文档内容
雅礼中学 2023 届高三月考试卷（六）
数学
命题人：刘一波 审题人：张鎏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页．时量120
分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数 的实部和虚部相等，则实数 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ，且 ，则实数 =
A. B. 0 C. 3 D.
4. 已知 ，则 是 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在 中， ， ， ，则 的面积为
A. B. C. D.
6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种
7. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，O为坐标原点．以 为
直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以 为直径的圆与直线 相切，若
，则双曲线的焦距等于（ ）
A. B. 6 C. D. 38. 已知m，n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小
值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分．
9. 已知 满足 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，直三棱柱 中， ， ， ，外接球
的球心为 ，点 是侧棱 上的一个动点．下列判断中正确的是
A. 直线 与直线 是异面直线
B. 一定不垂直
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 的最小值为
11. 设函数 在R上存在导函数 ，对任意 的有 ，且在
上 ，若 ，则实数a的可能取值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
12. 已知直线 ，则下列说法正确的是（
）
A. 直线 一定不过原点
B. 存在定点 ，使得点 到直线 的距离为定值
C. 点 到直线 的最小值为D. 若直线 分别与 轴， 轴交于 两点，则 的周长可以等于12
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中， 的系数等于____________．（用数字作答）
14. 点 到抛物线 准线的距离为4，则实数 ____________．
15. 若正整数m满足 则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）
16. 在 中 ， ， 则 的 面 积 最 大 值 为
____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，满足关系
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：当 时，总有 ．
18. 已知函数 ， ．
（1）设 是函数 图象的一条对称轴，求 的值．
（2）求函数 的单调递增区间．
19. 如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，
， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，
并把这种露天种植 的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数 （单位：箱）与成本 （单位：千元）的关系如下：
1 3 4 6 7
5 6.5 7 7.5 8
与 可用回归方程 （其中 为常数）进行模拟．
（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．
（利润=售价-成本）
（2）据统计，1月份 的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直
方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置 辆小货车专门运输农
户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水
果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车
每天平均亏损200元．试比较 和 时，此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设 ，则
0.54 6.8 1.53 0.45
线性回归直线 中， ．
21. 如图，椭圆 和圆 ，已知圆 将椭圆 的
长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的下顶点为E，过坐标原
点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定
点．
22. 已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使不等式
成立，求实数k的取值范围．
