文档内容
雅礼中学 届高三月考试卷（二）
2026
数学
得分:_______________
本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共8页.时量
口「
120分钟，满分150分.
料
第I卷
膈 一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
她
1 .已知集合乂={$）=石=T},N={z|—则 MUN=
A. （ — 1,2] B. [-1,-2]
邮
C. （-1,-2） D. [ —l,+oo）
2.“|0| = |“且0〃匕"是，=力”的
A,充分不必要条件
位 B.必要不充分条件
C.充要条件
㈱Mb/
D.既不充分也不必要条件
3.设机,先是两条不同的直线，⑶y是三个不同的平面.下列命题正确
蔚
的是
A.若“人因人则a〃S
蒯
B.若加〃a,a〃S，则 m//p
C.若 q〃⑶ m_\_a, 〃_1_伙则 m//n
D.若 则 mj_a
4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大
小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中,",6,c分别对应这
组数据的平均数、中位数和众数,则下列关系正确的是
数学试题（雅礼版）第1页（共8页）5•已知i是虚数单位，复数之满足I之一i | = 1,贝IJ | z-43 |的最小值为
A.a/3-1 B. 1 C.V3+1 D. 3
6 .在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，6,0/=21+o2—/=/,若
BC边上的中线A。=47 ,WJAABC的外接圆面积是
A. 47r B. 8k C. 12k D. 167r
7 .如图所示，曲线C是由半椭圆Ci：［ +弓=1。<0）,半圆C2：（x—I）?
1（3>0）和半圆C3：（z+l）2+9 = l（y>0）组成，过G的左焦点
+ ?2 =
F1作直线Z1与曲线c仅交于A,B两点，过G的右焦点B作直线h
与曲线C仅交于M，N两点，且21 〃人则I AB I + I MN I的最小值为
8 .设%是关于久的方程久2 +%叶r="2+3"的正实数根.记q产 芳,
其中口］表示不超过久的最大整数,设数列｛为｝的前"项和为S〃，则
S2025=
A. 10122 B. 1012X1013
C. 10132 D. 1013X1014
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的
得。分.
9 .下列说法中，正确的是
A,回归直线y=bx+a可以不经过样本中心
B.可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，厂值越大两个变量
的相关程度越强
C.残差图中,残差点所在的水平带状区域越窄,则回归方程的预报精确
度越高
D.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到片=4.712,根据小
概率值a=0.05的,独立性检验（须.05 =3. 841）,可判断X与丫有
关联,此推断犯错误的概率不超过0. 05
数学试题（雅礼版）第2页（共8页）10. 一个袋子中装有N(N=5/%GN*)个除颜色外完全相同的小球，其中
黄球占比40%.现从袋子中随机摸出3个球，用X,V分别表示采用不
放回和有放回摸球方式取出的黄球个数.则
A. E(X)=E(Y)
B.若 N=20,则尸(X=2)=1|
y o
C.若 N=20,则 P(y=2)=卷
D. VN=5%,〃GN* ,P(X=2)〉P(Y=2)
11.已知函数”£)=a©+a)一%有两个零点 m2,则下列说法正确
的是
A.不存在负数Q满足条件
B.a的值可以取］
C. a的值可以取J
D. I —X21的值关于a单调递减
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
第n卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 . 一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有.
13 .已知双曲线C?一胃= l(a>0">0)的上、下焦点分别为B,K,P
是双曲线C的上支上的任意一点(不在y轴上)，PF2与t轴交于点
A,APAF.的内切圆在边AB上的切点为B,若|AB|>2仇则双曲线
C的离心率的取值范围是.
1, %〉0,
14 .已知/(%) =< 0, k=0,g,dc是平面内三个不同的单位向量.若
、-1,7 V0,
/(a ・ b) +fCb • c) + f (c • a) =0,贝| a+b+c | 的取值范围是 .
数学试题(雅礼版)第3页(共8页)四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15 .（本题满分13分）
已知函数/ （ J; ） = sin（31+9）（3>0, I, 的图象关于点
（一含,0）中心对称，且图象上相邻两条对称轴的距离为参
（1）求函数/（%）的解析式；
⑵设© ,力2 G （一〈啬）,且乃乎久2 ,若/（久1 ） =/（&）,求+力2）
的值.
