 所以 "$%#’%!联立 得
#0%# ’0’# #0%#
%#0%#
所以*$%#1%%!所以% 0%1#7’01)#% 0%1#7$1%%0"!
’01%# 92: 9;<
所以##1#’#9;< 0 %
9;<
0"!故选+/
)!-!&命题意图’本题考查三角函数的图象与性质#考查了直观想象$逻辑推理$数学运算的核心素养!
# # # # # ! #"
&解析’因为!’$#所以当$%#% 时#有 %!#3 % !3 !因为&$#%在区间 $# 上的极值点有
# ( ( # ( #
数学!文科"参考答案!第!!!!!页!共"页"
书书书%# # # ’# * !& !* !&&
且仅有#个#结合函数图象得 % !3 $ #解得 %!$ #所以!的取值范围为 # !故选-!
# # ( # % % % %
*!,!&命题意图’本题考查线性回归分析#考查了数学运算$逻辑推理$数据分析的核心素养!
&解析’由题中的数据可知#10&#’ 10!’&#所以+,0-
)
0
)
!
# -’- 1)#1 ’ 1
0 &’$*1)7&7!’& 0 !"( 0)!所以+.0’ 11
) !&$1)7!( #*
)#
-
#1)#1#
-0!
+,#10!’&1)7&0!#(!所以+ ’0+,#3+.0)#3!#(!故选,!
"!,!&命题意图’本题考查函数的值域#考查了逻辑推理$数学运算的核心素养!
=#1! # !
&解析’方法一)函数&$#%0 0!1 #因为=#’$#所以!3=#’!#所以$% %!!所以1#%
=#3! !3=# !3=#
# #
1 %$!所以1!%!1 %!#即1!%&$#%%!!当1!%&$#%%$时#*&$#%+01!&当$$&$#%%!
!3=# !3=#
时#*&$#%+0$!故*&$#%+的值域为!1!#$"!故选,/
=#1! &$#%3!
方法二)由&$#%0 #得=#0 !因为=#’$#所以1!%&$#%%!!当1!%&$#%%$时#*&$#%+0
=#3! !1&$#%
1!&当$$&$#%%!时#*&$#%+0$!所以*&$#%+的值域为!1!#$"!故选,!
!$!.!&命题意图’本题考查解三角形$平面向量的相关运算#考查了数学运算$逻辑推理的核心素养!
&解析’方法一)如图#设"/0##*"/$0"#则*"/*0#1"!在+"$/中#由余
弦定理得0#0&3##1&#>5?"!!在+"/*中#由余弦定理得,#0&3##1&#>5?$#1
"%0&3##3&#>5?""!由!3"可得),#30#0*3###!在+"$*中#由余弦定理得
# ,#30# !
!(0,#30#1#,0>5? 0,#30#1,0,,#30#1 0 $,#30#%0&3###当且
% # #
仅当,000&时等号成立#解得#$#槡%#即"/的最大值为#槡%!故选.!
..-# ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..-
方法二)由题可得#$* 0$"*1"$%#0#"*##3#"$##1#"*##"$##所以#"*##3#"$##0!(3
..- ..- ..- ! ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..-
#"*##"$#!!又因为"/0 $"$3"*%#所以&#"/##0#"$##3#"*##3#"$##"*#"#由!"得
#
..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..-
&#"/##0!(3##"$##"*##由!得#"*##3#"$##0!(3#"*##"$#,##"*##"$##则#"*##"$#$!(#所
..- ..- ..- ..-
以&#"/##$!(3#7!(0&*#当且仅当#"$#0#"*#0&时#等号成立!所以#"/#$#槡%!故选.!
!!!+!&命题意图’本题考查直线与椭圆的位置关系#考查了直观想象$逻辑推理$数学运算的核心素养!
0’0)#3!#
&解析’方法一)设直线1的方程为’0)#3!#"$# ! #’! %#$$# # #’# %#联立/ 1##3 ’
#
# 0!# 整理可得)$#3)#%##3
#)#1!0$#则#
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3#
#
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#
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#
!由题设知#2"所在的直线方程为’0 ’
#
!#!因为直线2"与直
!
