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2024 年 8 月第三届「鱼塘鸽子杯」高考适应性练习
数学参考答案与评分标准
本参考答案与评分标准共 4 页，19 小题，满分 150 分.
注意事项：
1. 本参考答案和评分标准选择题部分提供了答案和解析，非选择题部分提供了标准解答和
评分标准.
2. 非选择题部分每一题只给出了一种解答提供阅卷参考，如果出现新的解答，按照本参考
答案和评分标准的精神，划定步骤分评分.
3. 如果考生发现自己的改卷结果和本参考答案和评分标准不一致，可在官方 QQ 群中 @
任意一个管理员进行申诉，申诉时需要提供准考证号和自己的解答拍照.
4. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
本题主要考察基本知识和基本方法.
1. 设复数 𝑧 = 1−i，则 𝑧𝑧̄的值是
√
A. −1 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】D.
【解析】𝑧𝑧̄= |𝑧|2 = 1+1 = 2.
2. 设 1,3𝑎,4𝑎 构成等差数列，则 𝑎 的值是
1 1
A. −1 B. − C. D. 1
2 2
【答案】C.
1
【解析】因为 1+4𝑎 = 2⋅3𝑎，所以 𝑎 = .
2
√
3. 如果 𝐴 = {𝑥 ∈ R ∣ 𝑦 = −𝑥}，𝐵 = N，则 𝐴 𝐵 =
A. ∅ B. {0} C. N D. R
【答案】B.
【解析】可以知道 𝐴 = {𝑥 ∈ R ∣ 𝑥 ⩽ 0}，它和自然数集唯一的公共元素是 0，所以 𝐴 𝐵 =
{0}.
4. 如果 𝑃(𝑥,𝑦) 是单位圆上一点，则 𝑥𝑦 的最小值是
√ 1 1
A. − 2 B. −1 C. − D. −
2 4
【答案】C.
1 1
【解析】设 𝑥 = cos𝜃,𝑦 = sin𝜃，那么 𝑥𝑦 = sin𝜃cos𝜃 = sin2𝜃 ⩾ − .
2 2
YG 数学参考答案与评分标准 第 1 页（共 8 页）5. 在棱长为 1 的正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻 中，设 𝑂 为中心点，则 ⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗⃗⃗⃗) =
1 1
A. −1 B. − C. 0 D.
2 2
【答案】B.
【解析】因为 𝑂 是棱长为 1 的正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 的中心点，所以不妨以 𝐴 为
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
原点，𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 𝐵 (1,0,1), 则 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴 = (− ,− ,− ),⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( , ,− ),⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ,− , )，故
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 1 1
⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,0,0)，因此 ⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = (cid:0)(− ) ×1+(− )×0+(− )×0 = − .
1 1 2 2 2 2
6. 如果在 △𝐴𝐵𝐶 中，sin𝐶 < sin(𝐴−𝐵)，则 △𝐴𝐵𝐶 的最大内角是
A. 𝐴 B. 𝐵 C. 𝐶 D. 无法比较
【答案】A.
【解析】因为在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴+𝐵+𝐶 = 𝜋，所以 sin𝐶 = sin(𝜋−𝐴−𝐵) = sin(𝐴+𝐵)，而
sin𝐶 < sin(𝐴−𝐵)，故而 sin(𝐴+𝐵) < sin(𝐴−𝐵)，即 sin𝐴cos𝐵+sin𝐵cos𝐴 < sin𝐴cos𝐵−
sin𝐵cos𝐴，整理得 2sin𝐵cos𝐴 < 0，而 0 < 𝐵 < 𝜋，故而 sin𝐵 > 0，因此 cos𝐴 < 0，又因为
𝜋 𝜋
0 < 𝐴 < 𝜋，所以 < 𝐴 < 𝜋，𝐵+𝐶 < < 𝐴，因此最大角为 𝐴.
2 2
7. 若某正三棱锥的侧面为直角三角形，则该三棱锥的体积与其外接球体积之比是
√ √ √ √
3 3 3 3
A. B. C. D.
72𝜋 36𝜋 18𝜋 9𝜋
【答案】D.
