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2024-2025（下）6 月月度质量监测
高 二 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的）
1.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 依据 的独立性检
验，正确的结论为 附： ， 2 ，
=8.988. =0.001
A. 变量 与 不(独立 0.01 =6.635 0.005 =7.879 0.001 =10.828)
B. 变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量 与 独立
0.001
D. 变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过
2.某校一个课 外学 习小组为研究某作物种子的发芽率 和0.温00度1 单位： 的关系，在
个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据 ∘ 得到下
( )
面的散点图：
20 ( , )( =1,2,…,20)
由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
和温度 的回归方程类∘型的是 ∘
10 40
A. B. C. D.
2
3.已知数 =列 +， ， ，=， + ， ， =， +， 则 是这个 数=列 的+ ln
A. 第 3项 5 B7. 第3 项11 … 2 C.+第1 …项 51 D. 第 项
12 13高二数学 第 1 页，共 2114页 254.数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的
2
A. 充 分不必要条件 = + ≥B−. 2必要不 充 分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 根柱子甲、乙、丙，甲柱上
有 个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在
3
下，小的在上 如图 把这 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次
( ≥ 3)
只能移动一个盘子，甲、乙、丙 根柱子都可以利用，且 根柱子上的盘子始终保持小
( ).
的盘子不能放在大的盘子之下．设游戏结束需要移动的最少次数为 ，则当 时，
3 3
和 满足的关系式是
≥ 3
+1
A. B.
C. +1 =4 −3 D. +1 =4 −1
+1 =2 +1 +1 =2 +
6.若函数 ，则函数 的单调递减区间为
1 2
=2 −2 −3ln
A. B.
C. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. −1,3
(0,3) 3,+∞
7.设函数 ，若关于 的方程 恰好有
ln
, ⩾1 2
= 3 [ ( )] + ( )−1− =0
个不相等的实数解，则实数 的取值范围是
− −1 , <1
4
A. B. C. D.
1 1 1 1
−1, − −1− ,−1 1, +1 0,
18.若 ，函数 有两个极值点 ， ，则
1 2 2
的最 大∈值 为 ( )= 2 − + ln 1 2( 1 < 2) 1 2+ 2
A. B. C. D.
2 4 6 8
27 27 27 27
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
高二数学 第 2 页，共 11 页9.已知由样本数据点 ， ， ， 求得的回归直线方程为 ，
且 ，现发现两个数据点 和 的误差较大，剔除后重新求得的回归直
( 1, 1) ( 2, 2) ⋯ ( , ) =1.5 +0.5
线的斜率为 ，则
=3 (1.3,2.1) (4.7,7.9)
A. 变量1.和2 具有负相关关系
B. 剔除后 不变
C. 剔除后的回归直线方程为
D. 剔除后对应于样本数据点 的残差为
=1.2 +1.4
(2,3.75) 0.05
10.已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则
1
{ } 1 =3 +1 =1− { }
A. B.
3 1
2 = 2 3 +1− 3 =−2
C. D.
+1 +2 =−1 19 =22
11.已知函数 ， ，则以下结论不正确的是
2
−1 ( )
2
( )= +1 ( )=
A.
1 1
2025 2024 ⋅…⋅ (1)⋅ (2)⋅…⋅ (2025)= 1
B.
1 1
C. 若2025 2024 ⋅…，⋅且 (1)⋅ ，(2则)⋅…⋅ (2025)= 1
D. 若 ，且 ，则
'( )= '( ) ≠ =1
'( ) ( )= '( ) ( ) ≠ =1
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ．
13.给 出 下列命题： 1 =−2, 2+ 6 =2 10 =
实验测得四组数据 的值为 ， ， ， ，则 与 的回归
直线方程为
① ( , ) (1,2.1) (2,2.8) (3,4.1) (4,5)
=2 +1;
函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
②的图象 ( )= 2 (3 −4) 4 ( )= 2 3
;
当 时，函数 的最大值为
1
2
③ ∈ [0,1] = 1− 2;
幂函数 的图象经过点 ，则它在 点处的切线方程为
其中④正确命题的 序 号是 4,2 −4 +4 = 0.
