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秘密★启用前
2024-2025（上）8 月月度质量监测暨第零次诊断测试
高 三 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
命题人：陈建骐、林晓萍、刘光辉 校题人：刘梦娜、罗鑫、黄伟
【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ， .则 的子集共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
𝑀𝑀 ={0,1,2,3,4} 𝑁𝑁 ={1,3,5} 𝑃𝑃 =𝑀𝑀∩𝑁𝑁 𝑃𝑃
2．已知复数 ，则
√2+√2𝑖𝑖
𝑧𝑧 = 1−𝑖𝑖 |𝑧𝑧|=
A． B． C．2 D．
√2
√2 2 2√2
3．椭圆 的焦点的坐标为
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
A．5 + 9 =1， B． ，
C． ， ， ， D． ，
�−√14,0� �√14,0� (−2,0) (2,0)
4．把 14 个相同的球全部放入编号为 1、2、3 的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，
�0 −√14� �0 √14� (0,−2) (0,2)
则不同的放入方法种数为
A．36 B．45 C．72 D．165
5．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是
A． B． C． D．
7√2𝜋𝜋 7√3𝜋𝜋 7√2𝜋𝜋 7√3𝜋𝜋
6．若函数24 为R上的奇函2数4，且当 时， 12 ，则 12
A． B． C． D．−1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 >0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2𝑥𝑥−1 𝑓𝑓(0)+𝑓𝑓(−1)=
{a a }
7．已知−数4列 满足 −，3 −2，则数列 n n+1 的前100项的和是
1
{𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑎𝑎1 =2 𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1 =0
A． B． C． D．
25 50 99 100
8．声音5是1由物体振动产生的10声1 波，我们听到的声音2中02包含着正弦函数．若某101声音对应的函
数可近似为 ，则下列叙述正确的是
1
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𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥+2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥
学科网（北京）股份有限公司A． 为 的对称轴 B． 为 的对称中心
𝜋𝜋 3𝜋𝜋
𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) �2 ,0� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
D． 在区间 上单调递增
C． 在区间 上有3个零点
5𝜋𝜋 7𝜋𝜋
二、多选
𝑓𝑓
题
(𝑥𝑥
（
)
本大题
[0
共
,10
3
]
小题，每小题 6 分，共 1𝑓𝑓8(𝑥𝑥分) ，在每�小3题, 3所�给的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．给出下列说法，其中正确的是
A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B．已知一组数据 的方差是 5，则数据 的方差是
20
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2,⋯,𝑥𝑥𝑛𝑛 4𝑥𝑥1−1,4𝑥𝑥2−1,⋯,4𝑥𝑥𝑛𝑛−1
C．已知一组数据 的方差为0，则此组数据的众数唯一
D．已知一组不完全相同的数据 的平均数为 ，在这组数据中加入一个数
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2,⋯,𝑥𝑥𝑛𝑛
后得到一组新数据 ，其平均数为 ，则
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2,⋯,𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥0
10．已知直线 经过抛物线 的焦点，且与 交于 A，B两点，以线段 为
𝑥𝑥0 𝑥𝑥0,𝑥𝑥1,𝑥𝑥2,⋯,𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑥𝑥 =𝑥𝑥0
直径的 与 的准线相切于点2 ，则
𝑙𝑙 𝐶𝐶:𝑦𝑦 =2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0) 𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴
⊙𝐷𝐷 𝐶𝐶 𝑃𝑃(−2,−1) B．点 的坐标为
A．直线 的方程为
7
𝐷𝐷 �4,−1�
C． 的𝑙𝑙 周长为 4𝑥𝑥 +𝑦𝑦−8=0
D．直线 与 相切
17
⊙𝐷𝐷 2 𝜋𝜋
11．已知函数 ， 是自然对数的底数，则 4𝑥𝑥+2𝑦𝑦+9=0 ⊙𝐷𝐷
𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥
A． 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑒𝑒
B． √11
2 <11
C．若 𝜋𝜋 ，2则 𝜋𝜋
2𝑙𝑙𝑠𝑠3 >3𝑙𝑙𝑠𝑠𝜋𝜋 >3𝑙𝑙𝑠𝑠2
D． 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ，且 ，则
𝑥𝑥2 =𝑥𝑥1 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 =2𝑒𝑒
𝑓𝑓(𝑥𝑥1)=𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑥𝑥1 ≠𝑥𝑥2 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥1+𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥2 >2
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12．若 为锐角， ，则 .