【解析】解析：记该正三棱锥为 𝑃 −𝐴𝐵𝐶，其中 |𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| ，因为三个侧面都
是直角三角形，所以都是等腰直角三角形，故只能有 𝑃𝐴 ⟂ 𝑃𝐵，𝑃𝐵 ⟂ 𝑃𝐶，𝑃𝐶 ⟂ 𝑃𝐴. 不妨
1 1 1
设 |𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| = 𝑎，则该三棱锥的体积 𝑉 = ⋅( ⋅𝑎⋅𝑎)⋅𝑎 = 𝑎3. 要研究正三棱
1 3 2 6
锥 𝑃 −𝐴𝐵𝐶 的外接球，可转化为研究以 𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶 为直角边的长方体的外接球；该长方
√ √
𝑑 𝑎2+𝑎2+𝑎2 3
体的体对角线长度等于该长方体外接球的直径，故外接球半径 𝑟 = = = 𝑎，
2 2 2
√ √
4 3 𝑉 1𝑎3 3
因此外接球体积 𝑉 = 𝜋𝑟3 = 𝜋𝑎3，故 1 = √ 6 = 即为所求.
2 3 2 𝑉
2
3𝜋𝑎3 9𝜋
2
e
8. 已知函数 𝑓(𝑥) = ln𝑥− 𝑥2，𝑔(𝑥) = −𝑥2+2𝑎𝑥−2，如果对于任意的 𝑥 ∈ (0,+∞)，存在
2 1
𝑥 ∈ R，使得 𝑓(𝑥 ) < 𝑔(𝑥 )，则 𝑎 的取值范围是
2 1 2
√ √
A. (−1,1) B. (− 2, 2)
√ √
C. (−∞,−1) (1,+∞) D. (−∞,− 2) ( 2,+∞)
【答案】C.
1
【解析】分别求出 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) 的最大值. 𝑓(𝑥) 的定义域为 (0,+∞) ，𝑓′(𝑥) = −𝑒𝑥 , 当
𝑥
1 1 1
𝑓′(𝑥) > 0 时，0 < 𝑥 < √ ；𝑓′(𝑥) < 0 时 𝑥 > √ ，因此 𝑓(𝑥) 在 (0, √ ) 单调递增，在
e e e
1 1
(√ ,+∞) 单调递减，𝑓(𝑥) 的最大值 𝑓(𝑥) = 𝑓(√ ) = −1；由二次函数性质可知，𝑔(𝑥) 的
e max e
YG 数学参考答案与评分标准 第 2 页（共 8 页）最大值𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎) = 𝑎2−2.因为对于任意𝑥 ∈ (0,+∞)，存在𝑥 ∈ R，使得𝑓(𝑥 ) < 𝑔(𝑥 )，
max 1 2 1 2
所以 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ，即 −1 < 𝑎2−2, 解得 𝑎 ∈ (−∞,−1) (1,+∞).
max max
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
本题主要考察基本知识和基本方法的拓展运用.
9. 如果随机事件 𝐴,𝐵,𝐶 满足 𝐴̄与 𝐵 独立，𝐴 与 𝐶 互斥，则
A. 𝑃(𝐶) ⩽ 𝑃(𝐴)̄ B. 𝑃(𝐶) ≠ 𝑃(𝐵) C. 𝐴 与 𝐵 独立 D. 𝐵 与 𝐶 独立
【答案】AC.
【解析】因为 𝐴，𝐶 互斥，所以 𝐴 𝐶 = ∅，所以 𝐶 𝐴，̄ 进而 𝑃(𝐶) ⩽ 𝑃(𝐴)̄ . 另外根据独
立性的意义可以知道 𝐴 也与 𝐵 独立.
10. 在四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵 ⟂ 𝐴𝐶，𝐵𝐷 ⟂ 𝐶𝐷，|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐶|⋅|𝐵𝐷|，𝑃 是线段 𝐵𝐶 上的
一个动点，设 𝛼 是过点 𝑃 且垂直于 𝐵𝐶 的平面，设平面 𝛼 与折线 𝐵̂𝐴𝐶 相交于点 𝑀，与折线
𝐵̂𝐷𝐶 相交于点 𝑁，则
A. ∠𝑀𝑃𝑁 是二面角 𝐴−𝐵𝐶 −𝐷 的平面角
B. 平面 𝛼 截四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 的截面是三角形
√
6
C. 若 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 60∘，则直线 𝐴𝐷 与直线 𝐵𝐶 夹角的正弦值为
3
√
6
D. 若 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 60∘，则二面角 𝐴−𝐵𝐶 −𝐷 的余弦值为
3
【答案】AC.
