湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟考试（二）数学试题（含答案）_2025年5月_250523湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期模拟考试（二）（全科）

长沙市第一中学 2025 届高考模拟考试（二） 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为 1 1 1 1 A． B． C． D． 5 4 3 2 2．已知等比数列{a }的各项均为正数且公比大于1，前 n 数学(YZ)-第1页-（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 n 项积为 T n ，且a a a ，则使得T 1 3 7 5 n 的n的最小值为 A．6 B．8 C．9 D． 1 0  π 3．已知角的终边在射线y2xx0上，则sin2   4 2 2 2 2 A．- B． C． D． 5 10 10 5 4．已知集合A  x x23x0  ，B0,1,2,3，则  A B R A．3 B．1,2,3 C．1,2 D．0,1,2,3 1 x 5．若函数 f x  m1至少有一个零点，则 3 m 的取值范围为 A．m1 B．m1 C．0m1 D．0m1 exex 6．函数 f x 的部分图象大致是 x2 x 2A． B． C． D． 7．将函数 fxsinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数gxsin   1 x     π  的 2  2 π π 图象，若点A , f  被变换成了点 3 3 数学(YZ)-第2页-（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 A   x 0 , y 0  1 ，且sinx  ，则的所有可能值之和为 0 2 π π π π A． B． C． D． 6 4 3 12 8．已知正四棱锥M ABCD的棱长均为2，下列说法不正确的是 3 A．平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为 3 B．若点 P 满足BPBABD1BM ，则 C P 2 6 的最小值为 3 C．在四棱锥MABCD内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 1 6  8 3 D．点Q在平面ABCD内，且 DQ 2QA，则点 Q 4π 轨迹的长度为 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 x2 y2 y2 x2 9．已知双曲线C :  1 和C :  1 ，其中a0,b0，且ab，则 1 a2 b2 2 b2 a2 A．C 与C 有相同的实轴 B． 1 2 C 1 与C 有相同的焦距 2 C．C 与C 有相同的渐近线 D．C 与 1 2 1 C 2 有相同的离心率 10．如图所示，棱长为3的正方体ABCDABCD 中，P为线段 1 1 1 1 A 1 B 上的动点(不含 端点)，则下列结论正确的是 π A．DP AB B．DP与AC所成的角可能是 1 1 1 6 C．APDC 是定值 D．当AP2PB时，点C 到平面DAP的距离为2 1 1 1 1 11．已知x y0，xy1，则 1 1 A．x y  y x B．xy  x y C． y log xy D． 1 ex 2 exey 7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若等差数列a 满足a a a 0，a a 1，则 n 7 8 9 7 10 数学(YZ)-第3页-（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 a 1  ． 2 13．记 ABC内角A、B、C对边分别为a,b,c．已知b2,c3,cosBC ，则 3 a  ． 14．对于任意的x0,不等式ax log x(a0,且 a a  1 ) 恒成立，则 a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间 y / 月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 (1)求出样本相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关（当 r 0.75时，即可认为线性相关）； (2)依据0.001的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到 不愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求 X 的分布列及数学期望. n x xy y i i n(adbc)2 参考公式：r i1 ,2 ，其中nabcd. n n (ab)(cd)(ac)(bd) x x2 y y2 i i i1 i1 临界值表：  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828  参考数据： 635 25.2. 16.（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱ABCABC 中，AB AC,AB1,AC AA 2． 1 1 1 1 (1)证明：AC 平面ABC ； 1 1 (2)求直线AC 与平面ABC 所成角的正弦值． 