线’0#相交于点3#所以3 !## !## " &同理可得4 !## ### " !所以2 ..- 30 !## !## " #2 ..- 40 !## ### " !因为
’! ’# ’! ’#
*324 为 锐 角#所 以2 ..- 3,2 ..- 4’$#所 以2 ..- 3,2 ..- 40 &# ! # # 3&0 &# ! # # 3&0
’!’# $)# ! 3!%$)# # 3!%
1!
&7
&## #3)# # &)#1# &)#1#
! # 3&0 3&0 3&0 #则 ’$#解得))#%
)###3)$#3#%3! 1! 1#) )#1! )#1! )#1!
! # ! # )#7 3)7 3!
#3)# #3)#
! 槡# 槡#
或)#’!#所以1 %)% #或)’!#或)%1!!故直线1的斜率)的取值范围是$1@#1!%2
# # #
! 1 槡# # 槡#" 2$!#3@%!故选+/
# #
数学!文科"参考答案!第!!!!#页!共"页"方法二)当)’!时#"#$分别在第一-第三象限$或第三-第一象限%#由数形结合得*"2$3*3240#!易
..- ..-
得2",2$%$#所以*324为锐角!同理当)%1!时满足条件!检验)0$时#*"2$0*324#所以
*324为锐角!排除法可得+!
!#!.!&命题意图’本题考查导数的应用#考查了数学抽象$逻辑推理$数学运算$直观想象的核心素养!
4:# !14:#
&解析’方法一)比较.#,的大小时#$法一%设函数&$#%0 #则&5$#%0 #令&5$#%0$#得#0=#当
# ##
#"$$#=%时#&5$#%’$#函数&$#%单调递增&当#"$=#3@%#&5$#%%$#函数&$#%单调递减!所以当#0=
! 4:# ! 4:=
时#函数取得最大值 #因为.04:槡#0 0&$#%#,0 0 0&$=%#=’##所以&$#%%&$=%#即.%,!
= # = =
4:# 4:=
$法二%因为.0
#
#,0
=
#设"$##4:#%#$$=#4:=%#2为坐标原点#结合函数’04:#的图象知) 2"%)
2$
#
所以.%,!
#1!
比较,#0的大小时#设函数6$#%0#14:#1!##’$#则65$#%0 !当$%#%!时#65$#%%$#所以函数
#
!!"
6$#%在$$#!%上单调递减&当#’!时#65$#%’$#所以函数6$#%在$!#3@%上单调递增!因为,06 #
=
!!" ! ! !!" !!"
006 #又$% % %!#所以6 %6 #即,%0!综上可得#.%,%0#故选.!
% % = = %
! $!(" ! ! #
方法二$估值法%)因为.04:槡#0 4:#( 0$!%&’#,0 ( ($!%)#004:%1 (!!!1$!()0
# # = #!) %
$!&%!所以.%,%0!故选./
二#填空题$本题共&小题%每小题’分%共#$分!
#
!%! !&命题意图’本题考查向量的运算#考查了数学运算的核心素养!
(
!,$!3"%
&解析’方法一)因为!3"0$槡%#%%#所以>5?.!#!3"/0 0
#!##!3"#
% 槡% #
0 !因为$$.!#!3"/$##所以.!#!3"/0 !
!7#槡% # (
方法二$几何法%)!3"0$槡%#%%#设"$槡%#%%#$$$#!%#2为原点#结合图
..- ..- #
象#可得2"0$槡%#%%#2$0$$#!%#所以*"2$0 !
(
!&!($#!&命题意图’本题考查线面垂直以及三棱锥的外接球问题#考查了直观想象和数学运算的核心素养!
&解析’由题意#将三棱锥71"$*补成直三棱柱8791"$*#则该直三棱
柱的外接球即为三棱锥71"$*的外接球#且直三棱柱的外接球球心落在
上-下底面外接圆圆心连线的中点上!设+"$*外接圆的半径为:#三棱锥
71"$*外接球的半径为;#因为7$3平面"$*#7$0#槡%#"*0(#
(
*"$*0!#$A#由正弦定理得##:0 0&槡%#所以:0#槡%#;#0:#3
?2:!#$A
!7$"#
0!#3%0!’!所以三棱锥71"$*外接球的表面积为90&#;#0
#
($#!
