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山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次）
数 学 试 题
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．若全集 ， ， ，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 ，则
A． B． C．7 D．3
3．已知随机变量 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数
的图象，若 是偶函数，则 为
A． B． C． D．
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
6. 模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量 与时
间 关系时，得到的 模型是 ，其中 是 时刻的细菌数量，
为自然对数的底数．若 时刻细菌数量是 时刻细菌数量的 6.3 倍，则 约为
A．5 B．4 C．3 D．2
7．在 中，若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
8. 已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则实
数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．给出下列说法，其中错误的是
A．某病8位患者的潜伏期（天 分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百
分位数为4
B．已知数据 ， ， 的平均数为2，方差为3，那么数据 ， ，的平均数和方差分别为5，13
C．在做回归分析时，可以用决定系数 刻画模型的回归效果，若 越大，则说明模
型拟合的效果越好
D．设 是随机变量，若 ，则
10．已知 ， ．若随机事件 ， 相互独立，则
A． B． C． D．
11．已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，
则
A． 的图象关于点 对称 B．
C． D．若 ，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12． 的展开式中的常数项为 ．
13．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上一点，直线
的斜率为2， ，则椭圆的离心率为 ．
14．已知△ 中内角 ， ， 满足 ，若
在边 ， ， 上各取一点 ， ， ，满足 ， ， ，
则三角形 的面积的最大值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）如图，五面体 中，四边形 是正方形．
(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ， ， ，求直线 与平面
所成角的大小．
16．（本小题满分15分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 ．17.（本小题满分15分）已知双曲线 的左、右顶点为 ，右
焦点为 ，离心率为 ．
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 于点 （点 在第一象限），记直线 的斜率
为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约
定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、
丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，
两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、
乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁的概率均为 ，甲胜丁的概率为 ．
（1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量 ，求 的数学期望；
（2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．19．（本小题满分17分）已知函数 的导函数为 ．
（1）当 时，求 的图象在 ， 处的切线方程；
（2）若 有三个不同的零点，求实数 的取值范围；
（3）已知 ，若 在定义域内有三个不同的极值点 ， ， ，
且满足 ，求实数 的取值范围．