4
13．若向𝛼𝛼 量 sin𝛼𝛼 =，5 cos(𝜋𝜋，+则𝛼𝛼)=在 上的投影向量为 ．
14．在三棱锥 中，已知 ， ， ，平面 平面 ，
𝑎𝑎⃗ =�√3,3� 𝑏𝑏�⃗ =(−2,0) 𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗
且 ，则以下结论正确的是 （填序号）．
𝐷𝐷−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝐴𝐴𝐶𝐶 =2 𝐴𝐴𝐶𝐶 =2√3 𝐷𝐷𝐴𝐴 =4 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
① ②平面 平面
𝐷𝐷𝐴𝐴 ⊥𝐴𝐴𝐶𝐶
③𝐷𝐷三𝐴𝐴棱⊥锥𝐴𝐴𝐶𝐶 的体积为 𝐷𝐷𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
④三棱锥 的外接球的表面积为
4√3
四、解答题（本𝐷𝐷−大𝐴𝐴题𝐴𝐴共𝐶𝐶 5 小题，3共 77 分。解答时应写出
𝐷𝐷
必
−
要
𝐴𝐴𝐴𝐴
的
𝐶𝐶
文字说明、证明过程或
32
演
𝜋𝜋
算步骤）
15．有 4 名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电
了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
(1)恰有两名同学拿对了书包；
(2)至少有两名同学拿对了书包；
(3)书包都拿错了．
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学科网（北京）股份有限公司16．如图， 是圆 的直径，点 是圆 上的点，过点 的直线 VC垂直于圆 所在平面，
分别是 的中点.
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝐶𝐶 𝑂𝑂 𝐶𝐶 𝑂𝑂
求证：
𝐷𝐷,𝐸𝐸 𝑉𝑉𝐴𝐴,𝑉𝑉𝐶𝐶
(1) 平面 ；
(2) 平面 .
𝐷𝐷𝐸𝐸// 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐷𝐷𝐸𝐸 ⊥ 𝑉𝑉𝐴𝐴𝐶𝐶
17．已知函数 .
2
(1)若 ，求𝑓𝑓(函𝑥𝑥)数=𝑎𝑎𝑥𝑥 的−极3𝑥𝑥值+；2 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑥𝑥(𝑎𝑎 ∈𝑹𝑹)
1
(2)若直𝑎𝑎 =线2 与𝑓𝑓(曲𝑥𝑥)线 相切，求实数 的值.
𝑦𝑦=𝑥𝑥−3 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎
18．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点 .
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
(1)求双曲线C的标准方程；12 − 3 =1 𝐴𝐴(2√2,−1)
(2)已知点 ，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且 ， 于点G，
证明:存在定点H，使 为定值.
𝐷𝐷(2,0) 𝐷𝐷����𝐸𝐸�⃗·𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗ =0 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥𝐸𝐸𝐷𝐷
|𝐷𝐷𝐺𝐺|
19．记无穷数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令
𝑀𝑀𝑛𝑛+𝑚𝑚𝑛𝑛
（1）若 {𝑎𝑎𝑛𝑛} ，请𝑠𝑠写出 𝑀𝑀的𝑛𝑛 值； 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2
（2）求证:“数𝑛𝑛列 是等差数列”是“数列 是等差数列”的充要条件；
𝑎𝑎𝑛𝑛 =2 −3𝑠𝑠 𝑏𝑏1,𝑏𝑏2,𝑏𝑏3,𝑏𝑏4
（3）若 ，求证:存在k∈N*，使得 ，有 .
{𝑎𝑎𝑛𝑛} {𝑏𝑏𝑛𝑛}
∀𝑠𝑠 ∈𝑁𝑁∗,|𝑎𝑎𝑛𝑛|≺2018,|𝑏𝑏𝑛𝑛|=1 ∀𝑠𝑠 ≥𝑘𝑘 𝑏𝑏𝑛𝑛+1 =𝑏𝑏𝑛𝑛
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