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2025-2026（上）8 月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合𝐴={𝑥|2−𝑥 <2 },𝐵 ={𝑥|log 𝑥 >0 }，则
2
A．𝐴∪𝐵 ={𝑥|𝑥 >−1 } B．𝐴∪𝐵 =𝑅
C．𝐴∩𝐵 ={𝑥|−1<𝑥 <1 } D．𝐴∩𝐵 =∅
2．已知𝑧 = 2 ，则|𝑧|=______.
1−i
A．√2 B．1 C．√2 D．2
2
3．若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为
A．2√3πcm3 B．8√3 πcm3 C．4√3 πcm3 D．8πcm3
3 3
4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是
A．𝑦=cos𝑥 B．𝑦=sin2𝑥 C．𝑦=|sin𝑥| D．𝑦 =tan|𝑥|
5．已知𝐹 ，𝐹
是椭圆𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎 >𝑏 >0)的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过𝐹 引
1 2 𝑎2 𝑏2 1
∠𝐹 𝑃𝐹 的外角平分线的垂线，垂足为 Q，且 Q 与短轴顶点的最短距离为𝑐，则椭圆的离心
1 2
2
率为
A．2 B．3 C．4 D．5
3 4 5 6
6．已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶满足sin2𝐴+sin2𝐵+sin2𝐶 =1，其面积𝑆 =2，则△𝐴𝐵𝐶的
外接圆半径𝑅为
A．2 B．2√2 C．4 D．4√2
7．已知点𝑃(1,𝑚)不在函数𝑓(𝑥) =𝑥3−3𝑚𝑥的图象上，且过点𝑃仅有一条直线与𝑓(𝑥)的图
象相切，则实数𝑚的取值范围为
A．(−∞,0]∪( 1 ,+∞) B．(−∞,0)∪[ 1 ,+∞)
4 4
C．(−∞,0)∪( 1 ,+∞) D．(−∞,0]∪[ 1 ,+∞)
4 4
8．抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第
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{#{QQABaYK5xwCwkhRACI67Q0HMC0oQkICSJQoOAVCeOAxqiRNAFAA=}#}一次硬币正面向上”为事件𝐴，“三次试验恰有 1 次正面向上”为事件𝐵，“三次试验恰有 2 次
正面向上”为事件𝐶，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件𝐷，则下列说法错
误的是
A．𝐴与𝐵不互斥 B．𝐴与𝐷相互独立
C．𝐴与𝐶相互独立 D．𝐶与𝐷互斥但不对立
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折
线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数𝑟 =0.84，则下列结论正确的有
A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关
B．月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月
C．9 ∼12月的月温差相对于5∼8月波动性更大
D．每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加
10．已知tan𝛼+tan𝛽 =−tan(𝛼+𝛽)≠0，则tan 𝛼+𝛽的取值可以为
2
A．√2 B．−1 C．1 D．4
2 2 5
11．已知圆𝐶:(𝑥−2)2+(𝑦−2)2 =4，直线𝑙过点𝑃(2,4)，则下列说法正确的是
A．点𝑃在圆𝐶上
B．若直线𝑙过原点，则圆𝐶截直线𝑙所得弦长为4
5
C．若𝑙与圆𝐶相切，则𝑙的方程为𝑦 =4
D．若𝑙与圆𝐶相交于A，B两点，且△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，则𝑙的方程为𝑥−𝑦+2=0
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12．已知函数𝑓(𝑥) =𝑎⋅2𝑥 +21−𝑥是定义域为R的偶函数，则𝑓(−2) = ．
13．过抛物线𝑥2 =4𝑦的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线𝑙与抛物线交于 A，B 两点，则
|𝐴𝐵|= ．
14．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8π𝑟2分，其中𝑟
（单位：cm）是球的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作
的瓶子的最大半径为6cm，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 cm.
