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2024 年 8 月第三届「鱼塘鸽子杯」高考适应性练习
数 学
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（即 QQ 号后 6 位）填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 最终请在“雨课堂”
直接选中您作答的选项.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上; 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按
以上要求作答无效. 最终请逐题拍照上传至“雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰.
4. 请认准第三届“鱼塘鸽子杯”高考适应性练习官方信息发布 QQ 群（即鱼塘团队 2 群）
980506442，后续阅卷申诉、奖金颁发和获奖名单公示都在此群内进行. 已经加入过鱼塘团队 1
群的如需参加考试，需要重新加入 2 群. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组和鸽子杯
联考命题组所有.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设复数 𝑧 = 1−i，则 𝑧𝑧̄的值是
√
A. −1 B. 1 C. 2 D. 2
2. 设 1,3𝑎,4𝑎 构成等差数列，则 𝑎 的值是
1 1
A. −1 B. − C. D. 1
2 2
√
3. 如果 𝐴 = {𝑥 ∈ R ∣ 𝑦 = −𝑥}，𝐵 = N，则 𝐴 𝐵 =
A. ∅ B. {0} C. N D. R
4. 如果 𝑃(𝑥,𝑦) 是单位圆上一点，则 𝑥𝑦 的最小值是
√ 1 1
A. − 2 B. −1 C. − D. −
2 4
5. 在棱长为 1 的正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻 中，设 𝑂 为中心点，则 ⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+⃗𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗⃗⃗⃗) =
1 1
A. −1 B. − C. 0 D.
2 2
6. 如果在 △𝐴𝐵𝐶 中，sin𝐶 < sin(𝐴−𝐵)，则 △𝐴𝐵𝐶 的最大内角是
A. 𝐴 B. 𝐵 C. 𝐶 D. 无法比较
YG 数学试卷 第 1 页（共 4 页）7. 若某正三棱锥的侧面为直角三角形，则该三棱锥的体积与其外接球体积之比是
√ √ √ √
3 3 3 3
A. B. C. D.
72𝜋 36𝜋 18𝜋 9𝜋
e
8. 已知函数 𝑓(𝑥) = ln𝑥− 𝑥2，𝑔(𝑥) = −𝑥2+2𝑎𝑥−2，如果对于任意的 𝑥 ∈ (0,+∞)，存在
2 1
𝑥 ∈ R，使得 𝑓(𝑥 ) < 𝑔(𝑥 )，则 𝑎 的取值范围是
2 1 2
√ √
A. (−1,1) B. (− 2, 2)
√ √
C. (−∞,−1) (1,+∞) D. (−∞,− 2) ( 2,+∞)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 如果随机事件 𝐴,𝐵,𝐶 满足 𝐴̄与 𝐵 独立，𝐴 与 𝐶 互斥，则
A. 𝑃(𝐶) ⩽ 𝑃(𝐴)̄ B. 𝑃(𝐶) ≠ 𝑃(𝐵) C. 𝐴 与 𝐵 独立 D. 𝐵 与 𝐶 独立
10. 在四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵 ⟂ 𝐴𝐶，𝐵𝐷 ⟂ 𝐶𝐷，|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐶|⋅|𝐵𝐷|，𝑃 是线段 𝐵𝐶 上的
一个动点，设 𝛼 是过点 𝑃 且垂直于 𝐵𝐶 的平面，设平面 𝛼 与折线 𝐵̂𝐴𝐶 相交于点 𝑀，与折线
𝐵̂𝐷𝐶 相交于点 𝑁，则
A. ∠𝑀𝑃𝑁 是二面角 𝐴−𝐵𝐶 −𝐷 的平面角
B. 平面 𝛼 截四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 的截面是三角形
√
6
C. 若 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 60∘，则直线 𝐴𝐷 与直线 𝐵𝐶 夹角的正弦值为
3
√
6
D. 若 ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 60∘，则二面角 𝐴−𝐵𝐶 −𝐷 的余弦值为
3
11. 在 1717 年，法国流行这样一个赌博游戏：连续抛掷一个骰子四次，赌是否会出现至少一个
6 点. 记“会出现至少一个 6 点”是事件 𝐴. 经过试验，赌徒德·梅勒 (Chevalier de Méré) 发现
至少出现一个 6 点比不出现的几率似乎要稍微大一些. 他总是赌“会出现”，每次结算下来他总
是赢. 在这个赌博游戏的一个“加强版”中，赌徒们需要猜测，连续抛掷两个骰子 24 次，是否
会出现至少一对 6 点. 记“会出现至少一对 6 点”为事件 𝐵，则
1
A. Chevalier de Méré 的试验中，事件 𝐴 发生的频率大于
2
1
B. 可以根据 Chevalier de Méré 的多次试验估计 𝑃(𝐴) 比 大
2
C. Chevalier de Méré 需要赌“不会出现”才能确保在“加强版”中赢的几率更大
1
D. 因为两个骰子都是 6 点的概率是一个骰子是 6 点概率的 ，而且“加强版”游戏的投掷次
6
数正好是“原版”游戏投掷次数的 6 倍，所以 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 𝑓(𝑥) = sin𝑥 的图像与函数 𝑔(𝑥) 的图像关于 𝑦 轴对称，则 𝑔(𝑥) 的一个解析式
为 ▴ .