1 1 117．（本小题满分15分） 已知函数 f xx2lnx． (1)求 f x的图象在点e,fe处的切线方程； (2)求函数 f x的极值； (3)证明：对任意的x0,，有 f xx1； 18. （本小题满分17分） 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双 x2 y2 4 5 曲线C 与椭圆C 是“共轴”曲线，且椭圆C :  10b3，ee  （ 1 2 2 9 b2 1 2 9 数学(YZ)-第4页-（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 e 1 、 e 2 分别 为曲线C 、C 的离心率）．已知点M1,0，点 1 2 P 为双曲线 C 1 上任意一点． (1)求双曲线C 的方程； 1 (2)延长线段PM 到点Q，且 PM 2 MQ ，若点Q在椭圆 C 2 上，试求点P的坐标； (3)若点P在双曲线C 的右支上，点A、B分别为双曲线C 的左、右顶点，直线 1 1 P M 交双曲 线的左支于点R，直线 A P 、 B R 的斜率分别为k 、 AP k B R ．是否存在实数，使得k k ？ AP BR 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 如图，曲线y x下有一系列正三角形，设第 n 个正三角△Q PQ ( n1 n n Q 0 为坐 标原点)的边长为a ， n (1)求a,a 的值； 1 2 (2)记S 为数列a 的前n项和，探究a 与S 的关系，求a 的通项公式； n n n1 n n 3a 3a 3a 4 (3)是否存在正实数，使得不等式 1  2  n  3a 2 对一切正整数 3a 1 3a 1 3a 1 n1 3 1 2 n n都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.长沙市第一中学 2025 届高考模拟考试（二） 数学试题参考答案 单选8x5+多选3x6=58分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B C C D A A BC AC ACD π 3 1  【第7题】由题意得A  ,   ，所有点经过平移和伸缩变换得到函数gxsin x，  3 2  2  π π 点A , f  被变换成了点Ax ,y ， 3 3 0 0 π π 2π 2π 即 先变换为 ，再变换为 2，即x  2， 3 3 3 0 3 2π  1 2π π 2π 5π 所以sin 2 ，即 2 2kπ或 2 2kπ,kZ,  3  2 3 6 3 6 π π π 又因为 ，所以 或 ， 2 4 12 π π π 则的所有可能值之和为   ， 4 12 6 【第8题】如图，对于A，∵正四棱锥M ABCD的棱长为2，∴正四棱锥M ABCD  2 的高为MO 22 2  2，设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得 MP AB,OP AB，MP 2212  3，则平面MAB与平面ABCD的夹角为 2 6 MPO，则sinMPO  ，故A错误； 3 3 对于B，∵BPBABD1BM ，11， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当CP平面MAD时，CP 最小，此时根据等体积法可求出V V ，即 MACD CMAD 1 1 1 3 2 6  22 2   22CP 可求得CP  ，即 3 2 3 4 min min 3 数学答案(YZ)-1-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 C P 2 6 的最小值为 ，故B正 3 确；对于C，设正方体的棱长为 a ，则正方体的体积为 a 3 ，正方体可以在正四棱锥M ABCD 内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，设内切球的半径 1 4 2 为r，正四棱锥M ABCD的体积为V  22 2  ， MABCD 3 3 1 1  2 根据另一个体积公式V  ·S ·r 44 3 r，可得r ， MABCD 3 MABCD表面积 3 1 3 2 2 ∴正方体对角线 3a2r，a ， 3 3 8 48 S 6a2 6  168 3 ∴正方体表面积  3 3 2 126 3 ，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，𝐴𝐵，𝐴𝐷所在直线为 x ，y轴， 过点A向上作垂线为 z 轴建立空间直角坐标系，则𝐴(0,0,0)，D0,2,0， 设Qx,y,0，∵ DQ 2QA，∴ x2y22 0 2 x2y20，即 x2y22 4  x2y2 ， 2 2 16 化简整理可得x2y   ，∴点  3 9 数学答案(YZ)-2-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 Q  2 的轨迹是在平面ABCD内以E0, 为圆心，半径  3 4 为 的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 3 2 4 π 由于AE  ,EG ,HEG ， 3 3 3 π 4 4π 则点Q的轨迹长度为l   ，故D正确. 3 3 9 1 1 多选题11题 由xy1，得y 又x y0，可得x 0，即x2 1， x x 故x1.A项，由x y0，得 x  y，两边同乘以 x y 得，x y  y x， 故A正确； 1 1 B项，构造函数 f(t)t ,t0，则 f(t)1 0，故 t t2 f (t ) 在 ( 0 ,   ) 单调递增； 1 1 1 1 由x y0得 f(x) f(y)，则有x  y ，即xy  ，故B错误； x y x y 1 C项，由x y0，且x1，则log xylog (x )log 21， 2 2 x 2 y 1 y 由x1,ex e，则xex e1，所以  1，则 log xy，故C正确； ex xex ex 2 1 1 D项， 由x ,x1可得 ，故D正确. y exey e2x>e2 7 填空题（3x5=15分） 1 12．