【解析】因为 𝛼 ⟂ 𝐵𝐶，并且 𝑃𝑀,𝑃𝑁 𝛼，所以 𝑃𝑀,𝑃𝑁 ⟂ 𝐵𝐶，所以 ∠𝑀𝑃𝑁 是二面角
𝐴−𝐵𝐶−𝐷 的平面角.在平面𝐴𝐵𝐶,𝐷𝐵𝐶 中，分别作𝐴𝐺,𝐷𝐻 ⟂ 𝐵𝐶，当𝑃 在𝐺,𝐻 之间时，𝛼
𝑎
的截面是四边形. 设 |𝐵𝐶| = 𝑎，若 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 60∘，|𝐴𝐵| = |𝐷𝐶| = ，|𝐴𝐶| = |𝐵𝐷| =
2
√ √
3 3 𝑎 3
𝑎，根据 |𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐶|⋅|𝐵𝐷| 得到 |𝐴𝐷| = 𝑎. 而且 |𝐵𝐺| = |𝐶𝐻| = ，|𝐶𝐺| = 𝑎，所以
2 2 4 4
√
𝑎 𝑎 2
|𝐺𝐻| = ，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐺𝐻，|𝐷𝐸| = |𝐺𝐻|，则𝐴𝐸 ⟂ 𝐸𝐷，|𝐸𝐷| = ，|𝐴𝐸| = 𝑎，所以直
2 2 2
√ √ √
6 3 2
线 𝐴𝐷 与直线 𝐵𝐶 夹角的正弦值为 sin∠𝐴𝐷𝐸 = . 此时 |𝐴𝐺| = |𝐺𝐸| = 𝑎，|𝐴𝐸| = 𝑎，
3 2 2
√
2 6
所以 cos∠𝐴𝐺𝐶 = ≠ .
3 3
11. 在 1717 年，法国流行这样一个赌博游戏：连续抛掷一个骰子四次，赌是否会出现至少一个
6 点. 记“会出现至少一个 6 点”是事件 𝐴. 经过试验，赌徒德·梅勒 (Chevalier de Méré) 发现
至少出现一个 6 点比不出现的几率似乎要稍微大一些. 他总是赌“会出现”，每次结算下来他总
是赢. 在这个赌博游戏的一个“加强版”中，赌徒们需要猜测，连续抛掷两个骰子 24 次，是否
会出现至少一对 6 点. 记“会出现至少一对 6 点”为事件 𝐵，则
1
A. Chevalier de Méré 的试验中，事件 𝐴 发生的频率大于
2
1
B. 可以根据 Chevalier de Méré 的多次试验估计 𝑃(𝐴) 比 大
2
YG 数学参考答案与评分标准 第 3 页（共 8 页）C. Chevalier de Méré 需要赌“不会出现”才能确保在“加强版”中赢的几率更大
1
D. 因为两个骰子都是 6 点的概率是一个骰子是 6 点概率的 ，而且“加强版”游戏的投掷次
6
数正好是“原版”游戏投掷次数的 6 倍，所以 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)
【答案】ABC.
【解析】因为在 Chevalier de Méré 总是赌“会出现”时，每次结算下来他总是赢，这意味
1
着事件 𝐴 发生的频率大于 ，并且可以根据 Chevalier de Méré 的多次试验，由频率估计概
2
1
率 𝑃(𝐴) 比 大. 为了判断在“加强版”中 Chevalier de Méré 需要采取什么策略，计算得到
2
35 24 1
𝑃(𝐵) = 1−( ) ，需要将其与 比较大小，可以比较出前者比后者小（具体讲解参见直播
36 2
讲解）.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
本题主要考察基本知识和基本方法.
12. 若函数 𝑓(𝑥) = sin𝑥 的图像与函数 𝑔(𝑥) 的图像关于 𝑦 轴对称，则 𝑔(𝑥) 的一个解析式
为 ▴ .
