文档内容
秘密★启用前
2023-2024 学年上学期三校联合考试（高 2024 届）
数学试题卷
（共4页，满分150分．考试时间120分钟．）
命题：白凤莉 审题：李松田
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义即可求得答案.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：D.
2. 已知命题 ： ， ，那么 是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.
【详解】解：已知命题 ： ， ，
第1页/共23页
学科网（北京）股份有限公司则 为： ， .
故选：B.
3. 为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上 所有点向右
的
平移 个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
4. =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式可得 ，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知， ，
第2页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：D.
5. 已知为了破解某密码，在最坏的情况下，需要进行2512次运算．现在有一台计算机，每秒能进行
2.5×1014次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg 2≈0.3，
≈1.58)（ ）
A. 3.16×10139秒 B. 1.58×10139秒
C. 1.58×10140秒 D. 3.16×10140秒
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算法则，结合题目条件，列出方程求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为 秒，则 ，
所以，
，
所以 ．
故选：B
6. 在 中， ， ，则角 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则 ，利用基本不等式求出 的最小值，结合角 的取值范围可求得角 的
最大值.
【详解】设 ，则 ，由余弦定理可得
第3页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时，等号成立，因为 ，则 .
故选：A.
7. 对于函数 ，有下列结论：①最小正周期为 ；②最大值为2；③减
区间为 ；④对称中心为 ．则上述结论正确的个数是（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将 化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中心.
【详解】解：
.
,①正确；
时 ，②错误；
令 ,解得 ，因此减区间为
，③正确；
令 ，解得 ，此时 ，故对称中心为
第4页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，故④错误.
所以，上述结论正确的个数是2个.
故选：B.
8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式 作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答.
【详解】函数 ，则 ，
因 ，则不等式 成立必有 ，即 ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 时， ，于是得 ，即 ，令 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ， ，因此，
无解，
当 时， ，于是得 ，即 ，此时 ，
第5页/共23页
学科网（北京）股份有限公司函数 在 上单调递增， ， ，不等式 解集为 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
【点睛】思路点睛：求某些函数不等式解集，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数
的单调性分析求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
.
A 有最大值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值4
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,直接由基本不等式求得 ，即可判断A；对于B，将 代入 中，结
合二次函数性质即可判断；对于C,将 变形为 ，展开后，利用基本不等式即可判断；
对于D,构造函数 ，利用导数求得最大值，即可判断.
【详解】对于A选项，因为 ，且 ，所以由 可得 ，
当且仅当 时等号成立， .故A错误；
对于B选项，由 ，当且仅当 时等
号成立，故B正确；
第6页/共23页
学科网（北京）股份有限公司对于C选项，因为
所以 ，当且仅当 即 时等号成立，故C错误
对于D选项，因为 ，
令 ，解得 或 （舍），
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 ，此时 ，故D正确
故选：BD
10. 已知正八边形ABCDEFGH，其中 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，借助平面向量的坐标运算，对各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】分别以 ， 所在的直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知
作 ，
垂足为 ，则 ．
第7页/共23页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得其余各点坐标， ，
，故A正确；
，故B正确；
， ， ，所以
，故C正确；
， ， ，
，故D不正确．
故选：ABC
11. 已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于 对称
B.
C. 若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增
D. 若函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为
【答案】BC
第8页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期
性可判断C选项；设 ，利用
【详解】对于A选项，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，A错；
对于B选项，因为 且函数 为偶函数，
所以， 可得 ，所以， ，
所以，对任意的 ， ，B对；
对于C选项，因为 ，
若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增，C对；
对于D选项，当 时， ， ，
所以， ，D错.
故选：BC.
12. 已知函数 及其导函数 满足 ，且 ，则（ ）
A. 在 上单调递增 B. 在 上有极小值
C. 的最小值为-1 D. 的最小值为0
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数运算公式求出函数 的解析式，由此可得函数 的解析
式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.
【详解】设 ，则 ，
第9页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 （C为常数），
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，
因为 ，所以 ，
所以 在 上有极小值
可知A，B都正确．
， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 的极小值即最小值为 ，故C错误．
，
第10页/共23页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
而当 时， ，所以 的最小值为0，
故D正确．
故选：ABD.
【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设 则 是 成立的___________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可．
【详解】解析 当 时， ，显然 不一定成立；反之， ，则 必然
成立．
故答案为：必要不充分
14. 在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得 ，求出 ，所以 ，即
第11页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
即 ，因为点 在线段 上，
所以 ， ， 三点共线，由平面向量三点共线定理得， ，即 ，
所以 ，又 是边长为 的等边三角形，
所以
，故 .