7 13． 5 14． (ee,) lnx 【14题】不等式ax log xexlna  对x(0,)恒成立， a lna lnx 当0a1时，lna0，取xa，此时exlna 1 ，不符合题意， lna 因此a1，此时有(xlna)exlna xlnx，即exlna(xlna)elnxlnx， 当lnx0，即0x1时，exlna(xlna)0,elnxlnx0， 不等式exlna(xlna)elnxlnx恒成立， 当lnx0，即x1时，令 f(x)xex，于是 f(xlna) f(lnx)，且xlna,lnx0， 而x0时， f(x)(x1)ex 0，即函数 f(x)在(0,)上单调递增，此时xlnalnx， lnx 所以x(0,)要使不等式恒成立，只需x1,时xlnalnx，即lna ， x lnx 1lnx 令g(x) ，求导得g(x) ，当0xe时，g(x)0，当xe时，g(x)0， x x2 1 函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，g(x) g(e) ， max e 1 1 1 所以lna ，解得 ，所以a的取值范围是 . aee (ee,) e 解答题（共计77分） 12345 15．（1）由题知，x  3， 5 810132524 y  16， 55 x xy y(2)(8)(1) 603192847， i i i1 5 x x2 4101410， i i1 5 y y2643698164254， i i1 5 x xy y i i 47 47 则r  i1   0.9330.75， 5 5 10 254 2 635 x x2 y y2 i i i1 i1 故管理时间 数学答案(YZ)-3-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 y 与土地使用面程 x 线性相关. （2）依题意，完蟙表格如下： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为H ：村民的性别与参与管理的意愿无关. 0 300(150505050)2 计算可得2  18.7510.828x . 200100200100 0.001 依据0.001的独立性检验，推断 H 0 不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关. （3）法一：依题意， X 的可能取值为0,1,2,3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参 1 与管理的男性村民的概率为 ， 6 5 3 125 故PX 0   ， 6 216 1 5 2 25 PX 1C1    , 3 6 6 72 1 2 5 5 PX 2C2    , 3 6 6 72 1 3 1 PX 3   . 6 216 故X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 125 25 5 1 216 72 72 216 125 25 5 1 1 则数学期望EX0 1 2 3  . 216 72 72 216 2 1 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为 ， 6  1 1 1 则X B3, ，故EX3  .  6 6 2 16．（1）由题知AA 面ABC，又AB面ABC，所以AA  AB， 1 1 又ABAC，AA AC A，AA,AC面ACC A ，所以AB面ACC A ， 1 1 1 1 1 1又AC面ACC A ，所以AB AC， 1 1 1 1 又ACAA 2，所以四边形ACC A 是正方形，得到AC  AC ， 1 1 1 1 1 又ABAC  A，AB,AC 面 1 1 数学答案(YZ)-4-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 A B C 1 ，所以 A C1  平面 A B C 1 . （2）如图，建立空间直角坐标系，因为AB1,AC AA 2， 1 则A(0,0,2)，A(0,0,0),B(1,0,2),C (0,2,0)， 1 1 得到AB(1,0,2)，AC (0,2,0)，AC (0,2,2)， 1 1 1 1 直线AC 与平面ABC 所成角为， 1 1 1 设平面ABC 的法向量为nx,y,z， 1 1  nABx2z0 则 1 ，令x2，则z1,y0， nAC 2y0 1 1 所以平面ABC 的法向量为n2,0,1， 1 1 AC n 2 10 1 则sin cosAC,n    ， 1 AC  n 2 2 5 10 1 10 直线AC 与平面ABC 所成角的正弦值为 . 1 1 1 10 17．（1）求导 fx2xlnxx，令 x  e ，则k  f(e)=3e.且 f  e   e 2 . 