(1mL=1cm3)
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
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{#{QQABaYK5xwCwkhRACI67Q0HMC0oQkICSJQoOAVCeOAxqiRNAFAA=}#}15．已知𝑎 =2，𝑇 =4，{𝑇 }是等差数列，且𝑎 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅𝑎 =𝑇 ．
1 3 𝑛 1 2 3 𝑛 𝑛
(1)求𝑎 ，𝑇 ；
𝑛 𝑛
(2)求证： 1 + 1 + 1 +⋅⋅⋅+ 1 300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 20 15
(1)已知某企业每天的经济损失𝑦（单位：元）与空气质量指数𝑥的关系式为𝑦 =
0,0≤𝑥 ≤100,
{4𝑥−400,100 <𝑥 ≤300 ，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元
2000,𝑥 >300,
的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数
据，完成下表，有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？
污染程度 非严重污染 严重污染
供暖季
非供暖季
附：独立性检验卡方公式：𝑲𝟐 =
𝒏(𝒂𝒅−𝒃𝒄)𝟐
.
(𝒂+𝒃)(𝒄+𝒅)(𝒂+𝒄)(𝒃+𝒅)
𝑷(𝑲𝟐 ≥𝒌 ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
𝟎
𝒌 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
𝟎
17．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，𝐷、𝐸两点分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上，使𝐴𝐷
=
𝐴𝐸
=𝐷𝐸 =
𝐷𝐵 𝐸𝐶
𝐵𝐷 =2.现将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折起得到四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐸𝐷，在图2中𝐴𝐶 =√29.
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{#{QQABaYK5xwCwkhRACI67Q0HMC0oQkICSJQoOAVCeOAxqiRNAFAA=}#}(1)求证：𝐴𝐷 ⊥平面𝐵𝐶𝐸𝐷；
(2)求平面𝐴𝐶𝐸与平面𝐴𝐶𝐷所成角的余弦值.
18．已知双曲线𝐶的焦点在𝑥轴上，离心率e= 3√2，且点(4,−1)在该双曲线上．
4
(1)求𝐶的标准方程．
(2)若直线𝑙与双曲线𝐶的右支相切于点𝑀，与直线3𝑥+8=0相交于点𝑁，线段 MN的中点为
𝑄，则在𝑥轴上是否存在定点𝑃，使得|𝑃𝑄|= 1 |𝑀𝑁|？若存在，求出𝑃点坐标；若不存在，
2
请说明理由．
19．已知函数𝑓(𝑥)的导数为𝑓′(𝑥)，𝑓′(𝑥)的导数为𝑓(𝑥)的二阶导数，记作𝑓″(𝑥)．若函数
𝑓(𝑥)在包含𝑥 的某个开区间(𝑎,𝑏)上具有二阶导数，那么∀𝑥 ∈ (𝑎,𝑏)，𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥 )+
0 0
𝑓′(𝑥0 ) (𝑥−𝑥 )+ 𝑓″(𝑥0 ) (𝑥−𝑥 )2，我们把𝑔(𝑥)称为函数𝑓(𝑥)在𝑥 =𝑥 处的二阶拟合函数．
0 0 0
1! 2!
(1)写出函数𝑦=e𝑥在𝑥 =0处的二阶拟合函数𝜑(𝑥)，并证明e𝑥 ≥𝜑(𝑥)对𝑥 ∈ [0,+∞)恒成立；
(2)若e𝑥+cos𝑥 ≥𝑎𝑥+2对𝑥 ∈ [0,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)设函数𝑔(𝑥) =(𝑥−2)e𝑥+𝑚(𝑥−1)2(𝑚 >0)的两个零点为𝑥 ，𝑥 ，𝑔(𝑥)在𝑥 =1处的二
1 2
阶拟合函数为ℎ(𝑥)，证明：ℎ(𝑥)有两个零点𝑥 ，𝑥 ，且𝑥 +𝑥 <𝑥 +𝑥 ．
3 4 1 2 3 4
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{#{QQABaYK5xwCwkhRACI67Q0HMC0oQkICSJQoOAVCeOAxqiRNAFAA=}#}2025-2026（上）8 月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C B C C A C C ABC AD AC
12.
17
13. 2
4
15.