!’!!!&命题意图’本题考查双曲线与圆的综合应用#考查了直观想象$数学运算$逻辑推理的核心素养!
0 槡’ !(
&解析’由题意得<0 0 #所以’.#0&0#0&$.#3,#%#所以.#0&,#!因为点$&#槡%%在*上#所以 1
. # .#
数学!文科"参考答案!第!!!!%页!共"页"% & % ##
0!#所以 1 0!#解得,#0!!所以.#0�#0’#所以双曲线*的方程为 1’#0!!由
,# ,# ,# &
0
##3’#0’#
槡’ ! 槡’
/
1
#
&
# 1’#0!# 解得#’#0 ’ #所以9 +7=!=# 0 # 7#07 ’ 0!!
!(!!$$$!&命题意图’本题考查函数的应用#考查了数学建模$数学运算$逻辑推理的核心素养!
!
&解析’由题意得#销售收入为!$$#万元#当产量不足’$万件时#利润&$#%0!$$#1>$#%1#$$01 #%3
!#$
! (&$$"
&$#1#$$&当产量不小于’$万件时#利润&$#%0!$$#1>$#%1#$$0!!($1 #3 !所以利润
#
!
01 #%3&$#1#$$#$%#%’$#
!#$ !
&$#%0/ 因为当$%#%’$时#&5$#%01 $#3&$%$#1&$%#所以&$#%在
! (&$$" &$
1!!($1 #3
#
##,’$!
#($$ ! (&$$"
$$#&$%上单调递增#在$&$#’$%上单调递减#则&$#%$&$&$%0 &当#,’$时#由!!($1 #3 $
% #
!!($1#槡#7 (&$$ 0!$$$#当且仅当#0*$时取等号!又!$$$’ #($$ #故当#0*$时#所获利润最大#最
# %
大值为!$$$万元!
三#解答题$共)$分!解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤!第!)$#!题为
必考题%每个试题考生都必须作答!第####%题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共($分!
!)!&命题意图’本题考查统计与概率#考查了逻辑推理$数学运算$数据分析的核心素养!
&解析’$!%因为$$!$!$3$!$%$%7!$0$!&%$!’#$!&3$!$&’7!$0$!*’’$!’#
所以竞赛成绩的中位数在*)$#*$%内!……………………………………………………………………… %分
设竞赛成绩的中位数为?#则$?1)$%7$!$&’3$!&0$!’#解得?()#!
所以估计这!$$名学生的竞赛成绩的中位数为)#!……………………………………………………… ’分
$#%由频率分布直方图可知#竞赛成绩在**$#"$%和*"$#!$$+内的频率分别是$!!和$!$’#
则采用分层抽样的方法抽取的(人中#竞赛成绩在**$#"$%内的有&人#记为.#,#0#@#
竞赛成绩在*"$#!$$+内的有#人#记为<#&!……………………………………………………………… *分
从这(人中随机抽取#人的情况有).,#.0#.@#.<#.&#,0#,@#,<#,�@#0<#0&#@<#@&#<&#共!’种!… !$分
其中符合条件的情况有.<#.&#,<#,�<#0&#@<#@&#共*种!…………………………………………… !!分
*
故所求概率70 !………………………………………………………………………………………… !#分
!’
!*!&命题意图’本题考查数列的通项$数列求和#考查了逻辑推理$数学运算的核心素养!
&解析’$!%因为%9
A
0#.
A
1A3#$A""4%!#
当A0!时#%.0#.1!3##得.0!! …………………………………………………………………… !分
! ! !
当A,#时#%9
A1!
0#.
A1!
1$A1!%3#"#
!1"得)%.
A
0#.
A
1#.
A1!
1!#即.
A
01#.
A1!
1!#
! ! !"
所以.3 0$1#%7 . 3 ! ……………………………………………………………………… %分
A % A1! %
% !’ ! &
所以数列 .3 是首项为.3 0 #公比为1#的等比数列!
A % ! % %
! & !
所以.3 0 7$1#%A1!0 7$1#%A3!!
A % % %
数学!文科"参考答案!第!!!!&页!共"页"! ! !
所以.
A
0
%
7$1#%A3!1
%
0
%
*$1#%A3!1!+$A""4%!……………………………………………… ’分
$#%由$!%知#A,$%.3!%0A,$1#%A3!#
A
令,
A
0A,$%.