数学试题（雅礼版）第4页（共8页）16 .（本题满分15分）
已知抛物线E/=2"（0>O）与双曲线《一名=1的渐近线在第一象
y izs
限的交点为Q,且Q点的横坐标为6.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点M（—3,0）的直线I与抛物线E相交于A 两点，点B关于1
轴的对称点为证明:直线AB'必过定点.
数学试题（雅礼版）第5页（共8页）17 .（本题满分15分）
在四棱锥 P-ABCD 中,AB_LAD,AB〃DC,AD=DC=£AB=2,PC
= 2/,E,F分别为直线DC,DP上的动点.
（1）若异面直线AD与PC所成的角为45°,判断PB与AD是否具有
垂直关系并说明理由；
⑵若PB=PA=2畲,EF〃尸C,求直线AC与平面BEF所成角的最
大值.
数学试题（雅礼版）第6页（共8页）18 .（本题满分17分）
已知函数，（％） = ln片T ax-\-b (2—I)3.
乙 JU
⑴若6=0,且r（力）＞。,求a的最小值;
（2）证明：曲线？=/（外是中心对称图形；
（3）若a=—2,证明：当时"（Z）＞—2在区间（1,2）上恒成立.
数学试题（雅礼版）第7页（共8页）19 .（本题满分17分）
设及GN,数对（即,乩）按如下方式生成：（劭,优）=（0,0）,抛掷一枚均匀
的硬币，当硬币的正面朝上时，若a〃 >勿，则（a〃+i，第+1）=
（%+1也+1）,否贝!|（。〃+1也+1）=（即+1也）;当硬币的反面朝上时,
若 bn > a„,则（a〃+1 也+i） = （a〃 + l 也+ 1）,否则（a〃+i 也+i ）=
（a〃也+ 1）.抛掷ri次硬币后，记an=bn的概率为巳.（提示：由已知可
得 |a 〃一 6〃 |&1）
（1）写出（“2 ,仇）的所有可能情况，并求尸】，P2 ;
（2 ）证明：［ P〃 一4］是等比数列，并求P. ；
（3）设抛掷"次硬币后即的期望为求耳.
数学试题（雅礼版）第8页（共8页）雅礼中学2026届高三月考试卷（二）
数 学
时量：120分钟 满分：150分
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1 .已知集合 M=bb=y^T}，N={£|—l
又。是BC中点，所以AD=或（AB+AC）,又AC=b=2,
所以俞？ = 1（AB+AC）2-j（AB24-2 AB - AC+AC2）,
即 7=y（c2+2cX2Xcos 或+22）,解得 c=4（负值舍去），
所以 a2 =b2-\~c2 — 2Z>ccos A=22+42 —2X2X4cos *^ = 12,则 q = 2西，
o
所以2H=二号=2巨=4,即R=2,
Sin飞
所以△ABC的外接圆面积为S = 7tR2 =4兀
7.如图所示，曲线C是由半椭圆G：］+弓=1（、<0）,半圆。2：（久一1）2+/ = 1（）》0）和半圆g：
Cz+iy+ynis'o）组成，过G的左焦点B作直线h与曲线C仅交于A,B两点，过Cl的
右焦点6作直线。与曲线C仅交于M, N两点，且4,则IAB | 十 | MN|的最小值为 （C）
A. 3 B.4 C. 5 D. 6
数学试题（雅礼版）-14【解析】由题意知：| A析+1MN| = | | +1NB I +2,
2 2
•・• /】//12由对称性可知：| | 十 | NB I为椭圆看=1截直线。的弦长，
由题意知 斜率不为0,设 ：/=〃2）+1 ,其与椭圆亍 1交于点（N1，例）和（12 ），
12 ，2 +［~ = ,V2
O
因为直线，i"2与曲线C仅交于两点，所以, ＞ 1,得一四＜m＜73.
{1 = 〃2)+1 ,
兴+2 ］得(3田+4)；/ + 67723/-9 = 0,贝| △=144(7??2 + 1)〉0,
!?? 9
••♦例+2=一乐书，例.
3 m2 +4
/. | BF） I + I NF21 =，1+12 -,（例+?2）2—43）2 =1 累"）=4―3,：+4,
当m=0时，|BB I + INF2I取得最小值4—1 = 3,，|AB| 十 |MN|的最小值为3+2 = 5.