【答案】𝑔(𝑥) = −sin𝑥.（答案不唯一）
【解析】注意到 sin𝑥 是奇函数，因此 𝑔(𝑥) = −sin𝑥.
13. 若 (1+𝑥2)4 = 𝑎 𝑥8+𝑎 𝑥7+⋯+𝑎 ，则 𝑎 +𝑎 +𝑎 = ▴ .
8 7 0 3 5 7
【答案】0.
【解析】式中含有 𝑥 的项，指数一定是偶数，所以 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 = 0，所以 𝑎 +𝑎 +𝑎 = 0.
3 5 7 3 5 7
𝑥2 𝑦2 𝑥𝑥 𝑦𝑦
14. 已知过椭圆 + = 1 上点 (𝑥 ,𝑦 ) 的切线方程是 0 + 0 = 1. 设 𝑙 ,𝑙 分别是椭圆
𝑎2 𝑏2 0 0 𝑎2 𝑏2 1 2
𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦
𝐶 ∶ + = 1的两条垂直切线，切点分别为𝑃(𝑥 ,𝑦 ),𝑄(𝑥 ,𝑦 ).设向量𝒏 = ( 1, 1),𝒏 =
7 3 1 1 2 2 1 7 3 2
𝑥 𝑦 𝒏 𝒏
( 2, 2)，则 ∣ 1 + 2 ∣ = ▴ .
7 3 |𝒏 |2 |𝒏 |2
1 2
√
【答案】 10.
𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥
【解析】𝑙 方程为 1 + 1 = 1，则𝑙 的一个方向向量为𝒗 = (− 1, 1). 注意到𝒗 ⋅𝒏 =
1 𝑎2 𝑏2 1 1 𝑏2 𝑎2 1 1
𝒏 𝒏 𝒏
0，故 𝒏 与直线 𝑙 垂直. 取向量 𝜶 = (𝑥 ,𝑦 ), 有 𝜶⋅𝒏 = 1， 1 = [𝜶⋅( 1 )]( 1 )
1 1 1 1 1 |𝒏 |2 |𝒏 | |𝒏 |
1 1 1
𝒏 𝒏 𝒏
是 𝜶 在 𝒏 方向上的分向量， 2 同理，设 𝑙 ,𝑙 交点为 𝑅, 则 1 + 2 = ⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅⃗⃗⃗⃗⃗. 易证得
1 |𝒏 |2 1 2 |𝒏 |2 |𝒏 |2
2 1 2
√ √ √
|⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑅⃗⃗⃗⃗⃗| = 7+3 = 10，故答案为 10.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
设公差不为 0 的等差数列 {𝑎 } 的前 𝑛 项和为 𝑆 ，且 𝑆 = (𝑎 +𝑎 )2.
𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛
（1）求数列 {𝑎 } 的通项公式；
𝑛
YG 数学参考答案与评分标准 第 4 页（共 8 页）⎧
{𝑎 −𝑎 , 𝑛 为奇数时,
𝑛 1
（2）如果数列 {𝑏 } 满足 𝑏 = 求数列 {𝑏 } 的前 𝑛 项之和 𝑇 .
𝑛 𝑛 ⎨ 𝑛 𝑛
{𝑎 +𝑎 , 𝑛 为偶数时,
⎩ 𝑛 1
本题主要考察求数列通项公式和前缀和的基本知识和基本方法，考察奇偶数列的综合分析
处理能力.
