辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）_2025年6月_250622辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期6月质量监测

秘密★启用前 2024-2025（下）6 月月度质量监测 高 二 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的） 1.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 依据 的独立性检 验，正确的结论为 附： ， 2 ， =8.988. =0.001 A. 变量 与 不(独立 0.01 =6.635 0.005 =7.879 0.001 =10.828) B. 变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量 与 独立 0.001 D. 变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过 2.某校一个课 外学 习小组为研究某作物种子的发芽率 和0.温00度1 单位： 的关系，在 个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据 ∘ 得到下 ( ​ ) 面的散点图： 20 ( , )( =1,2,…,20) 由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类∘型的是 ∘ 1​0 4​0 A. B. C. D. 2 3.已知数 =列 +， ， ，=， + ， ， =， +， 则 是这个 数=列 的+ ln A. 第 3项 5 B7. 第3 项11 … 2 C.+第1 …项 51 D. 第 项 12 13高二数学 第 1 页，共 2114页 254.数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的 2 A. 充 分不必要条件 = + ≥B−. 2必要不 充 分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 根柱子甲、乙、丙，甲柱上 有 个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在 3 下，小的在上 如图 把这 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次 ( ≥ 3) 只能移动一个盘子，甲、乙、丙 根柱子都可以利用，且 根柱子上的盘子始终保持小 ( ). 的盘子不能放在大的盘子之下．设游戏结束需要移动的最少次数为 ，则当 时， 3 3 和 满足的关系式是 ≥ 3 +1 A. B. C. +1 =4 −3 D. +1 =4 −1 +1 =2 +1 +1 =2 + 6.若函数 ，则函数 的单调递减区间为 1 2 =2 −2 −3ln A. B. C. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. −1,3 (0,3) 3,+∞ 7.设函数 ，若关于 的方程 恰好有 ln , ⩾1 2 = 3 [ ( )] + ( )−1− =0 个不相等的实数解，则实数 的取值范围是 − −1 , <1 4 A. B. C. D. 1 1 1 1 −1, − −1− ,−1 1, +1 0, 18.若 ，函数 有两个极值点 ， ，则 1 2 2 的最 大∈值 为 ( )= 2 − + ln 1 2( 1 < 2) 1 2+ 2 A. B. C. D. 2 4 6 8 27 27 27 27 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 高二数学 第 2 页，共 11 页9.已知由样本数据点 ， ， ， 求得的回归直线方程为 ， 且 ，现发现两个数据点 和 的误差较大，剔除后重新求得的回归直 ( 1, 1) ( 2, 2) ⋯ ( , ) =1.5 +0.5 线的斜率为 ，则 =3 (1.3,2.1) (4.7,7.9) A. 变量1.和2 具有负相关关系 B. 剔除后 不变 C. 剔除后的回归直线方程为 D. 剔除后对应于样本数据点 的残差为 =1.2 +1.4 (2,3.75) 0.05 10.已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则 1 { } 1 =3 +1 =1− { } A. B. 3 1 2 = 2 3 +1− 3 =−2 C. D. +1 +2 =−1 19 =22 11.