8.设乃是关于N的方程］2 + 104+1］"=〃2+3〃的正实数根.记a” =［号］，其中［1］表示不超过N'
的最大整数,设数列｛〃”｝的前〃项和为S”,则 (B)
S2O25 =
A. 10122 B. 1012X1013
C. 10132 D. 1013X1014
【解析】令/(1)=£2+10纵+11"—4―3〃，则函数/(I)在(0,+8)上为增函数,
因为 f(n)=nZJrlog„+ 1 nfl — rr — 3?? — ?? log„+in — 3?20,
由零点存在定理可得7?3. 841,所以可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0. 05,D正确.
10 . 一个袋子中装有N(N=5t?,〃GN* )个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%.现从袋
子中随机摸出3个球，用X,Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数.则
(ABD)
A.E(X)=E(Y)
B.若 N=20,则 P(X=2)=||
C.若 N=20,则尸(丫=2)=粽
IZo
D. VN=5t2,77GN* ,尸(X=2)>P(Y=2)
9
【解析】对于A,X,Y分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为卷，则E(X)=E(Y) =
0
3xf = f,A^;
对于8'=201(*=2)=瞥=段白=||出正确；
对于C,N=20,P(V=2)=复仁『乂口―£)=需，C错误;
=_36_ py)= C|,C〃 = 18-(2t?-1)
对于 D, VN=5〃，〃GN* ,P(Y=2)
—125' < Q" ―5(5〃一1)(5??—2)'
18刀(2〃-1) 36「18「 22 -
P(X=2)—P(Y=2)
5(5/211)(5〃-2) 125 5 1(5〃-1)(5〃-2) 25.
=V , 南左---7777—六〉°，因此 V N=5〃，7?GN* ,P(X=2)〉尸(V=2) ,d 正确.
5 Z5(5«-1)(57?-z)
11 .已知函数+q) —1r有两个零点不，％2,则下列说法正确的是 (ABD)
A.不存在负数a满足条件
Ba的值可以取]
C.a的值可以取J
乙
D. I/1 一121的值关于a单调递减
【解析】求导得/(/)=碇2 —1,当a40时恒成立，故/(1)在R上为减函数，不可能有两
个零点，故a>0,所以A正确.
令 /'(龙)=0，得①= — ln a,
当 (—8, —Ina)时"'(h) V0；当 (— In a, +00)时(无)>0,
则/(1)在(一8,一岳a)上单调递减，在(一In q,+8)上单调递增，
故 /(1)的最小值为 f( — In a) =a(e-lria +a) +ln a = l~\~a2-\-\n a.
对于 B 选项：当 a 时"(一= +ln] = 1| —ln4,
243 = 35<44 =256035 X312<44 X4】2,故 317<416,
数学试题(雅礼版)-16因为V = X抬在（0,+8）上单调递增，
贝寸滴V3兼V4,故gvin 4,贝ij /（-In J）<0,
当 1— — 8 时 "（R）f +8;且 +8 时 "（£）一+8;
故/'（忆）在（一8,ln 4）及（In 4,+oo）各有一个零点，故B正确；
对于 C 选项：当 a=、时,/（i）min=/（ — ln y） —l + [y） +ln y=y-ln 2>0,
故/（Z）在R上无零点，故C错误；
对于D,a（ez+a）—1=0,即^ = ?一用为，论可视为两函数y=^'与Q的交点横坐标，当
a增加，直线）=?—a斜率变小，同时向下平移，故I为一& |收缩变小，故D正确.
答题卡
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 D B C C B A C B CD ABD ABD
第n卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 . 一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有3.
【解析】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端，从5个空位置中选
出3个空位置，即Q,然后3人全排列为AJ,所以不同的坐法共有CQ 7 = 10X6 = 60种.
13 .已知双曲线C：耳一瑛=1（。>0/〉0）的上、下焦点分别为B，B，尸是双曲线C的上支上的任
a b
意一点（不在、轴上），PB与其轴交于点A,z^PAB的内切圆在边AB上的切点为B,若
|AB| >2仇则双曲线C的离心率的取值范围是（1,亨）.