【参考答案与评分标准】
（1）设等差数列 {𝑎 } 的公差为 𝑑，其中 𝑑 ≠ 0. 则 𝑎 +1 = 𝑆 −𝑆 = (𝑎 +𝑎 )2 −
𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛 1 𝑛+1
(𝑎 +𝑎 )2 = (2𝑎 +𝑎 +𝑎 )(𝑎 −𝑎 ) = 𝑑(2𝑎 +𝑎 +𝑎 )，𝑎 −𝑎 = 𝑑(2𝑎 +𝑎 +
1 𝑛 1 𝑛 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 1 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+1 1 𝑛+1
1 1
𝑎 )−𝑑(2𝑎 +𝑎 +𝑎 ) = 𝑑(𝑎 −𝑎 )，即 𝑑 = 2𝑑2，解得 𝑑 = ，所以 𝑑 = . （4 分）
𝑛+2 1 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 2 2
1 1 𝑑 1
所以𝑎 = (2𝑎 +𝑎 +𝑎 )，整理得𝑎 = (𝑎 −𝑎 ) = = ，因此𝑎 = 𝑎 +(𝑛−1)𝑑 =
𝑛+1 2 1 𝑛 𝑛+1 1 2 𝑛+1 𝑛 2 4 𝑛 1
1 𝑛−1 1 1
+ = 𝑛− . （8 分）
4 2 2 4
1 1
（2）𝑏 = 𝑎 + ⋅ (−1)𝑛，𝑆 = (𝑎 + 𝑎 )2 = 𝑛2. 设数列 {𝑏 } 的前 𝑛 项和为 𝑇 ，则
𝑛 𝑛 4 𝑛 1 𝑛 4 𝑛 𝑛
1 (−1)⋅(1−(−1)𝑛) 1 1 1
𝑇 = 𝑆 + ⋅ . 当 𝑛 为奇数时，𝑇 = 𝑛2− ，当 𝑛 为偶数时，𝑇 = 𝑛2.
𝑛 𝑛 4 1−(−1) 𝑛 4 4 𝑛 4
⎧1 1
{ 𝑛2− , 𝑛 为奇数时,
综上，𝑇 = 4 4 （13 分）
𝑛 ⎨1
{ 𝑛2, 𝑛 为偶数时.
⎩4
16.（15 分）
在 △𝐴𝐵𝐶 中，sin(2𝐴−𝐵) = cos2𝐶 +2.
（1）求 𝐴；
√
3
（2）若点 𝐷 满足 cos∠𝐷𝐵𝐶 = ，且 |𝐵𝐷| = |𝐴𝐶| = 2，求 △𝐴𝐵𝐷 的面积.
3
本题主要考察解三角形和三角函数的基础知识和综合方法，考察对复杂情形的分类解决能
力.
【参考答案与评分标准】
（1）因为 −1 ⩽ sin(2𝐴 − 𝐵) ⩽ 1，−1 ⩽ cos2𝐶 ⩽ 1，1 ⩽ cos2𝐶 + 2 ⩽ 3，又因为
sin(2𝐴−𝐵) = cos2𝐶 +2，故 sin(2𝐴−𝐵) = cos2𝐶 +2 = 1，即 cos2𝐶 = −1. （4 分）
𝜋
由于 𝐴,𝐵,𝐶 ∈ (0,𝜋)，故 −𝜋 < 2𝐴−𝐵 < 2𝜋，0 < 2𝐶 < 2𝜋，因此 2𝐴−𝐵 = ，2𝐶 = 𝜋；又
2
𝜋 𝜋 𝜋
因为在 △𝐴𝐵𝐶 中有 𝐴+𝐵+𝐶 = 𝜋，解三元方程得 𝐴 = ，𝐵 = ，𝐶 = . （7 分）
3 6 2
|𝐴𝐶| |𝐴𝐵|
（2）在 △𝐴𝐵𝐶 中，由正弦定理得 = ，故 |𝐴𝐵| = 4. （9 分）
sin∠𝐴𝐵𝐶 sin∠𝐴𝐶𝐵
1
而 △𝐵𝐶𝐷 的面积 𝑆 = ⋅|𝐴𝐵|⋅|𝐵𝐷|⋅sin∠𝐴𝐵𝐷 = 4sin∠𝐴𝐵𝐷，故只需求出 sin∠𝐴𝐵𝐷. 又因
2
√ √ √
3 𝜋 6 1 3
为 cos∠𝐷𝐵𝐶 = ,∠𝐴𝐵𝐶 = ，所以 sin∠𝐷𝐵𝐶 = ，sin∠𝐴𝐵𝐶 = ，cos∠𝐴𝐵𝐶 = .
3 6 3 2 2
故 ∠𝐷𝐵𝐶 > ∠𝐴𝐵𝐶.