已知函数 ， ，则以下结论不正确的是 2 −1 ( ) 2 ( )= +1 ( )= A. 1 1 2025 2024 ⋅…⋅ (1)⋅ (2)⋅…⋅ (2025)= 1 B. 1 1 C. 若2025 2024 ⋅…，⋅且 (1)⋅ ，(2则)⋅…⋅ (2025)= 1 D. 若 ，且 ，则 '( )= '( ) ≠ =1 '( ) ( )= '( ) ( ) ≠ =1 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ． 13.给 出 下列命题： 1 =−2, 2+ 6 =2 10 = 实验测得四组数据 的值为 ， ， ， ，则 与 的回归 直线方程为 ① ( , ) (1,2.1) (2,2.8) (3,4.1) (4,5) =2 +1; 函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ②的图象 ( )= 2 (3 −4) 4 ( )= 2 3 ; 当 时，函数 的最大值为 1 2 ③ ∈ [0,1] = 1− 2; 幂函数 的图象经过点 ，则它在 点处的切线方程为 其中④正确命题的 序 号是 4,2 −4 +4 = 0. 高二数学 第 3 页，共 11 页 .14.对函数 做如下操作：先在 轴找初始点 ，然后作 在点 处的切 线，切线与 轴交于点 ，再作 在点 处的切 ( )= 3 1( 1,0) ( ) 线，切线与 轴交于点 ，再作 在点 处的切线，依次类推现已知 1( 1, ( 1)) 2( 2,0) ( ) 2( 2, ( 2)) 初始点为 ，若按上述过程操作，则 ，所得 的面积 3( 3,0) ( ) 3( 3, ( 3)) . 为 用含有 的代数式表示 1(0,0) 3 = △ +1 四、解答题（本.(大题共 5小题，共 77)分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 15．某学生兴趣小组随机调查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼 的人次，整理数据得到下表 单位：天 ： 100 ( ) 锻 炼人次 空气质量等级 [0,200] (200,400] (400,600] 优 1(良) 2 16 25 轻2度( 污)染 5 10 12 3(中度污染) 6 7 8 分别估计该市一天的4(空气质量等) 级为 ， ， ，7 的概率2； 0 (1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估1计2值 3同一4组中的数据用该组区间的中点值 为代表 ； (2) ( 若某)天的空气质量等级为 或 ，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 或 ，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列 (3) 1 2 联表，判断是否有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有 3 4 . 2×2 关？ 95% 人次 人次 空气质量好 ≤ 400 >400 空气质量不好 附： ， 2 2 ( − ) = ( + )( + )( + )( + ) 2 ( 0.0500.0100.001 ≥ ) 高二数学 第 4 页，共 11 页3.8416.63510.828 16．已知数列 的首项 ，且满足 ． 3 3 1 = 5 +1 = 2 +1 求证：数列 为等比数列； 1 (1) −1 若 ，求满足条件的最大整数 。 1 1 1 1 (2) 1+ 2+ 3+...+ <100 17．已知 是函数 的一个极值点． 2 求实数 =的3值 ( )= ln(1+ )+ −10 (1)求函数 的;单调区间 (2)若直线 ( ) 与函数 ; 的图象有 个交点，求实数 的取值范围． (3) = = ( ) 3 18．已知数列 ， ， 满足 ， ， ．{ } { } { } 1 = 1 = 1 =1 +1 = +1− +1 = +2⋅ 若 为等比数列，公比 ，且 ，求 的值及数列 的通项公式； ( ∈ ∗) (1) { } >0 1+ 2 =6 3 { } 高二数学 第 5 页，共 11 页若 为等差数列，公差 ，证明： ， ． 1 (2) { } >0 1+ 2+ 3+…+ <1+ ∈ ∗ 19．在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线 ： ， 定义 为曲线 在点 处的曲率，其中 为 的导 函数 =， ( ) | '' ( )| ' '' = ' 2 3 2 ( , ( )) ( ) ( ) ( ) 为 的[导1+函 (数 )．]