14. 6
（1）由 ，得 ，等差数列 的公差 ，则
𝑇𝑇3−𝑇𝑇1
𝑎𝑎1𝑎𝑎，2𝑎𝑎 3⋅⋅⋅𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑇𝑇𝑛𝑛 𝑇𝑇1 =𝑎𝑎1 =2 {𝑇𝑇𝑛𝑛} 𝑑𝑑 = 3−1 =1
当𝑇𝑇𝑛𝑛 =𝑛𝑛+时1， ，于是 ， 满足上式，
𝑎𝑎1𝑎𝑎2𝑎𝑎3⋅⋅⋅𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑇𝑇𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑛𝑛 𝑛𝑛+1
所 𝑛𝑛 以 ≥2 � .𝑎𝑎 1𝑎𝑎2𝑎𝑎3⋅⋅⋅𝑎𝑎𝑛𝑛−1 =𝑇𝑇𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑇𝑇𝑛𝑛−1 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎1 =2
𝑛𝑛+1
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛
（2）令函数 ，求导得 ， 在 上单调
′ 1
递增， 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=ln𝑥𝑥−𝑥𝑥+1,0<𝑥𝑥 <1 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=𝑥𝑥−1>0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (0,1)
，即 ，取 N ，则 ，
𝑛𝑛 ∗ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 1
𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(1)=0 ln𝑥𝑥 <𝑥𝑥−1 𝑥𝑥 =𝑛𝑛+1,𝑛𝑛 ∈ ln𝑛𝑛+1<𝑛𝑛+1−1=−𝑛𝑛+1
于是 ln ，由（1）知， ln ln( ln ，
1 𝑛𝑛+1 1 𝑛𝑛 1 𝑛𝑛+1
𝑛𝑛+1< 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑇𝑇𝑛𝑛 =(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+1)<𝑛𝑛+1< 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛+1)− 𝑛𝑛
所以 ln( ln ln( .
1 1 1 1
16. 𝑎𝑎1𝑇𝑇1+𝑎𝑎2𝑇𝑇2+𝑎𝑎3𝑇𝑇3+⋅⋅⋅+𝑎𝑎𝑛𝑛𝑇𝑇𝑛𝑛 < 𝑛𝑛+1)− 1= 𝑛𝑛+1)
（1）记“在本年内随机抽取1天，该天的经济损失超过400元”为事件 .
当 时，由 ，得 ，
𝐴𝐴
显然当 时， ，
100<𝑥𝑥 ≤300 𝑦𝑦 >400 300≥𝑥𝑥 >200
所以当 时， ，
𝑥𝑥 >300 𝑦𝑦 >400
由统计𝑥𝑥数>据2可00知，空𝑦𝑦气>质40量0指数大于200的频数为35，所以 .
35 7
（2）根据题设中的数据得到表： 𝑃𝑃(𝐴𝐴)=100=20
污染程 非严重污 严重污
度 染 染
供暖季 22 8
非供暖
63 7
季
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学科网（北京）股份有限公司将表中的数据代入公式计算，得 .
2
2 100×(22×7−63×8)
因为 ，所以有 %的𝐾𝐾把=握认3为0×该70×城85市×1本5 年≈的4空.5气75严重污染与供暖有关.
17.
4.575>3.841 95
（1）在图1的 中， ，
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝐴𝐴𝐸𝐸 =𝐷𝐷𝐷𝐷 =𝐴𝐴𝐷𝐷 =2
所以， // ，且 ， ，
3
因为 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 ，所𝐴𝐴𝐷𝐷以=，4 𝐴𝐴𝐴𝐴 =2𝐷𝐷𝐷𝐷，=则3 ， ，
在 中， ∘ ， ，∘ ，则 ，
∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =90 ∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 =90 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷
在图2的 中， ∘ ， ， ， 2 2
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 =90 𝐴𝐴𝐷𝐷 =2 𝐴𝐴𝐴𝐴 =3 𝐴𝐴𝐷𝐷 =√𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝐴𝐴𝐷𝐷 =√13
满足 ，所以 ，
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 =4 𝐴𝐴𝐷𝐷 =√13 𝐴𝐴𝐴𝐴 =√29
因为 2 ，2 2 ， ， 、 平面 ，
𝐴𝐴𝐷𝐷 +𝐴𝐴𝐷𝐷 =𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷
所以 平面 .
𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷∩𝐷𝐷𝐷𝐷 =𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊂ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷
（2）因为 平面 ， ，
𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷
以点 为原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷
𝐷𝐷 𝐷𝐷�����𝐴𝐴�⃗ 𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗ 𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧
则 、 、 ， ， ，
设𝐴𝐴平(面0,0,4) 一𝐴𝐴个(2的,3法,0)向量𝐷𝐷(0,0,0),𝐷𝐷(0,2,0)，则𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =(2,3,−4) 𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗ =(0,2,−4) ，
𝑚𝑚��⃗⋅𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =2𝑥𝑥1+3𝑦𝑦1−4𝑧𝑧1 =0
取 𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐷𝐷可得 𝑚𝑚��⃗ =，(𝑥𝑥 1,𝑦𝑦1,𝑧𝑧1) �
𝑚𝑚��⃗⋅𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗ =2𝑦𝑦1−4𝑧𝑧1 =0
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
𝑧𝑧1 =1 𝑚𝑚��⃗ =(−1,2,1)
则 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 ，𝑛𝑛�⃗取=(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2,，𝑧𝑧2则) 𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗=(0,0,4，) 𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗ =(2,3,0)
𝑛𝑛�⃗⋅𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗ =4𝑧𝑧2 =0
设�平面 与平面 所成 角为𝑥𝑥2，= 3 𝑛𝑛�⃗=(3,−2,0)
𝑛𝑛�⃗⋅𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗ =2𝑥𝑥2+3𝑦𝑦2 =0
则 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 𝜃𝜃 ，
|𝑚𝑚���⃗⋅𝑛𝑛�⃗| 7 7√78
cos𝜃𝜃 =|cos⟨𝑚𝑚��⃗,𝑛𝑛�⃗⟩|=|𝑚𝑚���⃗|⋅|𝑛𝑛�⃗|=√6×√13= 78
因此，平面 与平面 所成角的余弦值为 .
7√78
18. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 78
（1）设双曲线 的标准方程为 （ ， ），
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
2 2
𝐴𝐴 𝑎𝑎 −𝑏𝑏 =1 𝑎𝑎 >0 𝑏𝑏 >0
由已知得 2 2 ，解得 ，
√𝑎𝑎 +𝑏𝑏 3√2
2
�16
𝑎𝑎
1
= 4
�
𝑎𝑎
2
=8
2 2 𝑏𝑏 =1