故答案为： .
15. 函数 点 处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率即得解.
【详解】解： ，所以切点为 ，
， ，所以切线的斜率为 .
故该切线方程为 ，即 .
故答案为：
16. 已知函数 ，则不等式 的解集是______.
第12页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ，
【解析】
【分析】先构造函数 ，得到 关于 对称，且单调递增，再结合
对称性与单调性将不等式 转化为 即可求解．
【详解】构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，
的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知 ，
所以不等式 的解集是 ， ．
故答案为： ， ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数 图像上相邻两条对称轴的距离是 ，
的
的最大值与最小值之差为1，且 的图像的一个对称中心是 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在区间 上有解，求实数m的取值范围．
第13页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 的周期、振幅，再根据正弦函数的对称点公式求解即可；
（2）根据正弦函数的单调性与值域求解即可.
【小问1详解】
因为函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以 .
又 ，故 ， .
因为 的最大值与最小值之差为1，故 ， ，
又由 的图像的一个对称中心是 ，故 ，
则 ，又 ，
故当 时， ，
故 .
【小问2详解】
， ， ，
，若方程 在区间 上有解，则 ，
第14页/共23页
学科网（北京）股份有限公司故实数m的取值范围是
18. 已知函数 的图象关于原点对称．
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数列出方程求解即可；
的
（2）等价转换，分离变量，构造新函数，利用导数研究函数 单调性，从而确定实数 的取值范围.
【小问1详解】
因为函数 的图象关于原点对称，
所以函数 为奇函数，即有 ，
所以 ，则 ，即 ，
解得 ，
当 时， ，不满足题意，
当 时， ，函数定义域为 ，且
，满足题意，
综上，可得 的值为 ；
【小问2详解】
第15页/共23页
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 恒成立，
即当 ， 恒成立，
令 ，则
显然 在 恒成立，所以 在 上单调递减，
则 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
19. 如图，在四边形 中，
（1）求角 的值；
（2）若 ， ，求四边形 的面积
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得 ，再判断得 ，
第16页/共23页
学科网（北京）股份有限公司结合 ，即可求解得 ；（2）由余弦定理求解得 ，再由正弦定理以及
，可得 ，从而解得 ，然后计算 和
面积的和即可.
【小问1详解】
，
因为 ，得 ，
或 ，
解得 或 ，因为 ，得 ，
【小问2详解】
在 中， ，
在 中， ，
，
， ，得 ，
第17页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，所以四边形 的面积为
20. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）求 过点 的切线方程.
【答案】（1） 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
（2）y＝2x＋1
【解析】
【分析】（1）求出 ，令 ，求得增区间，令 ，求得减区间；
（2）设出切点 ，利用导数的几何意义求出切线的斜率，建立方程求出 ，可得切线斜率，求出切
线方程.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
所以 的单调递增区间是： ，单调递减区间是： .
【小问2详解】
由题意可得点 不在曲线 上，设切点为 ，
因为 ，
第18页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以所求切线的斜率 ，又由斜率公式得 ，
，
因为切点 在 上，所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，
，
在 上单调递增，且 ，
所以 有唯一解 ，
则所求切线的斜率 ，
故所求切线方程为 .
21. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 是锐角三角形，且其面积为 ，求边 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；
第19页/共23页
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 ，又 是锐角三角形，可得 ，根据且其面积为 可得
，再设 ，根据角度关系化简可得 ，再根据
求解即可.
【小问1详解】
因为 ，则 ，
所以 ，
即 ，
得 .
所以 或 （不成立，舍去），
从而 ，又 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，又 是锐角三角形，则 ，得 .
因为 ，
所以 .
设 ，因为 ，
所以
第20页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，则 ，所以 ，
从而 ，即 ，
所以边 的取值范围是 .
22. 已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性并求极值.
（2）设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零
点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大
值；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，然后可得单调性和极值；
（2） ，然后求出当 时 的单调性，要使函数 在 内有两个不同的
零点，则有 ，解出 ，然后证明 即可.
【小问1详解】
因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，当 时 ，
第21页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 或 时， 在 上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以要使函数 在 内有两个不同的零点，则有 ，
由 可得 ，下面证明当 时 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以当 时 ，
第22页/共23页
学科网（北京）股份有限公司综上：实数 的取值范围为 .
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