对于 ∠𝐴𝐵𝐷 有两种情况，其一是 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐴𝐵𝐶，另一是 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐶−
∠𝐴𝐵𝐶 . 若 ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐶 +∠𝐴𝐵𝐶，则 sin∠𝐴𝐵𝐷 = sin∠𝐷𝐵𝐶cos∠𝐴𝐵𝐶 +cos∠𝐷𝐵𝐶
YG 数学参考答案与评分标准 第 5 页（共 8 页）√ √ √ √
3 2+ 3 6 2+2 3
sin∠𝐴𝐵𝐶 = ，则面积𝑆 = ；若∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐶，则sin∠𝐴𝐵𝐷 =
6 3
√ √ √ √
3 2− 3 6 2−2 3
sin∠𝐷𝐵𝐶cos∠𝐴𝐵𝐶 −cos∠𝐷𝐵𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶 = ，则面积 𝑆 = .
6 3
√ √ √ √
6 2+2 3 6 2−2 3
因此 △𝐴𝐵𝐷 的面积为 或 . （15 分）
3 3
17.（15 分）
𝜋 𝑥2
设倾斜角为 的直线 𝑙 与椭圆 Γ ∶ +𝑦2 = 1(𝑎 > 1) 交于点 𝐴,𝐵, 异于点 𝐴,𝐵 的一点
6 𝑎2
√ √
𝐶 在 𝛤 上, 且 |𝐴𝐵| ∶ |𝐴𝐶| ∶ |𝐵𝐶| = 2 ∶ 3 ∶ 1. 当 𝐴𝐶 与 𝑥 轴平行时, |𝐵𝐶| = 2.
（1）求 Γ 的标准方程;
（2）证明: 原点 𝑂 在 △𝐴𝐵𝐶 某条边上.
本题主要考察解析几何问题的一般处理方法，考察对复杂几何关系的代数解释能力和基本
的运算能力.
【参考答案与评分标准】
（1）由对称性, 不妨 𝐶(𝑥 ,𝑦 ) 在第一象限. 则 𝐴(−𝑥 ,𝑦 ), 𝐵(𝑥 ,𝑦 ), 故点 𝐴,𝐵 关于点 𝑂
0 0 0 0 0 0
√
对称, 进而 𝑥 = 3𝑦 . 须给出 𝐴𝐵 关于 𝑂 对称的理由（3 分）
0 0
√ √ √
又根据 |𝐵𝐶| = 2, 2𝑦 = 2. 代入回椭圆 𝛤 方程可以得 𝑎 = 3, 根据上面的描述，可以得到
0
𝑥2
𝛤 的标准方程为 +𝑦2 = 1. （5 分）
3
（2）由对称性, 不妨点 𝐶 在 𝑙 上方. 分两种情况讨论.
情形一 如果点 𝐴 在点 𝐵 右侧, 此时, 由对称性, 得到 𝐴𝐶 平行于 𝑥 轴, 根据（1）的分析得到
点 𝑂 在边 𝐴𝐵 上. （7 分）
情形二 点 𝐴 在点 𝐵 左侧. 设 𝐴(𝑥 ,𝑦 ), 𝐵(𝑥 ,𝑦 ). 设线段 𝐴𝐵 的中点 𝑀, 由几何关系, 𝐶𝑀 平
1 1 2 2
√ √
行于 𝑦 轴, 且 |𝐶𝑀| = |𝑦 −𝑦 |. 设 𝑙 ∶ 𝑥 = 3𝑦+𝑚. 联立 𝑙 和 𝛤 得 6𝑦2+2 3𝑚𝑦+𝑚2−3 = 0.
1 2
√
计算判别式 𝛥 > 0 得 |𝑚| < 6. （10 分）
√ √
3𝑚 𝑚2−3 18−3𝑚2
由韦达定理, 𝑦 +𝑦 = − , 𝑦 𝑦 = , 进而计算得 |𝑦 −𝑦 | = , 故点
1 2 3 1 2 6 1 2 3
√ √ √
𝑚 3𝑚 𝑚 3𝑚 18−3𝑚2
𝑀( ,− ),𝐴( ,− + ).
