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高 二 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
1. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. 是向量 的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量 的概念逐项判断即可.
【详解】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，
所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题；
选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，
两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题；
选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题；
选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题；
故选：D
2. 四面体 中， ， ， ，且 ， ，则 等于（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
3. 已知向量 与 共线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示和模的公式进行计算即可.
【详解】由题意知， ，
又因为 ，所以 ，
解得 ，所以
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
4. 已知空间三点 ， ， 共线，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量共线定理列出方程组，求解即得.
【详解】由 ， ， 可得 ，
因 三点共线，故存在 ，满足 ，即 ，
则有 ，解得 .
故选：A.
5. 设 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 与 相交
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理，通过分析每个选项中所
给条件，判断直线与平面、平面与平面的位置关系是否成立.
【详解】对于 ，已知 , 根据面面平行的性质，直线 可能与平面 平行，也可能在平面
内，所以不能得出 ,故选项A错误；
对于 ，已知 ，此时直线 与 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故选项B错
误；
对于 ，已知 ，则直线 所在的方向向量即分别为平面 的法向量，
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学科网（北京）股份有限公司两法向量垂直，则两面垂直，故选项C正确；
对于 ，已知 ，根据线面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，所以 ,故选项D错误.
故选： .
6. 如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点B和点D到平面 的
距离均为 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理，得到 E，A，F三点共线，根据三角关系，
得到 ， ， 到平面 的距离，进而得直线 与平面 的夹角正弦值，求出平面 与平面
的夹角的余弦值.
【详解】点B和点D到平面 的距离相等，故 平面 ，
而 为平面 法向量，故平面 平面 ，
分别过C， 作平面 的垂线，垂足为E，F，如图，则E，A，F三点共线，
由 ，且 与 中点重合可知 ．
因此 ， ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司进而由 易知点 到平面 的距离为 ，
又因为 与 中点重合，且 平面 ，
因此点 到平面 的距离为 ，而点 到平面 的距离为 ，
且 ，故直线 与平面 的夹角正弦值为 ，
易知直线 与平面 垂直，故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
故选：A
【点睛】
7. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，
求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在 中， 若三个内角均小于 ， 则
当点 满足 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称
为费马点.根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点 到 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解.
【详解】 ， ， 和 是平面内两个互相垂直的向量，
不妨设 ， ， ，
则 ，表示点 到点 的距离，
，表示点 到点 的距离，
，表示点 到点 的距离，
表示点 到 ， ， 三点的距离之和，
由费马点 的性质可知，当 时，点 到三角形三个顶点的距离之和
最小，
点 ， 关于 轴对称， 点 在 轴上，如图，
在 中， ，又 ，
，解得 ，故点 的坐标为 ，
， ， ，
此时， ，
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学科网（北京）股份有限公司的最小值是 .
故选：A.
8. 在平面直角坐标系中，定义： ，其中 ， .若 ，
且 ，则下列结论错误 是的（ ）
A. 若 关于x轴对称，则
B. 若 关于直线 对称，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定定义，结合对称点的特征，指数函数的单调性即可判断 A，B，通过举反例判断C，利
用子集的性质结合给定条件判断D即可.
【详解】对于A，因 关于x轴对称，且 ， ，则 ，
于是， ，
同理， ，即 ，故A正确；
对于B，因 关于直线 对称，且 ， ，则 ，
则 ，
同理， .
取函数 ，显然该函数在 上为增函数，由 ，且 ，可得 ，则有 ，
因 ，故有 ，即 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，因 ， ，
由 可得： ，则有 ，
若取 ，满足上式，但此时， ， ，
则 ，由上分析， ，故 ，故C错误；
对于D，设点 ，则 ，即 ，
而 ，因 ，故得 ，
即点 ，即得 ，故D正确.
故选：C.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，已知四面体 ，点 分别是 的中点，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解.
【详解】A：因为 ，故A正确；
B：因为 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司C：因为 ，故C正确；
D:因为 ，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知点 ， ，且点 在直线 上，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 存在点 ，使得 D. 存在点 ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，将 代入，化简得到 ，得到最小值；B选项，
求出 关于直线的对称点 ，最小值为 ；C选项，结合 ，得到
，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离
公式和 得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确.
【详解】A选项，点 在直线 ，故 ，
故 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，A正确；
B选项，设 关于 的对称点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
所以 ，连接 ，与 相交于点 ，
此时 取得最小值，最小值 为 ，B正确；
C选项， ，
又 ，故 ，
令 得 ，即 ，
由于 ，方程无解，故不存在点 ，使得 ，C错误；
D选项，由 得 ，
平方化简得 ，
又 ，故 ，
即 ， ，方程有解，
故存在点 ，使得 ，D正确.
故选：ABD
11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数
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学科网（北京）股份有限公司字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点 ， 距离之积等于
的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当 时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是
（ ）
A. 点P的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是
C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可.
【详解】设 是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得： ，
当 时，曲线的方程为 ，
对于A：整理可得： ，则 ，
可得 ，解得 ，故A错误；
对于B， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即曲线上任意一点到坐标原点 的距离的最大值为 ，故B正确；
对于C： ，令 ，则 ，
所以 ，
所以当 时， ，所以 面积的最大值为 ，故C正确；
对于D： ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，
，
所以 ，
所以 的取值范围是 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用双纽线的定义求得曲线方程是关键，进而利用不等式求得最值.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12. 设平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，则点 到平面 的距离
____________
【答案】
【解析】
【分析】根据空间点到平面的距离的定义即可求解.