高二数学 第 3 页，共 11 页
.14.对函数 做如下操作：先在 轴找初始点 ，然后作 在点
处的切 线，切线与 轴交于点 ，再作 在点 处的切
( )= 3 1( 1,0) ( )
线，切线与 轴交于点 ，再作 在点 处的切线，依次类推现已知
1( 1, ( 1)) 2( 2,0) ( ) 2( 2, ( 2))
初始点为 ，若按上述过程操作，则 ，所得 的面积
3( 3,0) ( ) 3( 3, ( 3)) .
为 用含有 的代数式表示
1(0,0) 3 = △ +1
四、解答题（本.(大题共 5小题，共 77)分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
15．某学生兴趣小组随机调查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼
的人次，整理数据得到下表 单位：天 ：
100
( ) 锻
炼人次
空气质量等级
[0,200] (200,400] (400,600]
优
1(良) 2 16 25
轻2度( 污)染 5 10 12
3(中度污染) 6 7 8
分别估计该市一天的4(空气质量等) 级为 ， ， ，7 的概率2； 0
(1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估1计2值 3同一4组中的数据用该组区间的中点值
为代表 ；
(2) (
若某)天的空气质量等级为 或 ，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为
或 ，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列
(3) 1 2
联表，判断是否有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有
3 4 . 2×2
关？
95%
人次 人次
空气质量好 ≤ 400 >400
空气质量不好
附： ，
2
2 ( − )
= ( + )( + )( + )( + )
2
(
0.0500.0100.001
≥ )
高二数学 第 4 页，共 11 页3.8416.63510.828
16．已知数列 的首项 ，且满足 ．
3 3
1 = 5 +1 = 2 +1
求证：数列 为等比数列；
1
(1) −1
若 ，求满足条件的最大整数 。
1 1 1 1
(2) 1+ 2+ 3+...+ <100
17．已知 是函数 的一个极值点．
2
求实数 =的3值 ( )= ln(1+ )+ −10
(1)求函数 的;单调区间
(2)若直线 ( ) 与函数 ; 的图象有 个交点，求实数 的取值范围．
(3) = = ( ) 3
18．已知数列 ， ， 满足 ， ，
．{ } { } { } 1 = 1 = 1 =1 +1 = +1− +1 = +2⋅
若 为等比数列，公比 ，且 ，求 的值及数列 的通项公式；
( ∈ ∗)
(1) { } >0 1+ 2 =6 3 { }
高二数学 第 5 页，共 11 页若 为等差数列，公差 ，证明： ， ．
1
(2) { } >0 1+ 2+ 3+…+ <1+ ∈ ∗
19．在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线 ： ，
定义 为曲线 在点 处的曲率，其中 为 的导 函数 =， ( )
| '' ( )| ' ''
= ' 2 3 2 ( , ( )) ( ) ( ) ( )
为 的[导1+函 (数 )．]已知曲线 ： ．
' 2
( ) ( )= (3− ) − 2 ( ∈ )
当 时，求曲线 在点 处的曲率；
(1)已 知曲=线0 在不同的两 点 (0, (0))， 处的曲率均为 ．
(2)求实数 的 取值范围； ( 1, ( 1)) ( 2, ( 2)) 0
①
证明： ．
1
② 1+ 2 < (1− )
高二数学 第 6 页，共 11 页2024-2025（下）6 月月度质量监测
高 二 数 学 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C C B B BC CD ACD
12.25
13.
③④
；
2 log9e
n−1
14.−ln3 e
15.
