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绝密★启用前
2024 年 8 月“鱼塘鸽子杯”数学试题
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z=1−i，则zz =
A.
数学试题第1页（共4页）
− 1 B. 1 C. 2 D. 2
2. 若1， 3 a ， 4 a 成等差数列，则 a =
A. − 1
1
B. − C.
2
1
2
D. 1
3. 设集合 A = { x R | y = − x } ， B = N ，则 A ∩ B =
A. B. {0} C. N D. R
4. 若 P ( x , y ) 是单位圆上一点，则xy的最小值为
A. − 2 B. −1 C. −
1
2
D. −
1
4
5. 在棱长为1的正方体 A B C D − E F G H 中，设O为中心点，则OA(OC+OF)=
A. − 1
1
B. − C. 0 D.
2
1
2
6. 已知在 △ A B C 中， s i n C s i n ( A − B ) ，则 △ A B C 的最大内角为
A. A B. B C. C D. 无法比较
7. 若某正三棱锥的侧面为直角三角形，则该三棱锥的体积与其外接球体积之比为
3 3 3 3
A. B. C. D.
72 8. 已知函数
数学试题第2页（共4页）
f ( x ) = ln x −
e
2
x 2 ， g ( x ) = − x 2 + 2 a x − 2 ，若对于任意x (0,+)，存在
1
x
2
R ，使得 f(x )g(x )，则a的取值范围是
1 2
A. ( − 1 ,1 ) B. (− 2, 2)
C. (−,−1)∪(1,+) D. ( − , − 2 ) ∪ ( 2 , + )
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 如果随机事件 A ， B ， C 满足 A 与 B 独立， A 与 C 互斥，则
A. P(A)P(C) B. P(B)P(C)
C. A 与 B 独立 D. B 与 C 独立
10. 在四面体 A B C D 中， A B ⊥ A C ， B D ⊥ C D ， A D 2 = A C B D . P 为线段BC上
的一个动点，设为过点 P 且垂直于 B C 的平面，设平面与折线 B A C 相交于
点 M ，与折线 B D C 相交于点 N ，则
A. M P N 是二面角 A − B C − D 的平面角
B. 平面截四面体 A B C D 的截面是三角形
C. 若 A B C = B C D = 6 0 ，则直线 A D 与直线 B C 夹角的正弦值为
3
6
D. 若ABC=BCD=60，则二面角A−BC−D的余弦值为
3
6
11. 1717年，法国流行一个赌博游戏：连续抛掷一个骰子四次，赌是否会出现至少一
个6点，记“会出现至少一个6点”是事件 A . 经过试验，赌徒德·梅勒发现至
少出现一个6点比不出现的几率似乎要稍微大一些. 他总是赌“会出现”，每次
结算下来他总是赢. 在这个赌博游戏的一个“加强版”中，赌徒们需要猜测，连
续抛掷两个骰子 24次，是否会出现至少一对 6点，记“会出现至少一对 6点”
为事件 B ，则
A. 德·梅勒的试验中，事件A发生的频率大于0.5
B. 可以根据德·梅勒的多次试验估计 P ( A ) 比 0 .5 大
C. 德·梅勒需要赌“不会出现”才能确保在“加强版”中赢的几率更大
D. 依据两个游戏之间存在的倍数关系，有P(A)=P(B)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若函数 f(x)=sinx的图像与函数g(x)的图像关于y轴对称，则g(x)的一个解析式
为 .
13. 若(1+x2)4 =a x8 +a x7 + +a ，则a +a +a = .
8 7 0 3 5 7
14. 已知过椭圆
数学试题第3页（共4页）
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 上点 ( x
0
, y
0
) 的切线方程是
x
a
x
02 +
y
b
y
02 = 1 . 设l ，
1
l
2
分别是
椭圆 C :
x
7
2
+
y
3
2
= 1 的两条垂直切线，切点分别为 P ( x
1
, y
1
) ， Q ( x
2
, y
2
) . 设向量
n
1
= (
x
7
1 ,
y
3
1 ) ， n
2
= (
x
7
2 ,
y
3
2 ) ，则
n
1
n
1
2
+
n
n
2
2
2
= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知等差数列 { a
n
} 的公差不为0，设数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，且 S
n
= ( a
1
+ a
n
) 2 .
（1）求数列 { a
n
} 的通项公式；
（2）设数列 { b
n
}
a −a ,n为奇数
满足b = n 1 ，求数列{b }的前n项和.
n a +a ,n为偶数 n
n 1
16. （15分）
在△ABC中，sin(2A−B)=cos2C+2.
（1）求 A ；
（2）若点D满足 c o s D B C =
3
3
，且 BD = AC =2，求△ABD的面积.17. （15分）
设倾斜角为
数学试题第4页（共4页）
6
的直线 l 与椭圆
x
a
2
2
y 2 1 ( a 1 ) ： + = 交于点 A ， B . 异于点A， B
的一点 C 在上，且 A B : A C : B C = 2 : 3 : 1 . 当直线 A C 与 x 轴平行时， B C = 2 .
（1）求的标准方程；
（2）证明：原点 O 在 △ A B C 的某条边上.
18. （17分）
已知函数 f ( x ) = a x − ln x + b
ex−1
，g(x)= +(a−1)x+c，其中a,b,cR且
x
a 0 .
（1）当 b = c 时，证明： f(x)g(x)；
（2）已知函数 f ( x ) ， g ( x ) 均存在零点，且 f ( x ) = 0 是 g ( x ) = 0 的充要条件，求 a .
19. （17分）
设 M 是关于 x ， y 的多项式组成的集合，定义平面xOy上的点集 V ( M ) 中的元
素是使得 M 中所有多项式取值为0的点. 例如： V ( { x 2 + y 2 − 1 } ) 就代表着单位圆. 对
平面 x O y 上的非空点集S，如果存在 M ，满足 S = V ( M ) ，那么称S是完美的；如果
完美的集合S不能分成 S = S
1
∪ S
2
，其中 S
1
， S
2
是完美的，且都是S的真子集，那么
称S是绝对完美的.
（1）如果M ={x−y,−x2 + y}，求V(M)；
（2）判断集合{(1,1),(2,2)}是否是绝对完美的，并给出理由；
x2 y2
（3）考虑平面上的椭圆C : + =1以及抛物线C :y2 =2px上所有点与它们
1 4 3 2
的焦点构成的集合S，其中 p 0 . 已知 C
1
，C 都是绝对完美的. 证明：S是完美的.
2
进一步地，如果S只能被拆分为至多4个绝对完美的集合的并集，求 p.