运用点斜式ye2 3e(xe)，化简得到y3ex2e2. （2）因为 fx2xlnxxx2lnx1， 1  1  令 fxx2lnx10，则x ，又因为x  0, ， fx0， f x单调递减； e  e  1   1  1 x   ,，fx0，f x单调递增；所以 f x的极小值为 f    无极大值．  e   e 2e 1 1 1 （3）令txxlnx1 ，可得txlnx1 ，令mxlnx1 ， x x2 x2 1 2 mx  ，mx0，mx单调递增，m10， x x3 x0,1，mxtx0，tx单调递减； x1,，mxtx0，tx单调递增； 1 所以t(x) t10，所以txxlnx1 t10， min x 1 所以xlnx1 ，即得x2lnx x1，所以 f xx1． x x2 y2 18（1）根据题意双曲线C :  10b3， 2 9 b2 9b2 9b2 4 5 因为ee    ，解得b1， 1 2 3 3 9 x2 双曲线C 的方程为 y21； 1 9 x2 x2 （2）由（1）知，C : y2 1，C : y2 1， 1 9 2 9 设Px,y ,Qx ,y ， 1 1 2 2 已知M1,0，又 PM 2 MQ ， 3x 1 所以x = 1，y = y ， 2 2 2 2 13x  2 1 由点Q在椭圆C 2 上，则   2      1 y   2 =1 ，又点 9  2 1  数学答案(YZ)-5-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 P 为双曲线 C 1 x2 上任意一点，则 1  y2 1， 9 1 x =6 x =3 联立，解得 1 ，或 1 ，所以点P的坐标为 y 1 = 3 y 1 =0  6 ,  3  或  6 , 3  或   3 , 0  ； （3）当P、B重合时， R   ；当 P 、 B 1 1 不重合时，存在实数 ，使得k  k ，理由 2 AP 2 BR 如下， 当P、B重合时，由题意k 0，则 BR k A P  0 ，则 R   ， 当P、B不重合时，k 0，设直线 BR P R 的方程为 x  ty  1 ，Px,y ,Rx ,y ， 1 1 3 3 xty1 由  x2 得  t29  y22ty80，因为双曲线的渐近线方程为y x ，  y2 1 3  9 又直线 P M 交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以 t    3 , 3  ， 2t 8 由韦达定理得，y y  ,y y  ， 1 3 t29 1 3 t29 y y 1 1 k x 3 ty 4 y ty 2 ty y 2y 所以 AP  1  1  1  3  1 3 1 k y y ty 4 y ty y 4y BR 3 3 1 3 1 3 3 x 3 ty 2 3 3 8t  t29 2y 1  8t2y 1  t29   1 ， 8t  2t  16t4y  t29  2 4 y  1 t29 t29 1  1 1 所以存在实数 ，使得k  k . 2 AP 2 BR 1 3 19．（1）依题意， Q PQ 为正三角形，且|QQ |a 0，观察图象得P( a, a)， 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 而点P在曲线y x上，即 a  a ，解得a  ， 1 2 1 2 1 1 3 △QPQ 为正三角形，且|QQ |a 0， 1 2 2 1 2 2 1 3 点P(a  a , a )在曲线y x上， 2 1 2 2 2 2 3 1 8 4 a  a  a ，整理得3a22a  0，解得a  ， 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 4 所以a  ，a  . 1 3 2 3 （2） Q P Q 是正三角形，点Q (S ,0)，|QQ |a 0， n n1 n1 n n n n1 n1 1 3 于是点P (S  a , a )在曲线y x上， n1 n 2 n1 2 n1 3 1 3 1 3 1 则 a  S  a ，即S  a2  a ，当n2时，S  a2 a ， 2 n1 n 2 n1 n 4 n1 2 n1 n1 4 n 2 n 3 1 3 1 两式相减得：a  a2  a ( a2 a )， n 4 n1 2 n1 4 n 2 n 2 整理得(a a )(a a ) (a a )， n1 n n1 n 3 n1 n2 2 则a a  ，而a a  满足上式，因此 n1 n 3 2 1 3 数学答案(YZ)-6-（共6页） 学科网（北京）股份有限公司  n  N  2 ，a a  ， n1 n 3 2 2 2 即数列a 是首项为a  ，公差d  的等差数列，a a (n1)d  n， n 1 3 3 n 1 3 2 所以数列a 的通项公式是a  n. n n 3 3a 2n （3）由（2）知 n  3a 1 2n1 n 3a 3a 3a 2 4 6 2n 所以 1  2  n  3a     2n2， 3a 1 3a 1 3a 1 n1 3 5 7 2n1 1 2 n 2 4 6 2n 令 f n    2n2 3 5 7 2n1 2 4 6 2n 2n2 则 f n1     2n4， 3 5 7 2n1 2n3 f n1 2n2 2n4 2n22n4 4n212n8 所以     1，所以 f n 2n3 2n2 2n32 4n212n9 f (n ) 是递减数列， 4 所以 f n  f 1 ， max 3 3a 3a 3a 4 所以使得不等式 1  2  n  3a 2  一切正整数 3a 1 3a 1 3a 1 n1 3 1 2 n n 都成立， 4 4 则2  ， 3 3 即32440,3220， 因为正实数，所以2.