解： 空气质量等级为 的概率为
2+16+25 43
(1) 1 = 100 = 100;
空气质量等级为 的概率为
5+10+12 27
2 = 100 = 100;
空气质量等级为 的概率为
6+7+8 21
3 = 100 = 100;
空气质量等级为 的概率为
7+2 9
4 = 100 = 100;
一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
(2) ；
2+5+6+7 16+10+7+2 25+12+8
100× 100 +300× 100 +500× 100 =350
(3)
人次 人次
空气质量好 ≤400 >400
空气质量不好
33 37
22 ， 8
2
2 100(33×8−22×37)
有 = (33的+2把2)(握33+认37为)(2一2+天8)(中37到+8)该≈公5园.82锻>炼3的.8人41次与该市当天的空气质量有关．
95%
16. 证明： ，
3
(1)∵ +1 = 2 +1
，
1 2 1
∴ +1 =3+3 高二数学答案 第 7 页，共 11 页，
1 1 1
∴ +1−1= 3( −1)
，
3
∵ 1 = 5
，
1 2
∴ 1−1= 3
为以 为首项，以 为公比的等比数列；
1 2 1
∴ { −1} 3 3
由 知 ，
1 2 1 −1
(2) (1) −1= 3×(3)
，
1 1
∴ =2×(3) +1
1 1 1 1 1 1
∴ = + +…+ = +2×( + 2+…+ )
1 2 3 3 3
，
1 1
3−3 +1 1
1
= +2×
，
1−3 = +1−3
∵ <100 ，
1
∴ = +1−3 <100
因为函数 单调递增，
1
最大整数 =为 +．1−3
∴ 99
17. 解： 因为 ，
(1) ' = 1+ +2 −10
所以 ，
因此 ' 3 =，4+6−10= 0
则 =16 ， ， ，
2
2 2 −4 +3 2 −1 −3
可得 ( )=在16 (1+两 边)+异 号−，1即0 ∈是(函−数1,+∞) ' = 1+ = 的 1+ 一 个极值
点， 2
'( ) =3 =3 ( )= 16ln(1+ )+ −10
故 ．
由=16知， ， ，
2 −1 −3
(当2) (1) ' = 1时+ ， ∈ (−，1,+∞)
当 时， ，
∈ (−1,1)∪(3,+∞) '( )> 0
所以 的单调增区间是 ， ， 的单调减区间是 ；
∈ (1,3) '( )< 0
由 知， 在 内单调递增，在 内单调递减，在 上单调递增，
( ) (−1,1) (3,+∞) ( ) (1,3)
且当 或 时， ，
(3) (2) ( ) (−1,1) (1,3) (3,+∞)
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
=1 =3 '( )= 0
因为 ， ，
( ) (1)= 16 2−9 (3)= 32 2−21
2 高二数学答案 第 8 页，共−121 页
(16)> 16 −10×16> 16 2−9= (1) ( −1)<−32+11=−21< (3)所以要使直线 与函数 的图象有 个交点，
则在 的三个单调区间 ， ， 内，直线 与 的图象各有
= = ( ) 3
一个交点，
( ) (−1,1) (1,3) (3,+∞) = = ( )
当且仅当 ，
因此， 的取值范围为 ．
(3)< < (1)
18. 解 ：由题意， (32 ，2−21,16， 2−9)
， ， 2
(1) 2 = 3 =
整理，得 ， 2
∵ 1+ 2 =6 3 ∴ 1+ =6
2
解得 6 舍−去 −，1或= 0 ，
1 1
=−3( ) =2 ，
1 1 1
∴数 列 +1 = 是 +2以⋅ 为=首 + 项 2 ，⋅ =为 公 2 ⋅比 的=等( 1 2比) 2 数⋅ 列 =，4⋅
， ．
∴ { } 1 4
−1 −1 ，
∴ =1⋅4 = 4 ∈ ∗
则 ，
∴ +1− = +1 = 4
，
1 =1
1，
2− 1 =4
2
3− 2 =4
， ，
……
各项相加，可得 −1 ， 时，
− −1 = 4 ( ⩾2, ∈ ∗)
⩾2 ∈ ∗ ，
1 2 −1 1−4 4 −1
当 =1+时4代+入4适+合…，+4 = 1−4 = 3
=1 ．
4 −1
∴ = 3
证明：依题意，由 ，可得
(2) ， +1 = +2⋅ ( ∈ ∗)
两边同时乘以 ，可得
+2⋅ +1 = ⋅
，
+1
，
+1 +2 +1 = +1
