文档内容
炎德·英才大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（八）
数学
命题人 李群丽 审题人 陈朝阳
注意事顶：
1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．定义差集 ，已知集合 ，则 （
）
A． B． C． D．
2．已知一组数据 的平均数为2，方差为 ，则另一组数据
的平均数、标准差分别为（ ）
A． B． C． D．
3．设复数 满足 这在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
四分之一，即如图所示， ，我们称为极化恒等式、已知在 中， 是
中点， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．16 C． D．8
5．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（ ）
A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多
C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
6．已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ）
A．直线 是函数 图象的对称轴
B． 在区间 上有两个极值点
C． 在区间 上单调递减
D．函数 的图象可由 向左平移 个单位长度得到
7．已知点 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，设线段 的中
点为 ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的
学科网（北京）股份有限公司结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形 为矩形，
与 都是边长为2的等边三角形，若点 都在球
的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线 与圆： ，则下列结论正确的是（
）
A．对 ，直线恒过一定点
B． ，使得直线与圆相切
C．对 ，直线与圆一定相交
D．直线与元相交且直线被圆所截得的最短弦长为
10．已知 满足 ，且 的面积 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． 的周长为
B． 的三个内角 满足关系
C． 的外接圆半径为
D． 的中线 的长为
学科网（北京）股份有限公司11．已知 ．若存在 ，使得 成立，则下列
结论正确的是（ ）
A．函数 在 处的切线与函数 在 处的切线吻合
B．当 时，
C．当 时，
D．若 恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中 的系数为_________。
13．若 ，则 _________。
14．已知数列 的通项公式为 是数列 的前 项和，则 _________。
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤
15．（本小题满分13分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 在 处的切线方程
（2）讨论 在区间 上的最小值．
16．（本小题满分15分）
汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源
项目的支持力度，积极推动新能源汽车业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，
得到下面的统计表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
1 2 3 1 5
年份代码
销量 /万辆 10 12 17 20 26
（1）统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的经验回归方程，并预测该地区
新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号
学科网（北京）股份有限公司为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸
到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠，已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小
李购买此款新能源汽车的价格为 ，求 的分布列与均值．
附： 为经验回归方程， ．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面
为梭 的中点，四棱锥 的体积为 ．
（1）若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ?若存在．求出线
段 的长度；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线 的右顶点 ，它的一条渐近线的倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点（ 作直线 交双曲线 于 两点（不与点 重合），求证： ；
（3）若过双曲线 上一点 作直线与两条渐近线相交，交点为 ，且分别在第一象限和第四象限，若
，求 面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知数列 为有穷正整数数列．若数列 满足如下两个性质，则称数列 为 的 减数列：
学科网（北京）股份有限公司① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有 个．
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在 的6减数列，证明： ；
（3）若存在2024的 减数列，求 的最大值．
炎德·英才大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（八）
数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D A C C A A ACD BC ABC
1．B【解析】因为 ，所以 ，所以 ．故选B．
2．C【解析】因为一组数据 的平均数为2，方差为 ，所以另一组数据
，
的平均数为 ，方差为 ．平均数、标准差分别为 ．故选C．
3．D
4．A【解析】由题设， ．故
选A．
5．C【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；
对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年， ；
2017年， 年，
2019年， 年， ；
2021年， 年， ；
则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法
正确，C说法错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D，由 ，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D
说法正确．综上，说法错误的选项为C．故选C．
6．C【解析】因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 ，