已知曲线 ： ． ' 2 ( ) ( )= (3− ) − 2 ( ∈ ) 当 时，求曲线 在点 处的曲率； (1)已 知曲=线0 在不同的两 点 (0, (0))， 处的曲率均为 ． (2)求实数 的 取值范围； ( 1, ( 1)) ( 2, ( 2)) 0 ① 证明： ． 1 ② 1+ 2 < (1− ) 高二数学 第 6 页，共 11 页2024-2025（下）6 月月度质量监测 高 二 数 学 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D A C C B B BC CD ACD 12.25 13. ③④ ； 2 log9e n−1 14.−ln3 e 15. 解： 空气质量等级为 的概率为 2+16+25 43 (1) 1 = 100 = 100; 空气质量等级为 的概率为 5+10+12 27 2 = 100 = 100; 空气质量等级为 的概率为 6+7+8 21 3 = 100 = 100; 空气质量等级为 的概率为 7+2 9 4 = 100 = 100; 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为 (2) ； 2+5+6+7 16+10+7+2 25+12+8 100× 100 +300× 100 +500× 100 =350 (3) 人次 人次 空气质量好 ≤400 >400 空气质量不好 33 37 22 ， 8 2 2 100(33×8−22×37) 有 = (33的+2把2)(握33+认37为)(2一2+天8)(中37到+8)该≈公5园.82锻>炼3的.8人41次与该市当天的空气质量有关． 95% 16. 证明： ， 3 (1)∵ +1 = 2 +1 ， 1 2 1 ∴ +1 =3+3 高二数学答案 第 7 页，共 11 页， 1 1 1 ∴ +1−1= 3( −1) ， 3 ∵ 1 = 5 ， 1 2 ∴ 1−1= 3 为以 为首项，以 为公比的等比数列； 1 2 1 ∴ { −1} 3 3 由 知 ， 1 2 1 −1 (2) (1) −1= 3×(3) ， 1 1 ∴ =2×(3) +1 1 1 1 1 1 1 ∴ = + +…+ = +2×( + 2+…+ ) 1 2 3 3 3 ， 1 1 3−3 +1 1 1 = +2× ， 1−3 = +1−3 ∵ <100 ， 1 ∴ = +1−3 <100 因为函数 单调递增， 1 最大整数 =为 +．1−3 ∴ 99 17. 解： 因为 ， (1) ' = 1+ +2 −10 所以 ， 因此 ' 3 =，4+6−10= 0 则 =16 ， ， ， 2 2 2 −4 +3 2 −1 −3 可得 ( )=在16 (1+两 边)+异 号−，1即0 ∈是(函−数1,+∞) ' = 1+ = 的 1+ 一 个极值 点， 2 '( ) =3 =3 ( )= 16ln(1+ )+ −10 故 ． 由=16知， ， ， 2 −1 −3 (当2) (1) ' = 1时+ ， ∈ (−，1,+∞) 当 时， ， ∈ (−1,1)∪(3,+∞) '( )> 0 所以 的单调增区间是 ， ， 的单调减区间是 ； ∈ (1,3) '( )< 0 由 知， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 上单调递增， ( ) (−1,1) (3,+∞) ( ) (1,3) 且当 或 时， ， (3) (2) ( ) (−1,1) (1,3) (3,+∞) 所以 的极大值为 ，极小值为 ． =1 =3 '( )= 0 因为 ， ， ( ) (1)= 16 2−9 (3)= 32 2−21 2 高二数学答案 第 8 页，共−121 页 (16)> 16 −10×16> 16 2−9= (1) ( −1)<−32+11=−21< (3)所以要使直线 与函数 的图象有 个交点， 则在 的三个单调区间 ， ， 内，直线 与 的图象各有 = = ( ) 3 一个交点， ( ) (−1,1) (1,3) (3,+∞) = = ( ) 当且仅当 ， 因此， 的取值范围为 ． (3)< < (1) 18. 解 ：由题意， (32 ，2−21,16， 2−9) ， ， 2 (1) 2 = 3 = 整理，得 ， 2 ∵ 1+ 2 =6 3 ∴ 1+ =6 2 解得 6 舍−去 −，1或= 0 ， 1 1 =−3( ) =2 ， 1 1 1 ∴数 列 +1 = 是 +2以⋅ 为=首 + 项 2 ，⋅ =为 公 2 ⋅比 的=等( 1 2比) 2 数⋅ 列 =，4⋅ ， ． ∴ { } 1 4 −1 −1 ， ∴ =1⋅4 = 4 ∈ ∗ 则 ， ∴ +1− = +1 = 4 ， 1 =1 1， 2− 1 =4 2 3− 2 =4 ， ， …… 各项相加，可得 −1 ， 时， − −1 = 4 ( ⩾2, ∈ ∗) ⩾2 ∈ ∗ ， 1 2 −1 1−4 4 −1 当 =1+时4代+入4适+合…，+4 = 1−4 = 3 =1 ． 