𝑎𝑎 −𝑏𝑏 =1
故双曲线 的标准方程为 ．
2
𝑥𝑥 2
𝐴𝐴 8 −𝑦𝑦高=三数1学答案 第 2 页，共 4 页
学科网（北京）股份有限公司（2）依题意，直线 的斜率必存在，设其方程为 ，
𝑙𝑙 𝑦𝑦 =𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑚𝑚(𝑘𝑘 ≠0)
由 2 ，可得 ，因为直线 与双曲线 的右
𝑥𝑥 2
�
8 −𝑦𝑦 =1
(1−8𝑘𝑘
2
)𝑥𝑥
2
−16𝑘𝑘𝑚𝑚𝑥𝑥−(8𝑚𝑚
2
+8)=0 𝑙𝑙 𝐴𝐴
支相切于点 ，
𝑦𝑦 =𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑚𝑚
设 ，则有Δ ，
𝑀𝑀
2 2 2
整𝑀𝑀理(得𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) ，=由(−根16与𝑘𝑘𝑚𝑚系)数+的4关(1系−可8得𝑘𝑘 )(8𝑚𝑚 +8)，=则0 ，
2 2 16𝑘𝑘𝑚𝑚 8𝑘𝑘𝑚𝑚 8𝑘𝑘
𝑚𝑚 = 8𝑘𝑘 −1 2𝑥𝑥1 =1−8𝑘𝑘 2 𝑥𝑥1 =1−8𝑘𝑘 2 =−𝑚𝑚
于是 ，即 ，又直线 与直线 相交于点 ，所以
1 8𝑘𝑘 1
𝑦𝑦1 =𝑘𝑘𝑥𝑥1+𝑚𝑚 =−𝑚𝑚 𝑀𝑀�−𝑚𝑚,−𝑚𝑚� 𝑙𝑙 3𝑥𝑥+8=0 𝑁𝑁
，
8 8𝑘𝑘
𝑁𝑁�−3,− 3 +𝑚𝑚�
假设存在定点 ，使得 ，如图，连接 ， ，因为线段 的中点为 ，
1
所以 𝑃𝑃，即 |𝑃𝑃𝑃𝑃|=2|，𝑀𝑀 𝑁𝑁| 𝑃𝑃𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝑃𝑃
不妨𝑃𝑃设𝑀𝑀 ⊥𝑃𝑃𝑁𝑁 ，则𝑃𝑃����𝑀𝑀��⃗⋅𝑃𝑃����𝑁𝑁��⃗ =0 ， ，
8𝑘𝑘 1 8 8𝑘𝑘
𝑃𝑃(𝑥𝑥0,0) 𝑃𝑃����𝑀𝑀��⃗ =�−𝑚𝑚 −𝑥𝑥0,−𝑚𝑚� 𝑃𝑃����𝑁𝑁��⃗ =�−3−𝑥𝑥0,− 3 +𝑚𝑚�
得到 ，
−8𝑘𝑘 −8 1 −8𝑘𝑘 8𝑘𝑘(𝑥𝑥0+3) 2 8𝑥𝑥0
𝑃𝑃����𝑀𝑀��⃗⋅𝑃𝑃����𝑁𝑁��⃗ =� 𝑚𝑚 −𝑥𝑥0��3 −𝑥𝑥0�−𝑚𝑚� 3 +𝑚𝑚�= 𝑚𝑚 +�𝑥𝑥0 + 3 −1�=0
所以有 ，解得 ，即 ，
𝑥𝑥0+3=0
� 2
8𝑥𝑥0
𝑥𝑥0 =−3 𝑃𝑃(−3,0)
故在 轴𝑥𝑥上0存+在3定−点1=0 ，使得 ．
1
𝑥𝑥 𝑃𝑃(−3,0) |𝑃𝑃𝑃𝑃|=2|𝑀𝑀𝑁𝑁|
19.
（1）因为 e e ， e e ，
𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ′′ 𝑥𝑥
所以 e(在) = 处的(二)阶拟=合函数 e e e ．
0 0
𝑥𝑥 0 2 1 2
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 =0 𝜑𝜑(𝑥𝑥)= +1!𝑥𝑥+2!𝑥𝑥 =1+𝑥𝑥+2𝑥𝑥
设 e ，则 e ， e ，
𝑥𝑥 1 2 ′ 𝑥𝑥 ″ 𝑥𝑥
所𝐴𝐴以(𝑥𝑥)=在−1−𝑥𝑥上−单2𝑥𝑥调递增𝐴𝐴，(则𝑥𝑥)= −1−𝑥𝑥 𝐴𝐴，(𝑥𝑥 )= −1≥0
所以 ′ 在 上单调递增，即 ′ ′ ，
𝐴𝐴 (𝑥𝑥) [0,+∞) 𝐴𝐴(𝑥𝑥)≥𝐴𝐴 (0)=0
所以e 对 恒成立．
𝐴𝐴(𝑥𝑥) [0,+∞) 𝐴𝐴(𝑥𝑥)≥𝐴𝐴(0)=0
𝑥𝑥
（2）记≥𝜑𝜑(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 ∈[0,+∞) ，则 ，则
1 2 ′ ″
𝐴𝐴(𝑥𝑥)=cos𝑥𝑥−1+2𝑥𝑥 ,𝑥𝑥 ∈[0,+∞) 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)=−sin𝑥𝑥+𝑥𝑥 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)=1−cos𝑥𝑥 ≥
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所以 在 上单调递增， ，
