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秘密★启用前
2024-2025（上）8 月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
命题人：陈建骐、林晓萍、刘光辉 校题人：刘梦娜、罗鑫、黄伟
【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N.则P的子集共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√2+√2i
2．已知复数z= ，则|z|=
1−i
√2
A．√2 B． C．2 D．2√2
2
x2 y2
3．椭圆 + =1的焦点的坐标为
5 9
A．(−√14,0)，(√14,0) B．(−2,0)，(2,0)
C．(0，−√14)，(0，√14) D．(0,−2)，(0,2)
4．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，
则不同的放入方法种数为
A．36 B．45 C．72 D．165
5．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是
7√2π 7√3π 7√2π 7√3π
A． B． C． D．
24 24 12 12
6．若函数f (x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−1，则f (0)+f (−1)=
A．−4 B．−3 C．−2 D．
1
7．已知数列{a }满足a = ，a −a +a a =0，则数列 的前100项的和是
n 1 2 n+1 n n n+1
25 50 99 100
A． B． C． D．
51 101 202 101
8．声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函
1
数可近似为f(x)=sinx+ sin2x，则下列叙述正确的是
2
A．x= π 为f (x)的对称轴 B． (3π ,0 ) 为f (x)的对称中心
2 2
C．f (x)在区间[0,10]上有3个零点 [5π 7π]
D．f (x)在区间 , 上单调递增
3 3
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
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学科网（北京）股份有限公司9．给出下列说法，其中正确的是
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据x ,x ,⋯,x 的方差是5，则数据4x −1,4x −1,⋯,4x −1的方差
1 2 n 1 2 n
是20
C．已知一组数据x ,x ,⋯,x 的方差为0，则此组数据的众数唯一
1 2 n
D．已知一组不完全相同的数据x ,x ,⋯,x 的平均数为x ，在这组数据中加入一个数
1 2 n 0
x 后得到一组新数据x ,x ,x ,⋯,x ，其平均数为x，则x=x
0 0 1 2 n 0
10．已知直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，以线段AB
为直径的⊙D与C的准线相切于点P(−2,−1)，则
A．直线l的方程为4x+ y−8=0 (7 )
B．点D的坐标为 ,−1
4
17 D．直线4x+2y+9=0与⊙D相切
C．⊙D的周长为 π
2
lnx
11．已知函数f (x)= ，e是自然对数的底数，则
x
A．2√11<11
B．2ln3π>3lnπ2>3ln2π
C．若xx 1=xx 2，则x +x =2e
2 1 1 2
D．f (x )=f (x )，且x ≠x ，则lnx +lnx >2
1 2 1 2 1 2
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
4
12．若α为锐角，sinα= ，则cos(π+α)= .
5
13．若向量⃗a=(√3,3)，⃗b=(−2,0)，则⃗a在⃗b上的投影向量为 ．
14．在三棱锥D−ABC中，已知AB=BC=2，AC=2√3，DB=4，平面BCD⊥平面
ABC，且DB⊥BC，则以下结论正确的是 （填序号）．
①DB⊥AC ②平面DAB⊥平面ABC
4√3 ④三棱锥D−ABC的外接球的表面积为
③三棱锥D−ABC的体积为
3 32π
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
15．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电
了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
(1)恰有两名同学拿对了书包；
(2)至少有两名同学拿对了书包；
(3)书包都拿错了．
16．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，过点C的直线VC垂直于圆O所在平面，
D,E分别是VA,VC的中点.
求证：
(1)DE//平面ABC；
(2)DE⊥平面VBC.
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学科网（北京）股份有限公司17．已知函数f (x)=ax2−3x+2lnx(a∈R).
1
(1)若a= ，求函数f (x)的极值；
2
(2)若直线y=x−3与曲线y=f (x)相切，求实数a的值.
x2 y2
18．已知双曲线C与双曲线 − =1 有相同的渐近线，且过点A(2√2,−1).
12 3
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且⃗DE·⃗DF=0，DG⊥EF于点
G，证明:存在定点H，使|GH|为定值.
M +m
19．记无穷数列{a }的前n项中最大值为M ，最小值为m ，令b = n n
n n n n 2
（1）若a =2n−3n，请写出b ,b ,b ,b 的值；
n 1 2 3 4
（2）求证:“数列{a }是等差数列”是“数列{b }是等差数列”的充要条件；
n n
（3）若∀n∈N∗,|a |≺2018,|b |=1 ，求证:存在 ，使得∀n≥k，有b =b .
n n n+1 n
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