A
3!%0A,$1#%A3!$A""4%#……………………………………………………………… (分
则8
A
0!7$1#%#3#7$1#%%3%7$1#%&303A7$1#%A3!%!
所以1#8
A
0$1#%%3#7$1#%&3%7$1#%’303$A1!%7$1#%A3!3A7$1#%A3#&!…………… )分
%1&得)%8
A
0$1#%#3$1#%%3$1#%&303$1#%A3!1A7$1#%A3##……………………………… *分
$1#%#7*!1$1#%A+
整理得)%80 1A7$1#%A3#
A !1$1#%
&7*!1$1#%A+
0 1A7$1#%A3##………………………………………………………………………… !!分
%
& A & !! A"
所以8
A
0
"
*!1$1#%A+1
%
7$1#%A3#0
"
1
"
3
%
$1#%A3#$A""4%!……………………… !#分
!"!&命题意图’本题考查空间线面位置关系$空间几何体的体积#考查了直观想象$逻辑推理$数学运算的核心
素养!
&解析’$!%证明)取$*的中点B#连接B3#B4!
因为底面"$*/是等腰梯形#"$5*/#
又3#B分别是"/#$*的中点#所以B35"$!
又因为B36平面7"$#"$7平面7"$#所以B35平面7"$!…… #分
因为4是7*的中点#所以B457$!
又因为B46平面7"$#7$7平面7"$#所以B45平面7"$!
因为B37平面34B#B47平面34B#B3&B40B#
所以平面34B5平面7"$!…………………………………………… &分
因为347平面34B#所以345平面7"$!………………………… ’分
$#%如图#取"$的中点2#连接72#*2!
由已知得2"5*/且2"0*/#所以四边形2"/*是平行四边形#
所以2*5"/#且2*0"/!……………………………………………… (分
因为+7"$是正三角形#所以723"$#
因为平面7"$3平面"$*/#平面7"$&平面"$*/0"$#
所以723平面"$*/#又2*7平面"$*/#所以7232*!………… )分
设"$0#*/0#"/0#$*0#.#则720槡%.!
在BC+72*中#由72#32*#07*##即$槡%.%#3.#0&##解得.0##
………………………………………………………………………… "分
即"$0#*/0#"/0#$*0&!
! 槡%
方法一)由题意可得*$"/0($A#点3到"$的距离C0"3?2:($A0 "/?2:($A0 #
# #
槡%
即点3到平面7"$的距离为 !………………………………………………………………………… !!分
#
槡%
又345平面7"$#所以点4到平面7"$的距离为 !
#
! ! ! 槡%
所以D 0 ,9 ,C0 7 7&7#槡%7 0#! …………………………………………… !#分
417"$ % +7"$ % # #
方法二)连接"*#由题意得#*"$*0($A#所以点*到"$的距离为@0$*?2:($A0槡%!
! !
因为4为*7的中点#所以三棱锥417"$的高为三棱锥*17"$高的 #所以D 0 D 0
# 417"$ # *17"$
数学!文科"参考答案!第!!!!’页!共"页"!
D !…………………………………………………………………………………………………… !!分
# 71"$*
! ! ! ! ! !
所以D 0 D 0 7 79 7270 7 7 7&7槡%7#槡%0#!………………… !#分
417"$ # 71"$* # % +"$* # % #
#$!&命题意图’本题考查抛物线$导数的几何意义$直线与抛物线#考查了直观想象$逻辑推理$数学运算的核心
素养!
>
&解析’$!%因为>’$#由题意可得?3 0##$1#%#0#>?#…………………………………………… #分
#
解得?0!#>0##所以抛物线*的标准方程为##0&’! ………………………………………………… %分
! !
$#%方法一)设3$#
!
#’! %#4$#
#
#’# %#由’0
&
###得’50
#
##………………………………………… &分
!
所以抛物线在点3处的切线方程为’1’! 0
#
#
!
$#1#
!
%#
!
在点4处的切线方程为’1’# 0
#
#
#
$#1#
#
%! ………………………………………………………… ’分
!
0#3’! 0
#
#
!
$#
!