【解析】设该内切圆在PF1,PA上的切点分别为D,E,
由切线长定理可得|AB| = |AE| ,|PD| = |PE| ,|BB| = |BD| ,
又| PF21 - I PF11 =2q, | AF] | = | AF21 ,则 | 尸A| +1AF] | 一 |PF. \ =2a,
即 21ABi =2q,解得|AB|=a,
由 | AB | >26,即 a>26,得，所以 e=Jl严 G （1，亨）.
1, w〉0,
14 .已知f（oc） =< 0, z=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若/（a ,5）+/（》• c） +
、- 1,久<0,
/（c • g）=0,则|a+t+c|的取值范围是（1,西）.
【解析】若 f （a • b）=f（b • c） =f （c • a）=0,则 a • b=b , c=c • a=0,
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,6,c两两垂直，显然不成立；
数学试题（雅礼版）-17故"(a • b) ,f(b • c), f(c • a) } = { — 1,0,1}.
f(a • b)=l,
不妨设< y(b・c)=0,贝】J a • b〉0,b ・ c=0,c • g<0,
、f(c •«) = — 1,
不妨设 b=(l ,0) ,c=(0,1) ,a= (cos &sin 9) "G [0,2江)，
则
贝可JG d式，
[c • a=sin 8<0
则 | a+b+c| — | (1+cos 仇 1 + sin(9) | =y(14-cos(9)2 + (l + sin i9)2 =v/3+2cos ^+2sin 0
=^3~\~2&sin®+£),由 9Q (3兀，2兀)，((7c'
贝sin(6+£)G (一掾，孝)，2y^sin(j+£)G (一2,2),
故 |a+b+c|G（l,®
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .（本题满分13分）
已知函数/⑺=411（3%+"3>0,|9|<舅的图象关于点（一看,0）中心对称,且图象上相邻
两条对称轴的距离为我
乙
（1）求函数/Cr）的解析式；
⑵设乃，久26 （一假音），且久，若/'5 ）=/（g）,求/'（为+22）的值.
【解析】（1）因为函数/（1）的图象上相邻两条对称轴的距离为3,
乙
所以■，即丁=穴,所以3=第=2,所以/（以=sin（2；r+g）. ............................................. 3分
乙 乙 J.
又因为/（①）的图象关于点（一皆,0）中心对称，
所以 2x（——亳、+（p=hR,keZ, ................................................................................................... 5 分
所以0=5十£T,££2,由14v£可得所以/'（]） = sin（2z十码................... 6分
O 乙 O \ O /
（2）因为 E （一专,国，所以 21]+-yG （0,7t）（0,7t）.
因为/（乃）=/'（£2）,所以点（①，/'（⑥）），（工2"（处））关于对称轴对称，.................. 8分
因为函数y=sin久的图象在区间（0,穴）上的对称轴只有直线1=命，
乙
2©+令+212 +冷 〜
所以------- 2-------= 冷，所以 为+12=宠，........................................ 11 分
所以 /（乃+g ） =sin（2X"^+^） =sin 空=喙. ..................................... 13 分
\ 0 0/ o Ct
数学试题（雅礼版）-1816.（本题满分15分）
已知抛物线民力=2"（力>0）与双曲线（一得=1的渐近线在第一象限的交点为Q,且Q点
的横坐标为6.
（1）求抛物线£：的方程；
（2）过点M（ —3,0）的直线/与抛物线E相交于两点，点B关于1轴的对称点为次,证明:
直线AB'必过定点.
【解析】（1）设点Q的坐标为（6,的），因为点Q在第一象限，所以功>0，
双曲线（一得=1的渐近线方程为,=士琴N，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以5/0=473,
3 _L乙 O
所以点 Q 的坐标为（6,4遮），........................................................ 3分
又点Q（6,4遮）在抛物线y2=2px上，所以48 = 2/X6,所以/>=4,......................................... 5分
故抛物线 E 的标准方程为、 = 8%. ............................................................................................ 6 分
2
（2）设直线AB的方程为jc=my—3,联立y2 — Zx<）消去x得了？-8my+24 = 0,
方程 y —8?”/+24 = 0 的判别式 A=64/ —96〉。，即 2加一3〉0, ......................................... 8 分
设A（乃，v ）,B（g ,2），则yi +北=8m,例2=24,设点B关于x轴的对称点为B'（B，一2）,
则直线 AB'的方程为 y+?2=—+_ A （1—&），..................................... 10分
其
2 21
根据抛物线的对称性可知定点必定在1轴上，...................... 12分
（阳
V 2-3）+/2（7"VI -3）
令 y―0,付々一“X--------------\-x2 -------V------
一义一加 州十V
_2mj/23;i-3（j/i +）2） _48m_24m_^
82九 ,,
y\ +»2
・•・直线AB'过定点（3,0）.............................................................................. 15分
17 .（本题满分15分）
在四棱锥 P-ABCD 中，AB_LAD,AB〃DC,AD = QC =）AB = 2,PC =
La
2盒,E,F分别为直线DC,。尸上的动点.