2 6 2 6 3
代入椭圆方程, 即有
√
2𝑚2−4𝑚 6−𝑚2+4(6−𝑚2) = 12,
也即
√ √
6−𝑚2(2𝑚− 6−𝑚2) = 0,
√
30
解得 𝑚 = . （14 分）
5
√ √ √
2 10 10 30
此时, |𝐶𝑀| = , 𝑀(− , ). 此时, 由几何关系, 点 𝑂 是 𝐴𝐶 中点当且仅当
5 10 10
|𝐶𝑀| = 2|𝑂𝑀|, 成立, 故这种情形点 𝑂 在直线 𝐵𝐶 上. （15 分）
YG 数学参考答案与评分标准 第 6 页（共 8 页）综上, 不论如何, 总有点 𝑂 在 △𝐴𝐵𝐶 某条边上.
18.（17 分）
e𝑥−1
已知函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−ln𝑥+𝑏,𝑔(𝑥) = +(𝑎−1)𝑥+𝑐，其中 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ R 并且 𝑎 > 0.
𝑥
（1）当 𝑏 = 𝑐 时，证明 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑔(𝑥)；
（2）已知函数 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 均存在零点. 如果 𝑓(𝑥) = 0 是 𝑔(𝑥) = 0 的充要条件，求 𝑎.
本题主要考察用导数证明不等式以及讨论有关函数零点的问题的综合方法和综合技巧.
【参考答案与评分标准】
e𝑥−1 e𝑥−1 e𝑥−1 e𝑥−1
（1）注意到 𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥) = +ln𝑥−𝑥 = −ln( )−1，令 𝑡 = > 0,𝜑(𝑡) =
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑡−1
𝑡 − ln𝑡 − 1，即证 𝜑(𝑡) ⩾ 0. 𝜑′(𝑡) = ，故 𝜑(𝑡) 在 (0,1) 递减，在 (1,+∞) 递增，进而
𝑡
𝜑(𝑡) ⩾ 𝜑(1) = 0, 等号成立当且仅当 𝑡 = 1. （4 分）
（2）先证明 𝑎 = 1 时，结论成立.
此时，𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥)+𝑏+1，由（1），𝑓(𝑥) 在 (0,1) 递减，在 (1,+∞) 递增. 取 𝑏 = −2, 由
1 1 1
𝑓( ) = > 0,𝑓(4) = 2−2ln2 > 0,𝑓(1) = −1 < 0, 由零点存在定理，存在 𝑛 ∈ ( ,1)，
e2 e2 e2
𝑚 ∈ (1,4), 使得 𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑛) = 0. （6 分）
𝑓(𝑚)−𝑏−1 𝑓(𝑛)−𝑏−1
又 𝑔(𝑚) = e +𝑐 = e +𝑐 = 𝑔(𝑛)，再取 𝑐 = −e 则满足条件. （8 分）
再证明 𝑎 ≠ 1 结论不成立. 反证法，假设对于某个 𝑎，结论成立. 由题，𝑓(𝑥) 至多两个零点.
1 1
情形一 若 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 均有一个零点，设为 𝑥 . 则 𝑓′(𝑥) = 𝑎− ，𝑓(𝑥) 在 (0, ) 递减，在
0 𝑥 𝑎
1 1 1
( ,+∞) 递增. 假设 𝑥 ≠ ，则注意到 lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = +∞，及 𝑓( ) < 0，由零点
𝑎 0 𝑎 𝑥→0+ 𝑥→+∞ 𝑎
1
存在定理知𝑓(𝑥)恰有两个零点，矛盾，故𝑥 = .同理，𝑥 也是𝑔(𝑥)极值点，故𝑔′(𝑥 ) = 0，即
0 𝑎 0 0
𝑥 −1
(𝑥 −1)e 0 1
0 + −1 = 0，也即(𝑥 −1)(e 𝑥 0 −1 −𝑥 ) = 0故𝑥 = 1或𝑥 −ln𝑥 −1 = 𝜑(𝑥 ) = 0，
𝑥2 𝑥 0 0 0 0 0 0
0 0
1
也即 𝑥 = 1，从而 𝑎 = = 1，矛盾.