3!%#
因为两条切线均过点"$1!#1#%#所以/
!
1#3’# 0
#
#
#
$#
#
3!%!
!
所以点3#4的坐标均满足#3’0 #$#3!%# ………………………………………………………… (分
#
! ! !
所以#3 ##0 ##3 ##即##3##1*0$#解得#01&#或#0#!
& # #
不妨设#01&##0##则3$1&#&%#4$##!%!
! #
..- ..- ..-
易知=$$#!%#所以=30$1&#%%#="0$1!#1%%#=40$##$%!………………………………………… *分
..- ..-
..- ..- =",=3 &1" 槡!$
所以>5?.="#=3/0 ..- ..- 0 01 # …………………………………………………… "分
#="##=3# ’槡!$ !$
..- ..-
..- ..- =",=4 1# 槡!$
>5?.="#=4/0 ..- ..- 0 01 ! ………………………………………………………… !$分
#="##=4# #槡!$ !$
所以*3="0*4="#所以*3=E0*4=E#所以=E平分*3=4#
所以点E到直线=3的距离@ 等于点E到直线=4的距离@#……………………………………… !!分
! #
@
所以 !0!#为定值#得证! ………………………………………………………………………………… !#分
@
#
! !
方法二)设切点为$#
$
#’$ %#由’0
&
###得’50
#
##……………………………………………………… &分
!
所以过点"$1!#1#%的抛物线的切线方程为’3#0
#
#
$
$#3!%!
!
0’0 ###
&
联立方程/ 消去’并整理得##1##
$
#3*1##
$
0$#……………………………… ’分
!
1’3#0
#
#
$
$#3!%#
则#0&##
$
1&$*1##
$
%0$#解得#
$
01&#或#
$
0#!……………………………………………………… (分
不妨设# 01&## 0##则3$1&#&%#4$##!%#
3 4
!
所以直线34的方程为’01 #3#!…………………………………………………………………… )分
#
易知=$$#!%#所以直线"=的方程为’0%#3!!
数学!文科"参考答案!第!!!!(页!共"页"#
0’0%#3!# 0#0
)
#
!# !%"
由/ 1’01 !
#
#3## 得/
1’0
!
)
%
#
即E ) # ) ! …………………………………………………………… *分
%
易得直线=3的方程为’01 #3!#直线=4的方程为’0!#
&
# % !%
7 3 1!
) & ) (
所以点E到直线=3的距离@0 0 #…………………………………………… !$分
! 槡!%"#
3!#
)
&
!% (
点E到直线=4的距离@0 1!0 !………………………………………………………………… !!分
# ) )
@
所以@0@#则 !0!#为定值#得证!……………………………………………………………………… !#分
! # @
#
#!!&命题意图’本题考查导数及其应用#考查了逻辑推理$数学运算的核心素养!
&解析’$!%当.0%#,01’时#&$#%04:#1%##3’###’$!
! 1(##3’#3! (##1’#1! $(#3!%$#1!%
则&5$#%0 1(#3’0 01 01 !………………………… #分
# # # #
!
当&5$#%’$时#解得1 %#%!#又#’$#所以$%#%!&
(
!
当&5$#%%$时#解得#’!#或#%1 #又#’$#所以#’!!
(
所以函数&$#%的单调递增区间为$$#!%#单调递减区间为$!#3@%!…………………………………… &分
$#%函数6$#%0&$#%3.##04:#1,###’$#
4:#
令6$#%04:#1,#0$#得,0 !
#
4:#
令$ $#%0 $#’$%#则直线’0,与函数$ $#%的图象在$$#3@%上有两个不同的交点!…………… ’分
#
!14:#
因为$5$#%0
##
##’$#由$5$#%’$#得$%#%=&由$5$#%%$#得#’=!
所以函数$ $#%在$$#=%上单调递增#在$=#3@%上单调递减!
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!二"选考题$共!$分!请考生在####%题中任选一题作答%如果多做%则按所做的
第一题计分!
##!&命题意图’本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程互化#圆的参数方程与极坐标方程互化#考查了直
观想象和数学运算的核心素养!
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#%!&命题意图’本题考查不等式#考查了数学运算$逻辑推理的核心素养!
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数学!文科"参考答案!第!!!!"页!共"页"
