文档内容
2023-2024 学年高中毕业班阶段性测试（一）
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则计算得出结果．
【详解】 ．
故选：B.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先结合一元二次不等式解法分别计算集合，再应用交并补定义计算即可．
【详解】 因为 ，
，
则 ．
故选：D.
3. 已知函数 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据 得到 ，再由 求解.
【详解】解：因为函数 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：A
4. 若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. 3 B. 7 C. 11 D. 15
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，再利用 的几何意义求目标函数的最大值.
【详解】不等式组表示的平面区域如下图，目标函数化为 ，
表示斜率为 的一组平行线，当直线过点 时，直线截距最大，即 取得最大值，
联立 ，得 ，即 ，
所以 .
故选：C
5. 记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 是公差为 的等差数列，则 的最大值为（
）
A. 12 B. 22 C. 37 D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】根据 是公差为 的等差数列，求出 的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列
为递减数列，确定其正项，即可求得答案.
【详解】由题意 ，且 是公差为 的等差数列，
可知 的首项为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
故 ，则数列 为 ，公差为 的等差数列，且为递减数列，
令 ，
即等差数列 的前4项为正项，从第5项开始为负，
故 的最大值为 ，
故选：B
6. 对于任意实数 ，用 表示不大于 的最大整数，例如： ， ， ，则“
”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】对任意的 ，记 ，则 ，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值
法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】对任意的 ，记 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，则 ，
因为 ， ，则 ，由不等式的基本性质可得 ，
所以， ，所以， ，即 ，
所以，“ ” “ ”；
若 ，如取 ， ，则 ，故“ ” “ ”.
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学科网（北京）股份有限公司因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知函数 ，若将 的图象向左平移 个单位长度后所得的图象关
于坐标原点对称，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先平移得出函数解析式，再根据奇偶性结合范围求参即可.
【详解】 的图象向左平移 m 个单位长度后，得到的图象对应函数
，
因为 的图象关于坐标原点对称，
所以 ，即 ，
因为 ，故当 时，m取得最小值 ．
故选：B.
8. 位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合
运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这
4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种
数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 96 B. 144 C. 240 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】根据分组方法，结合组合数、排列数等知识求得正确答案.
【详解】先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外 4人任选2人组成一组，其余的
一人一组，
另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，
所以安排方法种数为 ．
故选：C
9. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上，且 ，则点 到平
面 的距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点 到平面 的距离分别转化点 到平面
的距离求解即可.
【详解】在棱长为2的正方体 中， 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，由 ，得 ，
在 中， ，则 ，即点 为 中点，
又 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，
于是点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，同理点 到平面 的距离
等于点 到平面 的距离，连接 ，过 分作 的垂线，垂足分别为 ，如图，
由 ，得 ，解得 ，
在 中， ，则 ，
所以点 到平面 的距离之和为 .
故选：B
10. 把过棱锥 的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个
正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、
正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的结构特征，结合空间直观想象找到底面边长与高 、最大
轴截面 的等量关系，都用 表示边长，进而代入分别求解体积，得到体积之比.
【详解】设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．
（1）正三棱锥
当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，
如图，设正三棱锥 的底面边长为a，取底边 的中点 ，
则 ， 平面VAD，故 平面 ，
即为面积最大的轴截面图形.
所以 ，即 ，
可得正三棱锥的体积为 ．
（2）正四棱锥
当轴截面经过底面的一条对角线时，轴截面面积最大，
如图，设正四棱锥 的底面边长为b，
连接 ， 即为面积最大的轴截面图形.
所以 ，即 ，
则底面 的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得正四棱锥的体积为 ．
（3）正六棱锥
当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，
如图，设正六棱锥 的底面边长为c，
连接 ， 即为面积最大的轴截面图形.
所以 ，则 ，
可得正六棱锥的体积为
．
所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为 ，即 ．
故选：C.
11. 在 中， 是线段 上的动点（与端点不重合），设 ，
，则 的最小值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 由 已 知 条 件 结 合 平 面 向 量 基 本 定 理 可 得 ， ， 则
，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是9，
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知双曲线 的右焦点为 ，以坐标原点 为圆心，线段 为半径作圆，与
的右支的一个交点为A，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得 的值，表示出A点坐标，代入双曲线方程，整理可得关于 的齐次式，
即可求得离心率.
【详解】由题意可知 ，且 为锐角，
故 ，
而 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入 中，
得 ，结合 整理得 ，
即 ，解得 或 ,
由于双曲线离心率 ，故舍去 ，
故 ，
故选：D
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知抛物线 的焦点为 F，直线 与抛物线交于点 M，且 ，则
___________．
【答案】4
【解析】
【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案.
【详解】把 代入抛物线方程 （ ），得 ，
得 ，根据抛物线的定义有 ，解得 ，
故答案为：4
14. 某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，
且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.
【答案】53
【解析】
【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解.
【详解】设2020年的销量为 ，2021年的销量为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知，中位数为 ，平均数为 ，
由 ，得 ，
所以这四年的总销量为 万量.