【详解】过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，
则 是直线 的方向向量，也即平面 的法向量，
则点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影长，即向量 的长度，也即 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司13. 设点 和 ，在直线 ： 上找一点 ，使 取到最小值，则这个最
小值为__________
【答案】
【解析】
【分析】求出点 关于直线 ： 的对称点为 ，连结 ，则 交直线 于点 ，点 即为
所求的点，此时 ， .
【详解】解：
设点 关于直线 ： 的对称点为
线段 的中点 在 上
则
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司解 得，
故答案为：
【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，
属于中档题.
14. 是等腰直角三角形，∠A＝90°， ，点D满足 ，点E是BD所在直线上一点，
若 ，则 ______；向量 在向量 上的投影向量记为 ，则实数m的取
值范围为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点 的坐标（用 中的参数 表示），结合
点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意 ，利用投影数量的几何意义可求其
范围.
【详解】
由题意以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，
因为 是等腰直角三角形，∠A＝90°， ，点D满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
设点 的坐标为 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
因为点 在直线 上面，
所以 ，即 ，
所以 （这里的 是指 中的 ）；
因为向量 在向量 上的投影向量记为 ，
所以 ，
如图， 于 ，过 作直线平行于 ，过 作该直线的垂线，垂足为 ，
当 为锐角时， ，当且仅当 重合时等号成立；
当 为直角时， ；
当 为钝角时， 即 ，
综上， .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点 坐标，结合 三点共线，第二空的关键是将问题转换为
方程有解即可顺利得解.
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15. 已知直线 ．
（1）求证：直线l恒过定点 ；
（2）已知两点 ， ，过点A的直线与线段 有公共点，求直线的倾斜角 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直线方程整理为关于 的方程，由恒等式知识可得定点坐标；
（2）求出直线 的倾斜角，直线介于直线 之间，由此可得结论．
【小问1详解】
证明：由 ，得 ．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点 ．
【小问2详解】
由题意可知 ， ，
由题意可知直线的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，
又 的倾斜角是 ， 的倾斜角是 ， 点横坐标在 两点横坐标之间，因此直线可能与
轴垂直，倾斜角可以是 ，
∴ 的取值范围是 ．
16. 如图，直三棱柱 的体积为4， 是 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，易得 ，再由线面平行的判定证明结论；
（2）设 的面积为 ，棱长 的长度为 ， 到平面 的距离为 ，再应用等体积法有
求点面距.
【小问1详解】
连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
设 的面积为 ，棱长 的长度为 ， 到平面 的距离为 ，
因为直三棱柱 的体积 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 是 的中点，所以 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积 ，
因为 的面积为 ，由 得 ，解得 .
所以 到平面 的距离为 .
17. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面
ABC，BC⊥面POD．
（1）求证：点D为BC中点；
（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质证明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）做辅助线，利用图中的几何关系求解.
【小问1详解】
连接OD，PD， 平面POD， ，又 ，O是AC的中点，所以
OD是OC边上的中位线， D是BC边的中点；
【小问2详解】
连接OB， 是等腰直角三角形， ，由题意 平面ABC， ，又O
是AC的中点， 是等腰三角形， ，
连接PD，取PD的中点G，连接OG，由题意 平面PBC， ，
又G是PD的中点， 是等腰直角三角形， ，
， ，
；
综上，当 时，O在平面PBC内射影恰好是PD得中点.
18. 如图，在四棱锥 中， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，则 且
，利用余弦定理求出 ，从而可得 ，利用勾股定理证明 ，则
平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）先利用余弦定理求出 ，再以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面
与平面 的法向量，再求出法向量夹角的余弦值，进而可得出答案.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，
在 中，由余弦定理得，
，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
又 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
【小问2详解】
在 中，由余弦定理得，
，所以 ，
如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，平面PBD的法向量为
则有 ， ，
令 ，则 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度 ， 常 用 测 量 距 离 的 方 式 有 3 种 ． 设 ， ， 则 欧 几 里 得 距 离
； 曼 哈 顿 距 离 ， 余 弦 距 离
，其中 （ 为坐标原点）．
（1）若 ， ，求 ， 之间的曼哈顿距离 和余弦距离 ；
（2）若点 ， ，求 的最大值；
（3）已知点 ， 是直线 上的两动点，问是否存在直线 使得 ，
若存在，求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在， 和
【解析】
【分析】（1）代入 和 的公式，即可求解；
（2）首先设 ，代入 ，求得点 的轨迹，再利用数形结合，结合公式 ，结
合余弦值，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）首先求 的最小值，分 和 两种情况求 的最小值，对比后，即可判断直线
方程.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
设 ，由题意得： ，
即 ，而 表示的图形是正方形 ，
其中 、 、 、 ．
即点 在正方形 的边上运动， ， ，
可知：当 取到最小值时， 最大，相应的 有最大值．
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，取 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
因为 ，所以 的最大值为 ．
【小问3详解】
易知 ，设 ，则
当 时， ，则 ， ，满足题意；
当 时， ，
由分段函数性质可知 ，
又 且 恒成立，当且仅当 时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条， 和 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键
是理解 ，同样是转化为代数与几何相结合的问题.
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学科网（北京）股份有限公司