0
所以 ′ 在 上单调递增，即′ ′ ，
𝐴𝐴 (𝑥𝑥) [0,+∞) 𝐴𝐴 (𝑥𝑥)≥𝐴𝐴 (0)=0
所以𝐴𝐴(𝑥𝑥) [0,+∞)对 恒𝐴𝐴成(𝑥𝑥立)，≥ 𝐴𝐴(0)=0
1 2
cos𝑥𝑥 ≥1−2𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∈[0,+∞)
由（1）可知e ，则e ，
𝑥𝑥 1 2 𝑥𝑥
所以当 时，≥1+𝑥𝑥+2𝑥𝑥 对 +cos𝑥𝑥 ≥恒𝑥𝑥成+立2 ，
则e 对 恒成立．
𝑎𝑎 ≤1 𝑥𝑥+2≥𝑎𝑎𝑥𝑥+2 𝑥𝑥 ∈[0,+∞)
设 𝑥𝑥 e ，
+cos𝑥𝑥 ≥𝑎𝑎𝑥𝑥+2 𝑥𝑥 ∈[0,+∞)
当 时，𝑥𝑥 e ，
𝑓𝑓(𝑥𝑥)= +cos𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑥𝑥−2(𝑥𝑥 ≥0)
设 ln𝑎𝑎 ，则 ，
𝑎𝑎 >1 𝑓𝑓(ln𝑎𝑎)= +cos(ln𝑎𝑎)−𝑎𝑎ln𝑎𝑎−2<𝑎𝑎−𝑎𝑎ln𝑎𝑎−1
所以 在 上单调递减，则′ ，
𝐼𝐼(𝑎𝑎)=𝑎𝑎−𝑎𝑎ln𝑎𝑎−1(𝑎𝑎 >1) 𝐼𝐼 (𝑎𝑎)=−ln𝑎𝑎 <0
所以 ，这与题意矛盾，所以 ．
𝐼𝐼(𝑎𝑎) (1,+∞) 𝐼𝐼(𝑎𝑎)<𝐼𝐼(1)=0
（3）因为 e ，
𝑓𝑓(ln𝑎𝑎)<0 𝑎𝑎 ≤1
所以 e 𝑥𝑥 ，则 2 e ，
𝑔𝑔(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−2) +𝑚𝑚(𝑥𝑥−1) ,(𝑚𝑚 >0)
′ 𝑥𝑥 ″ 𝑥𝑥
则 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1)( +2𝑚𝑚) 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)=𝑥𝑥 + e 2𝑚𝑚 e，
′ ″
𝑔𝑔 (1) 𝑔𝑔 (1) 2 +2𝑚𝑚 2
因ℎ为(𝑥𝑥)=𝑔𝑔(1)e+ 1，! 且(𝑥𝑥−1)的+图象2!开(𝑥𝑥口−向1上) ，= 2 (𝑥𝑥−1) −
所以 有两个零点，且 ．
ℎ(1)=− <0 ℎ(𝑥𝑥)
因为当 时， ，当 时， ，
ℎ(𝑥𝑥) 𝑥𝑥3+𝑥𝑥4 =2
所以 在 ′上单调递减，在 ′上单调递增，所以 ，
𝑥𝑥 <1 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)<0 𝑥𝑥 >1 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)>0
要证 ，只需证 ，
𝑔𝑔(𝑥𝑥) (−∞,1) (1,+∞) 𝑥𝑥1 <1<𝑥𝑥2
因为 ，且 ，
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 <𝑥𝑥3+𝑥𝑥4 =2 𝑥𝑥1 <2−𝑥𝑥2
所以只需证 ，
2−𝑥𝑥2,𝑥𝑥1 ∈(−∞,1) 𝑔𝑔(𝑥𝑥1)=𝑔𝑔(𝑥𝑥2)
构造函数 e e ，
𝑔𝑔(𝑥𝑥2)=𝑔𝑔(𝑥𝑥1)>𝑔𝑔(2−𝑥𝑥2)
则 e e 𝑥𝑥e +e2−𝑥𝑥 ，
𝐴𝐴(𝑥𝑥)=𝑔𝑔(𝑥𝑥)−𝑔𝑔(2−𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−2) −𝑥𝑥 ,𝑥𝑥 >1
所以′ 在 𝑥𝑥上单调递增，2−所𝑥𝑥 以 𝑥𝑥 2−𝑥𝑥 ，即 ，
𝐴𝐴 (𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1) +(𝑥𝑥−1) =(𝑥𝑥−1)( )>0
因为 ，所以 ，所以 ．
𝐴𝐴(𝑥𝑥) (1,+∞) 𝐴𝐴(𝑥𝑥)>𝐴𝐴(1)=0 𝑔𝑔(𝑥𝑥)>𝑔𝑔(2−𝑥𝑥)
注： 𝑥𝑥2具 > 体 1 评分 𝑔𝑔(变 𝑥𝑥2)更 > 信 𝑔𝑔(2 息 − （ 𝑥𝑥2)分值、 𝑥𝑥1答 +𝑥𝑥 案2 < 等 𝑥𝑥3） +𝑥𝑥 请4 阅卷教师关注阅卷群。
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