4 −1 ∴ = 3 证明：依题意，由 ，可得 (2) ， +1 = +2⋅ ( ∈ ∗) 两边同时乘以 ，可得 +2⋅ +1 = ⋅ ， +1 ， +1 +2 +1 = +1 数列 是一个常数列，且此常数为 ， ∵ 1 2 1 = 2 =1+ ， ∴ { +1 } 1+ +1 =1+ ， 1+ 1+ 1 +1− 1 1 1 ∴ = +1 = ⋅ +1 =(1+ )⋅ +1 =(1+ )( − +1) ∴ 1+ 2+…+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(1+ )( − )+(1+ )( − )+…+(1+ )( − ) 1 2 2 3 +1 高二数学答案 第 9 页，共 11 页1 1 1 1 1 1 1 =(1+ )( − + − +…+ − ) 1 2 2 3 +1 1 1 1 =(1+ )( − ) 1 +1 1 1 =(1+ )(1− ) ， +1 1 <1+ ，故得证． 1 ∴ 1+ 2+…+ <1+ 19. 解： 当 时， ， ， ' '' 所以 (1) ， =0 ，( )= (2− ) ( )= (1− ) ' '' (0)= 2 (0)= 1 故曲线 在点 处的曲率 ， 1 5 3 (0, (0)) = 2 2 = 25 (1+2 ) ，由题意可知， ， '' '' '' (则2)方 程( )= (1− ) 有−两 个根 ， ， ( 1)= ( 2)= 0 设 (1− ) =， 则 1 2， ' 当 ( )= (1− 时) ， ( )，=−当 时， ， ' ' 所以 ∈ (−在∞,0) 上( 单)调>递0增， 在∈ (0,+∞上) 单调 递( 减)<．0 又 ( ) 时(，−∞,0) ， ，(0且,+∞) ， 由→题−可∞知，直 (线 ) →0 与 函(1数)= 0 的图 (象 )有ma两x =个 不(同0)的=交1点， ①所以 ， = ( ) 故实数0<的 取<值1范围为 ． 证明 ：由上可知， (0,1) ，不妨设 ． ②下面证明：当 0，< <1 ， 1 <0 < 2 <1 设 ∈ (0,1) ( )<− +， 则 ， ' 令ℎ( )= (1− ) + − , ∈ (0,1) ，则ℎ( )=− + ，所以 在 上单调递减'， ' ( )= ℎ( )=− + (0< <1) ( )=−( +1) <0 ( ) (0,1) 则 ，所以 在 上单调递增，且 ， ' ' 即ℎ( )> ℎ(1)= 0 ，ℎ故( ) (0,1)， ℎ(． )< ℎ(1)= 0 (1− ) + − <0 ∈ (0,1) ( )<− + 设点 在直线 上，则 ，即 ， 3, =− +高 二数学答 案=第− 1 0 3 页+， 共 11 页 3 =1− 所以 ， − 2+ > ( 2)= =− 3+ 即 ， 2 < 3 =1− 要证 ，需证 ， 1 1 1+ 2 < (1− ) 1+ 2 < 1+(1− )< (1− ) 需证 ， 又 1 < −1 ，只需证 ，即证 ． 1 1 1 (1− 1) − =0 1 <(1− 1) −1 (1− 1) − 1−1> 0( 1 < 0令) ，则 ， ' 令 ( )= (1− ) − −1，>则0( <0) ( )=，− −1 ' 当 ( )=−时 ， −1( <，0) 单 调( )递=增−，( 当+1) 时， ， 单调递减， ' ' <−1 ( )> 0 ( ) −1< <0 ( )< 0 ( ) 所以 ，即 ， 1 ' ( )⩽ (−1)= −1< 0 ( )< 0 所以 在 上单调递减，所以 成立， ( ) (−∞,0) ( )> (0)= 0 故 ． 1 1+ 2 < (1− ) 高二数学答案 第 11 页，共 11 页2024-2025（下）6月月度质量监测 高 二 数 学 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 留痕迹。 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 4．在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 多选题 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. ； 解答题 15. 第1页 共4页16. 17. 第2页 共4页18. 第3页 共4页19. 第4页 共4页