数列 是一个常数列，且此常数为 ，
∵ 1 2 1 = 2 =1+
，
∴ { +1 } 1+
+1 =1+ ，
1+ 1+ 1 +1− 1 1 1
∴ = +1 = ⋅ +1 =(1+ )⋅ +1 =(1+ )( − +1)
∴ 1+ 2+…+
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=(1+ )( − )+(1+ )( − )+…+(1+ )( − )
1 2 2 3 +1
高二数学答案 第 9 页，共 11 页1 1 1 1 1 1 1
=(1+ )( − + − +…+ − )
1 2 2 3 +1
1 1 1
=(1+ )( − )
1 +1
1 1
=(1+ )(1− )
， +1
1
<1+
，故得证．
1
∴ 1+ 2+…+ <1+
19. 解： 当 时， ， ，
' ''
所以 (1) ， =0 ，( )= (2− ) ( )= (1− )
' ''
(0)= 2 (0)= 1
故曲线 在点 处的曲率 ，
1 5
3
(0, (0)) = 2 2 = 25
(1+2 )
，由题意可知， ，
'' '' ''
(则2)方 程( )= (1− ) 有−两 个根 ， ， ( 1)= ( 2)= 0
设 (1− ) =， 则 1 2，
'
当 ( )= (1− 时) ， ( )，=−当 时， ，
' '
所以 ∈ (−在∞,0) 上( 单)调>递0增， 在∈ (0,+∞上) 单调 递( 减)<．0
又 ( ) 时(，−∞,0) ， ，(0且,+∞) ，
由→题−可∞知，直 (线 ) →0 与 函(1数)= 0 的图 (象 )有ma两x =个 不(同0)的=交1点，
①所以 ， = ( )
故实数0<的 取<值1范围为 ．
证明 ：由上可知， (0,1) ，不妨设 ．
②下面证明：当 0，< <1 ， 1 <0 < 2 <1
设 ∈ (0,1) ( )<− +， 则 ，
'
令ℎ( )= (1− ) + − , ∈ (0,1) ，则ℎ( )=− + ，所以 在
上单调递减'， '
( )= ℎ( )=− + (0< <1) ( )=−( +1) <0 ( ) (0,1)
则 ，所以 在 上单调递增，且 ，
' '
即ℎ( )> ℎ(1)= 0 ，ℎ故( ) (0,1)， ℎ(． )< ℎ(1)= 0
(1− ) + − <0 ∈ (0,1) ( )<− +
设点 在直线 上，则 ，即 ，
3, =− +高 二数学答 案=第− 1 0 3 页+， 共 11 页 3 =1− 所以 ，
− 2+ > ( 2)= =− 3+
即 ，
2 < 3 =1−
要证 ，需证 ，
1 1
1+ 2 < (1− ) 1+ 2 < 1+(1− )< (1− )
需证 ，
又 1 < −1 ，只需证 ，即证
． 1 1 1
(1− 1) − =0 1 <(1− 1) −1 (1− 1) − 1−1> 0( 1 <
0令) ，则 ，
'
令 ( )= (1− ) − −1，>则0( <0) ( )=，− −1
'
当 ( )=−时 ， −1( <，0) 单 调( )递=增−，( 当+1) 时， ， 单调递减，
' '
<−1 ( )> 0 ( ) −1< <0 ( )< 0 ( )
所以 ，即 ，
1 '
( )⩽ (−1)= −1< 0 ( )< 0
所以 在 上单调递减，所以 成立，
( ) (−∞,0) ( )> (0)= 0
故 ．
1
1+ 2 < (1− )
高二数学答案 第 11 页，共 11 页2024-2025（下）6月月度质量监测
高 二 数 学
姓名： 班级：
考场/座位号：
贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不
（正面朝上，切勿贴出虚线方框）
留痕迹。
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记
4．在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
单选题
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
多选题
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
填空题
12.
13.
14. ；
解答题
15.
第1页 共4页16.
17.
第2页 共4页18.
第3页 共4页19.
第4页 共4页