（1）若异面直线AD与PC所成的角为45°,判断PB与A。是否具有垂直关
系并说明理由;
（2）若PB=PA=2点,EF〃尸C,求直线AC与平面BEE所成角的最大值.
【解析】（1）取AB的中点G,连接CG,PG,
乙
所以四边形AGCD为平行四边形，
所以CG〃AD,所以NPCG（或其补角）为异面直线AD与PC所成的角，................ 3分
①当NPCG=45°时，在APCG 中，PC= 2四,CG= 2,
由余弦定理可知。6=/定+（2久） — 2义2><22><彳=2, 」一•
2
数学试题（雅礼版）-19所以 CG2+PG2 = PC2,所以 CGJ_PG,所以 AD±PG,
又 ADJLAB,ABnPG=G,AB,PGU平面 PAB,
所以AD_L平面尸AB,又PBU平面尸AB,所以AD_LPB. ..................................................... 5分
②当NPCG= 135°时，假设ADJ_PB,则同理有AD_L平面PAB,
因为 PGU平面 PAB,所以 AD±PG,CG±PG,
这与NPCG=135°相矛盾，故此时AD与PB不垂直.
综上所述，当NPCG=45°时,AD_LPB；当NPCG=135°时,A。与PB不垂直. ............7分
⑵由PB=PA=2笈，点G是AB中点，可得PGJ_AB,从而由GB=^AB=2可得PG=2,
又 6。=4。=2,尸。=2筏;所以 GC2+GP = 8=PC2,即 pgJlGC,
因为 AD，AB,由(1)有GC〃AD,所以 GB±GC,
所以GB,GC,GP两两互相垂直，.................................................... 9分
故可以G为坐标原点,GB,GC,GP分别为1轴、)轴、之轴建立空间直角坐标系. I
故 A(—2,0,0)1(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),熊=(2,2,0).
n • BE=0, /
因为EF〃尸C,设平面BEF的法向量为〃 = (i~，N),则有< 一 Me—
1・PC=0, 心y
设 E *,2,0),t # 0,则前=*—2,2,0),又无=(0,2,-2),所以有 力
令力=2,则y=z=2 一九故平面BEF的一个法向量为n = (2,2—%,2 — t), 12分
设直线AC与平面BEF所成的角为。，
---A
贝I sin 6= | cos< AC,"〉| =
|AC| ♦向
_ ______| 8 — 2t |________ | 4-z | _ I (t—4)~
2^/2 --2—+12 2，产―4z+6 2“ 产一4%+6 '
i /
令力—4 = 5,则 S# —4,sin e=Ws2+4s+6, 当 5=0 时，sin(9=0；
当 sWO 或14 时,sin 9=劣 I 2 1 / 1、 =£ I ；—当且仅当 s= - 3,t=
2/臼+亚)+】2/(“()+(2
1 时取“=")又 0°W9W90°,所以 0℃^<60°.
综上所述，直线AC与平面BEF所成角的最大值为60°. ......................................................... 15分
18 .(本题满分17分)
已知函数/(jc) = ln 2二_+心+6 (彳一1)二
⑴若6=0,且/(外)0,求a的最小值；
(2)证明：曲线v=/Cr)是中心对称图形；
(3)若a=-2,证明：当6>0时"(龙)〉一2在区间(1,2)上恒成立.