0 𝑥
0
e𝑎𝑚 e𝑎𝑛
情形二 若 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 均有两个零点. 由题意，𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑛)，即 = ，𝑔(𝑚) = 𝑔(𝑛)，
𝑚 𝑛
e𝑛−1 e𝑚−1
即 (𝑎−1)(𝑚−𝑛) = − . （13 分）
𝑛 𝑚
YG 数学参考答案与评分标准 第 7 页（共 8 页）(𝑎−1)(𝑚−𝑛)
当 𝑎 > 1 时，由（1），𝜑(e ) ⩾ 0, 即有
e𝑛−1 e𝑚−1
0 < − = (𝑎−1)(𝑚−𝑛)
𝑛 𝑚
𝑚
⩽ e (𝑎−1)(𝑚−𝑛) −1 = e𝑛−𝑚−1
𝑛
𝑚 e𝑛−1 e𝑚−1 e𝑚−1 e𝑚−1
−𝜑(𝑚)
= ( − ) = e ( − )
e𝑚−1 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚
e𝑛−1 e𝑚−1
⩽ − ,
𝑛 𝑚
进而中间几步均取等号，故 (𝑎−1)(𝑚−𝑛) = 0，即 𝑚 = 𝑛，矛盾. （17 分）
19.（17 分）
设 𝑀 是关于 𝑥,𝑦 的多项式组成的集合，定义平面 𝑥𝑂𝑦 上的点集 𝑉(𝑀) 中的元素是使得
𝑀 中所有多项式取值为 0 的点. 例如：𝑉({𝑥2 +𝑦2 −1}) 就代表着单位圆. 对平面 𝑥𝑂𝑦 上的非
空点集 𝑆，如果存在 𝑀，满足 𝑆 = 𝑉(𝑀)，那么称 𝑆 是完美的；如果完美的集合 𝑆 不能分成
𝑆 = 𝑆 𝑆 ，其中 𝑆 ,𝑆 是完美的，且都是 𝑆 的真子集，那么称 𝑆 是绝对完美的.
1 2 1 2
（1）如果 𝑀 = {𝑥−𝑦,−𝑥2+𝑦}，求 𝑉(𝑀)；
（2）判断集合 {(1,1),(2,2)} 是否是绝对完美的，并给出理由；
𝑥2 𝑦2
（3）考虑平面上的椭圆 𝐶 ∶ + = 1 以及抛物线 𝐶 ∶ 𝑦2 = 2𝑝𝑥 上所有点与它们的焦点
1 4 3 2
构成的集合 𝑆，其中 𝑝 > 0. 已知 𝐶 ,𝐶 都是绝对完美的. 证明：𝑆 是完美的. 进一步地，如果
1 2
𝑆 只能被拆分为至多 4 个绝对完美的集合的并集，求 𝑝.
本题主要考察对全新定义的理解能力以及针对复杂问题的综合处理能力和判断能力.
【参考答案与评分标准】
（1）根据题意，𝑉(𝑀) 应该是直线 𝑦 = 𝑥 和抛物线 𝑦 = 𝑥2 的交点的集合，联立方程并求解
得到 𝑥 = 0,1，代入 𝑦 = −𝑥 得到 𝑉(𝑀) = {(0,0),(1,1)}. （3 分）
（2）集合 {(1,1),(2,2)} 不是绝对完美的. （5 分）
这是因为可以把这个集合拆分为 {(1,1)} {(2,2)}，其中 {(1,1)} = 𝑉({𝑥−1,𝑦−1}),{(2,2)} =
𝑉({𝑥−2,𝑦−2}) 都是完美的，并且都是原来集合的真子集. （7 分）
（3）满足答案的 𝑝 = 2 或 4. （9 分）
𝑝
我们可以得到椭圆和抛物线的三个焦点分别是 (1,0),(−1,0) 以及 ( ,0). （11 分）
2
根据（2）的论述，单点集合都是绝对完美的，所以可以把𝑆 拆分为𝐶 𝐶 {(1,0)} {(0,1)}
1 2
𝑝
{( ,0)}，这是五个绝对完美集合的并，为了让 𝑆 最多只能拆分为 4 个绝对完美集合的并，必
2
𝑝
须让( ,0)包含在某个绝对完美的集合里面，因此要么这个点和椭圆的右焦点重合，此时𝑝 = 2
2
或者和椭圆的右端点重合，此时 𝑝 = 4. （14 分）
关于 𝑆 是完美的证明，可以证明两个完美的集合的并也是完美的，也可以直接构造出 𝑀，关于
这个部分的讲解，为了顺应鱼塘的传统，请期待讲评现场. （17 分）
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