故答案为：53
15. 已知数列 满足 ， ，则满足 的最小正整数 ___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意先求得 ， ，从而求得 ，再构造等比数列 ，从而得到数列
的通项公式，进而根据 的单调性即可求解．
【详解】由 ，解得 ，
又 ，所以 ．
另一方面由 ，可得 ，
所以 是首项为 ，公比为3的等比数列，
所以 ，易知 是递增数列，
又 ， ，
所以满足 的最小正整数 ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查递推数列．
16. 已知定义在R上的函数 及其导函数 满足 ，若 ，则满足不等
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学科网（北京）股份有限公司式 的x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件 ，构造函数 ，由 得 在 上单调递增，再
利用单调性解不等式即可.
【详解】由题意，对任意 ，都有 成立，
即 ．
构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增．
不等式 即 ，即 ．
因为 ，所以 ．
故由 ，得 .
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 ，求BC.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及同角三角函数基本关系即可求解；
（2）利用诱导公式求出 然后利用余弦定理即可求出BC.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 .由题设知 ，所以 .
【小问2详解】
由题设及（1）知， ，
在 中，由余弦定理得
，
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学科网（北京）股份有限公司.
所以
18. 如图，在直三棱柱 中， ，D，E，F分别是棱 ，BC，AC的中
点， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形证明线线平行，再由两对直线的平行关系，证明线面平行，再利用面面平行
的判定定理证明面面平行；（2）先证明垂直关系，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角．
【小问1详解】
在 中，因为E，F分别是BC，AC的中点，
所以 ． 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
因为 ，则 ，又 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 平面 ，
又因为 ， 且 平面 ，
所以平面 平面 ．
【小问2详解】
因为 ， ， ，
由余弦定理可得
，
所以 ，从而 ．
以B为坐标原点 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-
xyz．
故 ， ， ， ．
从而 ， ， ．
设平面ABD的法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，则 为平面ABD的一个法向量，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为 ．
19. 已知椭圆C： 过点 ，且C的右焦点为 ．
（1）求C的离心率；
（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线 上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率
分别为 ， ， ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件求出椭圆方程再求离心率；
（2）设 ， ， ，将直线MN的方程与椭圆方程联立得 ， ，代入斜
率公式验证 成立即可.
【小问1详解】
由 得C的半焦距为 ，所以 ，
又C过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
故C的离心率为 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知C的方程为 ．
设 ， ， ．
由题意可得直线MN的方程为 ，
联立 ，消去y可得 ，
则 ， ，
则
，
又 ，
因此 ．
20. 小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，
则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过
关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（ ），且每个科目每次考试的结
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学科网（北京）股份有限公司果互不影响．
（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为 ，求 的最大值点 ．
（2）以（1）中确定的 作为p的值．
（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；
（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求 ．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用概率的乘法公式可得 ，再根据导数讨论单调性和最值；
（2）（i）分三类情况求解：第一次考试都合格；第一次考试2门合格，1门不合格；第一次考试1门合格，
2门不合格；（ii）根据缴费与补考科目的关系求解.
【小问1详解】
由题意知 ， ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 单调递增， 单调递减，
所以当 时， 取最大值，即 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）小李第一次考试3个科目都合格的概率为 ，
小李第一次考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率为 ，
小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率为 ，
所以小李这项资格考试过关的概率为 ．
（ⅱ）X的所有可能取值为60，80，100，
则 ， ，
，
故 ．
21. 已知函数 ， 且 ．
（1）若当 时， 恒成立，求m的取值范围；
（2）若 ， 且 ，使得 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分离参数，构造函数 ，利用导数求出函数的最大值即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）条件转化为 ，原不等式可转化为 ，利用函数单调性转化为
，构造函数 ，利用导数判断单调性即可得解.
【小问1详解】
当 时， ，
所以由 ，可得 ．
令 ，则 ，
令 ，则 ，而 ，得 ．
故当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
所以m的取值范围为 ．
【小问2详解】
易知 ，所以 ，等价于 ，等价于 ．
不妨设 ，由（1）可知 ．
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学科网（北京）股份有限公司要证 ，即证 ，
又因为 在 上单调递减，
所以需证 ，
即 ．
令 ，
则
，
当 时， ， ，
所以 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因此， ．
【点睛】关键点点睛：对条件进行转化为 是解题的第一个关键点，再对要证式子变形，转
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学科网（北京）股份有限公司化为证明不等式 为第二个关键点，构造函数 ，利用导数证明
在 上单调递增是解题的第三个关键点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，与 轴交于点 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）36
【解析】
【分析】（1）根据 消参即可，根据极坐标和直角坐标互化公式即可；
（2）先求出直线 的参数方程 ，联立曲线 的普通方程，由 的几何意义即可求解.
【小问1详解】
由曲线 的参数方程消去参数 ，得普通方程为 .
因为 ，所以 ，将 代入得 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由于直线 与 轴的交点坐标为 ，倾斜角为 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 ，得 ，
设 对应的参数分别为 ，则 ，
所以 .
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分段讨论解绝对值不等式；
（2） 恒成立问题，先求得 的最小值为 ，再解不等式
即可.
【小问1详解】
由 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，原不等式可化 为 ，化简得 ，不成立；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，故 ；
当 时，原不等式可化为 ，化简得 ，恒成立，故 .
综上可知 的取值范围为 .
【小问2详解】
因为 ，
当 ，即 时， 取最小值，且最小值为 ，
由题可知关于 的不等式 的解集为 ，即不等式恒成立，
所以 ，
解得 .
故实数 的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司