数学试题(雅礼版)-20【解析】（1）6=0时"（x） = ln三一十。£，其中wQ （0,2）,
乙 JL
1 1 O
贝I /'（久）=—---- \~a = —7^-----/G（0,2）,
x N—x 久（/-X）
因为1（2一①）&（之婴二『=1,当且仅当丁=1时等号成立，
故 /"（"min =2+q ,而 /'（n）〉。成立，故 a + 2〉0,即 Q〉一2 ,
所以q的最小值为-2. ............................................................................................................... 5分
（2）/（j?） = ln --2—Hqi+6（«z—I）3 的定义域为（0,2）,
乙 JZ7
设尸（?％,7?）为）=/（I）图象上任意一点，P（租，7?）关于（1,q）的对称点为Q（2—m,2a~n）,
因为 P（加,7?）在;y=/（x）图象上，故 〃 = ln —Fa22?+6（m —I）3,
Z—m
而/（2-171）= \n-——~\~a（2—m） +6（2-m—1 ）3 — — In 77^—\~am-\-b{m-1 ）3 +2q=—t?+2q,
m L N一m J
所以Q（2—〃2,2q —〃）也在函数y=/（j7）的图象上，
由P的任意性可得函数的图象为中心对称图形，且对称中心为（l,a）. .................. 11分
（3）若 q=—2"（z）>一2 即为 In ^^+2（1—z）+6（n—1）3>0 在区间（1,2）上恒成立，
乙 JC
设，=①一ie（0,l）,则In”一2%+#>0在区间（0,1）上恒成立，
［2±
设 g*） = ln "一2力十疗”6（0,1）,则 g'（t）= —2+36 产=匕（二次 3b）,
1 — t 1 — r l-t
当 6>0 时，一36步+2+36〉一36+2+36=2>0,
故g'Q）>0恒成立，故gQ）在区间（0,1）上为增函数，
故g（力〉g（0）=0,即/（为> —2在区间（1,2）上恒成立. .............................17分
19.（本题满分17分）
设〃GN,数对（对,勾）按如下方式生成：（劭，①）= （0,0）,抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面
朝上时，若，贝I」（a〃+i ,勾+1 ） = （q” + 1,6〃 + 1）,否则（（2叶1,6〃+1） = （% + 1也）；当硬币的反
面朝上时，若，则（a”+i也+i）=+1也+ 1）,否则（a〃+i也+i） = （a”，面+1）.抛掷n次
硬币后，记以=”,的概率为P〃.（提示：由已知可得|斯一仇IWD
（1 ）写出（例，为）的所有可能情况，并求P，尸2 ；
（2）证明P〃 V ］是等比数列,并求P” ；
（3）设抛掷n次硬币后的期望为E“，求E”.
【解析】（1）当抛掷一次硬币结果为正时，（幻，仇）= （1，0）;
当抛掷一次硬币结果为反时，（Q1，仇）=（0,1）.
当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，（恁也）=（2,1）；
当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，（。2,仇）= （1，1）；
当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，（口2,62）= （1,1）；
数学试题（雅礼版）-21当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，（Q2,62）= （1,2）.
2 1
所以 Pi=0,P2=7 = ^. ........................................................................................................... 5 分
（2）由题知，| a„—b„ | ,
当。〃〉伉，且掷出反面时，有（q〃+i，仇+i ） = （a”，乩+ 1）,此时4+1 =仇+1,
当4〃<仇，且掷出正面时，有（许+1，仇+1） =（4 + 1,乩），此时a„+i =bn+1,
所以尸”+i ） = J[P（a〃>6”）+尸（a” V6”）[ = 3• （1-P”），
乙 乙 乙 Ci
所以 p〃+l一（ = 一_1（0〃-4），
所以]p”一■是以Pi -4-=—~^为首项，一）为公比的等比数列，
（力J O o 乙
] 1 / 1 \〃1 1 1 1 / 1 \〃-1
所以P〃一春= _^X 一告 ，所以尸〃二看一看X 一卷 . .........................12分
O 0 \ 乙/ 。力 '乙/
（3）设为〉〉与a〃V①的概率均为Q”，由（2）知，Q.=a（l—P”）=2[l—（一•1）]，
显然，Ei=ix]+ox]=].
Ct Ci Ci
①若 a“>b”,贝（） aa = 6〃 +1,
当下次投掷硬币结果为正面朝上时，a〃+i=a〃 + l,当下次投掷硬币结果为反面朝上时，a〃+i =a„;
②若4 = bn，则当下次投掷硬币结果为正面朝上时，a”+i =a”+ 1,当下次投掷硬币结果为反面朝上
时,a”+i a” ；
③若 an
