文档内容
重庆育才中学 ⻄南⼤学附中
⾼ 2024 届拔尖强基联盟⾼三⼗⽉联合考试
数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
命题学校：重庆育才中学
2023年10⽉
注意事项：
1．答题前，考⽣先将⾃⼰的地名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使⽤2B铅笔填涂；答⾮选题题时，必须使⽤ 0.5毫⽶的⿊⾊签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写⽆效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学⽣留存，以备评讲）．
⼀．单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
是符合题⽬要求的．
1. 复数 （i为虚数单位）复平⾯内对应的点位于（ ）
A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】判断复数在复平⾯上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.
【详解】 ，所以复数在复平⾯内对应的点为(2,-3)，位于第四象限．
故选：D
2. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的概念即可求解．
【详解】由 ，得 ， ， ，
，
第1⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：A
3. 已知数列 满⾜ ，若 ，则 （ ）
A. B. C.12 D.36
【答案】D
【解析】
【分析】由 可知数列 是公⽐为 的等⽐数列，再由题意结合等⽐数列的通项公式代⼊可
求出答案.
【详解】由 可知数列 是公⽐为 的等⽐数列，
所以 ，
解得： .
故选：D.
4. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A.-6 B.0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示列出⽅程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由向量 ，
因为 ，所以
所以 ．
故选:C.
5. 在 中，⻆A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“ ”是 为直⻆三⻆
形的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分⼜不必要条件
【答案】D
【解析】
第2⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】由 ，利⽤正弦定理得到 ，再利⽤三
⻆恒等变换得到 求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
化简得 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 为直⻆三⻆形（ ）或等腰三⻆形，
所以“ ”是 为直⻆三⻆形的既不充分⼜不必要条件.
故选：D
6. 已知函数 在 上单调递增，则实数m的最⼤值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性列不等式组解得实数m的取值范围，即可得实数m的最⼤值.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，
⼜函数 在 上单调递增，
所以
则 ，⼜
第3⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故 ，所以实数m的最⼤值为 .
故选：A.
7. 新⻛机的⼯作原理是，从室外吸⼊空⽓，净化后输⼊室内，同时将等体积的室内空⽓排向室外．假设某
房间的体积为 ，初始时刻室内空⽓中含有颗粒物的质量为m．已知某款新⻛机⼯作时，单位时间内从室
外吸⼊的空⽓体积为（v ），室内空⽓中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为 ，
其中常数 为过滤效率．若该款新⻛机的过滤效率为 ，且 时室内空⽓中颗粒物的浓度是 时的
倍，则v的值约为（ ）
（参考数据： ， ）
A.1.3862 B.1.7917 C.2.1972 D.3.5834
【答案】B
【解析】
【分析】由题意表达出 ，由 列出⽅程，求出 ，两边取对数，计算出答案.
【详解】由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
令 ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得 （舍去）或 ，
故 ，解得 .
故选：B
8. 已知⻆ ， 均在 内， ， ，则⻆ 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第4⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意，由同⻆的平⽅关系可得 ，再由余弦的和差⻆公式，即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 为钝⻆，
所以 ，
则
，且 ，则 .
故选：C
⼆．多选题：本⼤题共 4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项是
符合题⽬要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得 0分．
9. 关于平⾯向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 向量 ， 能作为平⾯内所有向量的⼀组基底
B. 若点G是 的重⼼，则
C. 若 ，则 或
D. 若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】由基底的概念即可判断A，由三⻆形重⼼的定义即可判断B，由平⾯向量数量积的定义即可判断C，
由投影向量的概念即可判断D.
【详解】因为向量 ， ，则 ，即 ，则 不能作为平⾯内 基底，故
A错误；
第5⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司如图所示，连接 并延⻓交 于 点，点 为 中点，延⻓ 到点 ，使得 ，则
， ，所以 ，故B正确；
因为 ，若 ，则 或 或 ，故C错误；
因为向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
，故D正确；
故选：BD
10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最⼩正周期为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的⼀个零点为 D. 的最⼤值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据辅助⻆公式化简函数，再结合三⻆函数图象相关知识逐⼀判断即可.
【详解】函数 .
对于A， 的最⼩正周期为 ，故A正确；
对于B， ，所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C， ，所以 不是 的⼀个零点，故C错误；
对于D，函数 ，则 的最⼤值为1，故D正确.
第6⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：ABD.