可得 ，结合 ，得 ，所以 ．
对于A， ，所以直线 不是函数 图象的对称轴，故
A不正确；
对于B，当 时， ，所以函数 在区间 上只有一个极
值点，故B不正确；
对于C当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，故C正确；
对于D， 左移 个单位长度后得到 ，故D错误．故选C．
7．A【解析】由题意可得 ．
如图，因为 分别是 和 的中点，所以 ，根据椭圆定义，可
得 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 的面积为 ．故选A．
另法：此题用等腰三角形求高或海伦公式更快捷．
学科网（北京）股份有限公司8．A【解析】如图，根据球的性质可得 平面 ，根据中位线的性质和勾股定理可得
且 ，分类讨论当 在线段 上和 在线段 的延长线上时，由球的性质可
得球半径的平方为 ，再用球的表面积公式计算即可．
如图，连接 ，
设 ，因为四边形 为矩形，所以 为矩形 外接圆的圆心．连接 ，则
平面 ，分别取 的中点 ，
根据几何体 的对称性可知，直线 交 于点 ．
连接 ，则 ，且 为 的中点，
因为 ，所以 ，连接 ，
在 与 ，易知 ，所以梯形 为等腰梯形，所以 ，
且 ．
设 ，球 的半径为 ，连接 ，
当 在线段 上时，由球的性质可知 ，易得 ，
则 ，此时无解．
当 在线段 的延长线上时，由球的性质可知， ，解得 ，
所以 ，所以球 的表面积 ．故选A．
学科网（北京）股份有限公司9．ACD【解析】由题设 ，令
所以直线 恒过定点 ，A对；
又 的标准方程为 ，显然 ，
所以点 在圆 内，故直线与圆必相交，B错，C对；要使直线与圆相交弦长最短，只
需定点 与圆心 的连线与已知直线垂直，此时定点与直线距离为 ，又圆
的半径为2，则最短相交弦长为 ，D对．故选ACD．
10．BC【解析】因为 满足
所以 ，
设 ，
利用余弦定理 ，
由于 ，所以 ．
对于A，因为 ，
所以 ，解得 ．
所以 ，
所以 的周长为 ，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，故 ，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C，由正弦定理得外接圆半径为 ，故C正确；
对于D，如图所示，
在 中，利用正弦定理 ，解得 ，
又 ，所以 ，
在 中，利用余弦定理 ，解得 ，故D不正确．
故选BC．
11．ABC【解析】选项A，由 ，
得 ，又验证知 ，
切线方程都为 ，故A正确；
选项B， ，
则 ，且 ，
由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上递增，
所以当 时， 有唯一解，故 ，
，故B正确；
选项C，由B正确，得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
令 ，解得 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
，故C正确；
选项D，由 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
由 在 上递增，又 ，
存在 ，使 ，
在 上递减，在 上递增（其中 满足 ，即 ）．
，
要使 恒成立， ，存在 满足题意，故D错误．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13． 【解析】依题意， ，解得 ，
故
14． 【解析】因为 ，
学科网（北京）股份有限公司设
所以
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）当 时， ，
所以 时，函数 在 处的切线方程为 ．
（2） ．
当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调递减，
当 时，函数在 上单调递减，故函数的最小值为： ；
当 时，函数在 上单调递增，故函数的最小值为： ；
当 时，函数的最小值为： ．
故
16．【解析】（1）由题意得 ，
．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
所以 关于 的经验回归方程为 ，令 ，得 ，
所以最小的整数为 ，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为 ，
则三次摸到相同编号的概率为 ；
三次中仅有两次摸到相同编号的概率为 ；
70000 80000 90000
故 ．
17．【解析】（1）取 中点 ，连接 分别为 的中点，
底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
，
故四边形 是平行四边形， ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）假设在梭 上存在点 满足题意，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，则 是四棱锥 的高．
设 ，则 ，
∴ ，所以
以点 为原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
故 ．
设 ，
．
设平面 的一个法向量为 ，
则
学科网（北京）股份有限公司取 ．
易知平面 的一个法向量为 ，
故存在点 满足题意．
18．【解析】（1）易知 ，
故双曲线 的方程为 ．
（2）由已知可得，直线 的方程为 ，
联立 ，其中 ，且 时，
则 ，
，
．
（3）由题意可知，若直线 有斜率则斜率不为0，
故设直线 方程为： ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，
点 在双曲线 上， ，
，
③
又
④
联立 ，
⑤， ⑥，
分别在第一象限和第四象限， ，
由④式得： ，
⑦
将⑤⑥代入⑦得： ，
学科网（北京）股份有限公司令
由对勾函数性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增
19．【解析】（1）由题意得 ，则 或 ，
故所有4的1减数列有数列 和数列3，1．
（2）因为对于 ，使得 的正整数对 有 个，
且存在 的6减数列，所以 ，得 ．
①当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以 ．
②当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 ．
若 ，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以 ，不符合题意，所以 ．
③当 时，因为存在 的6减数列，
学科网（北京）股份有限公司所以数列各项中必有不同的项，所以 ．
综上所述，若存在 的6减数列，则 ．
（3）若数列中的每一项都相等，则 ，若 ，所以数列 存在大于1的项，若末项 ，
将 拆分成 个1后 变大，所以此时 不是最大值，
所以 ．当 时，若 ，交换 的顺序后 变为 ，
所以此时 不是最大值，所以 ．若 ，所以 ，
所以将 改为 ，并在数列末尾添加一项1，所以 变大，
所以此时 不是最大值，所以 ．
若数列 中存在相邻的两项 ，设此时 中有 项为2，
将 改为2，并在数列末尾添加一项1后， 的值至少变为 ，
所以此时 不是最大值，所以数列 的各项只能为2或1，所以数列 为 的形式．
设其中有 项为2，有 项为1，
因为存在2024的 减数列，所以 ，
所以 ，
所以，当且仅当 时， 取最大值为512072．
学科网（北京）股份有限公司