11. 以下说法错误的是（ ）
．．
A. 若 的定义域为 ，则 的定义域为
B. 若 在 上的值域 ，则 在 上的值域也为
C. 若 为R上的奇函数，则 也为R上的奇函数
D. 若 是R上的单调递增函数，则 是 的单调递减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数的概念与性质⼀⼀判定即可.
【详解】对于A项，若 的定义域为 ，则要求 的定义域，
需 ，故A错误；
对于B项， 若 在 上的值域 ，⽽ 时， ，
所以 在 上的值域为函数 在 上的值域，不⼀定为 ，
故B错误；
对于C项，设 ，
若 为R上的奇函数，则 ， 所以
，
故 也为R上的奇函数，C正确；
对于D项，由复合函数的单调性可知 在定义域 上单调递减，
⽽ 是单调递增函数，故 是 的单调递减函数，即D正确.
故选：AB.
12. 在三⻆形ABC中，点D⾜AB边上的四等分点且 ，AC边上存在点E满⾜ ，
直线CD和直线BE交于点F，若 ，则（ ）
第7⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B.
C. 的最⼩值为17 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平⾯向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
⼜因为 ，则 ，
因为 ，所以
⼜
三点共线，所以 ，整理得 ，故B正确；
由 可得 ，所以 ，因为 ，当 时，
，故 的最⼩值不为 ，故C不正确；
由于 ，所以 ，则 ，
所以 ⼜
，当且仅当 时，等号成⽴
第8⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 的最⼤值为 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共 20分．
13. 已知向量 ， 的夹⻆为 ，且 ， ，则 等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据数量积的定义求解 ，再根据数量积的应⽤与运算律求解 的值即可.
【详解】因为向量 ， 的夹⻆为 ，且 ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
14. 写出⼀个同时具有下列两个性质的函数 ：______．
① 的值域为 ；②当 时， ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，考虑指数型函数，即可得到结果.
【详解】由题意可得，函数 在 上单调递增，且最⼩值为 ，
由指数函数 在 上单调递增且 ，
将其向上平移2个单位可得 ，符合题意.
故答案为：
15. 已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据等差数列的性质与前n项和的公式转化求解即可得 的值.
第9⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因为等差数列 的前n项和为 ，且
所以 ，即
所以 .
故答案为： .
16. 定义：在数列 中 ，其中d为常数，则称数列 为“等⽐差”数列．已知“等
⽐差”数列 中， ， ，则 ______； ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“等⽐差”数列的定义可得 ，从⽽可得数列 ，于是可得 的关系式，故可得求
得 与 的值.
【详解】已知“等⽐差”数列 中， ， ，
所以 ，则
则数列 是⾸项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
所以 ，则
所以 ，则
且 .
故答案为： ； .
四、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 在区间 上的图象如图所示．
第10⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域．
【答案】（1） ;
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象可得出函数 的最⼩正周期，可求得 的值，由 结合 的取值范围可求
出 的值，由此可得出函数 的解析式；
（2）利⽤三⻆函数图象变换可得出函数 的解析式，利⽤正弦型函数的基本性质可求得函数 在
上的值域.
【⼩问1详解】
由图象可知，函数 的最⼩正周期为 ，则 ，
所以， ，
因为 ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，
因此， .
第11⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】
将 的图象向右平移 个单位⻓度，
可得到函数 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ，则 ，所以， ，
因此， 在 上的值域为 .
18. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项积为 ，当 成⽴时，求n的最⼤值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 与 的关系，利⽤相减法即可求得数列 的通项公式；
（2）根据数列通项即可得前n项积为 ，再根据对数不等式与⼀元⼆次不等式即可得不等式解集，从⽽可
得n的最⼤值．
【⼩问1详解】
因为 ①，
当 时， ②，
① ②可得： ，即
当 时， ，所以 ，故
故数列 是⾸项为 ，公⽐为 的等⽐数列，故 ；
第12⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】
数列 的前n项积为
则不等式 为 ，所以 ，即
解得 ，所以n的最⼤值为 ．
19. 太阳能热⽔器因节能环保⽽深受⼴⼤消费者的⻘睐，但它也有缺点——持续阴天或⾬天便⽆法正常使⽤．
为解决这⼀缺陷，现在的太阳能热⽔器⽔箱上都安装了辅助电加热器，如果天⽓不好或冬季⽔温⽆法满⾜需
要时，就可以通过辅助电加热器把⽔温升⾼，⽅便⽤户使⽤．某⼯⼚响应“节能减排”的号召，决定把原来给
锅炉加热的电热⽔器更换成电辅式太阳能热⽔器．电铺式太阳能热⽔器的耗电情况受当天的⽇照时⻓和⽇
均⽓温影响，假设每天的⽇照情况和⽇均⽓温相互独⽴，该电辅式太阳能热⽔器每⽇耗电情况如下表所示：
⽇照情况 ⽇均⽓温不低于15℃ ⽇均⽓温低于15℃
⽇照充⾜ 耗电0千瓦时 耗电5千瓦时
⽇照不⾜ 耗电5千瓦时 耗电10千瓦时
⽇照严重不⾜ 耗电15千瓦时 耗电20千瓦时
根据调查，当地每天⽇照充⾜的概率为 ，⽇照不⾜的概率为 ，⽇照严重不⾜的概率为 ．2023年这⼀
年的⽇均⽓温的频率分布直⽅图如图所示，区间分组为 ， ， ， ， ，
．
（1）求图中a的值，并求⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的频率；
（2）⽤频率估计概率，已知该⼯⼚原来 电热⽔器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热⽔
器后，每天能省多少电?
【答案】（1） ， ；
（2） 千瓦时.
【解析】
第13⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）根据频率分布直⽅图中频率和为1求出区间 的频率，再除以组距求得 的值，再利⽤
⻓⽅形⾯积等于频率，求出不低于15℃的频率；
（2）由（1）知⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的概率的估计值为 ，低于15℃的概率的估计值为 ，分析题
意可知，使⽤电辅式太阳能热⽔器⽇均耗电量 的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，
写出分布列，即可得出期望，即可得到使⽤电辅式太阳能热⽔器⼀天节省的电量.
【⼩问1详解】
依题意得 .
⼀年中⽇均⽓温不低于15℃ 频率为 .
【⼩问2详解】
这⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的概率的估计值为 ，⼀年中⽇均⽓温低于15℃的概率的估计值为 ，
设使⽤电辅式太阳能热⽔器⽇均耗电量为 ， 的所有可能取值为0，5，10，15，20
， ， ，
， .
所以 的分布列为
0 5 10 15 20
所以 的数学期望
所以使⽤电辅式太阳能热⽔器⼀天节省的电量为 （千瓦时）.
20. 如图，在 中，点 在边 上， ， ， .
（1）求证： ；
第14⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到 ，再由锐⻆三⻆函数得到 ，
最后由诱导公式计算可得；
（2）设 ，根据平⾯向量的线性运算得到 ，再根据数量积的运算律及定义得到⽅
程求出 ，最后由⾯积公式计算可得.
【⼩问1详解】
在 中， ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
在 中， ．
则 ，由于 ， ，
所以 ，
即 ．
【⼩问2详解】
在 中，设 则 ，
∵ ，∴ ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
∴ .
第15⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司21. 已知函数 ，函数 与 关于点 中⼼对称．
（1）求 的解析式；
（2）若⽅程 有两个不等 实根 ， ，且 ，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的对称性可得 ，从⽽可得 的解析式；
（2）根据⽅程的根，利⽤⼀元⼆次⽅程根与系数的关系与指数函数的性质，结合 ，即可求得a
的值．
【⼩问1详解】
已知函数 ，函数 与 关于点 中⼼对称
所以 ，则
【⼩问2详解】
由于⽅程 有两个不等的实根 ， ，不妨设
即 两个不等的实根，则 ，由于函数 是递增函数，
所以 ①， ②
因为 ， ，则 ，
所以 ，则 代⼊②得： ，解得 ，
代⼊①得 .
22. 已知 ．
（1）若对 ，都有 恒成⽴，求 的取值范围；
第16⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）当 时， 在 上的最⼤值为 ，求 的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单调性定义可知 在 上单调递增，得到 ，采⽤分离变量法和换元法可得
在 上恒成⽴，根据⼆次函数的最值可求得 的取值范围；
（2）求导后，采⽤换元法，结合⼆次函数的零点可求得 在 上的单调性，并确定最⼤值点
的取值范围，结合单调性可得 ，进⽽⽤ 表示出 的取值范围；利⽤导数可分别求得 最⼤
值和最⼩值的取值范围，从⽽最终确定所求值域.
【⼩问1详解】
对 ，都有 恒成⽴， 在 上单调递增，
在 上恒成⽴，
，
令 ，则 在 上恒成⽴，
为开⼝⽅向向上，对称轴为 的抛物线，
当 时， ， ，
即实数 的取值范围为 .
【⼩问2详解】
，
当 时， ，
令 ， ，
为开⼝⽅向向下，对称轴为 的抛物线，
第17⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 上单调递减， ，
当 时， ， ，
令 ，解得： （舍）或 ；
当 时， ；当 时， ；
⼜ 在 上单调递增，记 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
当 时， ，即 ， ；
上单调递增， ；
令 ， ，则 ，
，
在 上单调递减， ；
令 ， ，则 ，
，
在 上单调递增， ；
第18⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解参数范围、利⽤导数求解恒成⽴问题；本题求解的关键
是能够结合三⻆恒等变换的知识，采⽤换元法来对导函数的零点进⾏求解，从⽽确定原函数的单调性和最值
点.
第19⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