YG 数学试卷 第 2 页（共 4 页）13. 若 (1+𝑥2)4 = 𝑎 𝑥8+𝑎 𝑥7+⋯+𝑎 ，则 𝑎 +𝑎 +𝑎 = ▴ .
8 7 0 3 5 7
𝑥2 𝑦2 𝑥𝑥 𝑦𝑦
14. 已知过椭圆 + = 1 上点 (𝑥 ,𝑦 ) 的切线方程是 0 + 0 = 1. 设 𝑙 ,𝑙 分别是椭圆
𝑎2 𝑏2 0 0 𝑎2 𝑏2 1 2
𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑦
𝐶 ∶ + = 1的两条垂直切线，切点分别为𝑃(𝑥 ,𝑦 ),𝑄(𝑥 ,𝑦 ).设向量𝒏 = ( 1, 1),𝒏 =
7 3 1 1 2 2 1 7 3 2
𝑥 𝑦 𝒏 𝒏
( 2, 2)，则 ∣ 1 + 2 ∣ = ▴ .
7 3 |𝒏 |2 |𝒏 |2
1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
设公差不为 0 的等差数列 {𝑎 } 的前 𝑛 项和为 𝑆 ，且 𝑆 = (𝑎 +𝑎 )2.
𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛
（1）求数列 {𝑎 } 的通项公式；
𝑛
⎧
{𝑎 −𝑎 , 𝑛 为奇数时,
𝑛 1
（2）如果数列 {𝑏 } 满足 𝑏 = 求数列 {𝑏 } 的前 𝑛 项之和 𝑇 .
𝑛 𝑛 ⎨ 𝑛 𝑛
{𝑎 +𝑎 , 𝑛 为偶数时,
⎩ 𝑛 1
16.（15 分）
在 △𝐴𝐵𝐶 中，sin(2𝐴−𝐵) = cos2𝐶 +2.
（1）求 𝐴；
√
3
（2）若点 𝐷 满足 cos∠𝐷𝐵𝐶 = ，且 |𝐵𝐷| = |𝐴𝐶| = 2，求 △𝐴𝐵𝐷 的面积.
3
17.（15 分）
𝜋 𝑥2
设倾斜角为 的直线 𝑙 与椭圆 Γ ∶ +𝑦2 = 1(𝑎 > 1) 交于点 𝐴,𝐵, 异于点 𝐴,𝐵 的一点
6 𝑎2
√ √
𝐶 在 𝛤 上, 且 |𝐴𝐵| ∶ |𝐴𝐶| ∶ |𝐵𝐶| = 2 ∶ 3 ∶ 1. 当 𝐴𝐶 与 𝑥 轴平行时, |𝐵𝐶| = 2.
（1）求 Γ 的标准方程;
（2）证明: 原点 𝑂 在 △𝐴𝐵𝐶 某条边上.
YG 数学试卷 第 3 页（共 4 页）18.（17 分）
e𝑥−1
已知函数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−ln𝑥+𝑏,𝑔(𝑥) = +(𝑎−1)𝑥+𝑐，其中 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ R 并且 𝑎 > 0.
𝑥
（1）当 𝑏 = 𝑐 时，证明 𝑓(𝑥) ⩽ 𝑔(𝑥)；
（2）已知函数 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 均存在零点. 如果 𝑓(𝑥) = 0 是 𝑔(𝑥) = 0 的充要条件，求 𝑎.
19.（17 分）
设 𝑀 是关于 𝑥,𝑦 的多项式组成的集合，定义平面 𝑥𝑂𝑦 上的点集 𝑉(𝑀) 中的元素是使得
𝑀 中所有多项式取值为 0 的点. 例如：𝑉({𝑥2 +𝑦2 −1}) 就代表着单位圆. 对平面 𝑥𝑂𝑦 上的非
空点集 𝑆，如果存在 𝑀，满足 𝑆 = 𝑉(𝑀)，那么称 𝑆 是完美的；如果完美的集合 𝑆 不能分成
𝑆 = 𝑆 𝑆 ，其中 𝑆 ,𝑆 是完美的，没有包含关系且都是 𝑆 的真子集，那么称 𝑆 是绝对完美
1 2 1 2
的.
（1）如果 𝑀 = {𝑥−𝑦,−𝑥2+𝑦}，求 𝑉(𝑀)；
（2）判断集合 {(1,1),(2,2)} 是否是绝对完美的，并给出理由；
𝑥2 𝑦2
（3）考虑平面上的椭圆 𝐶 ∶ + = 1 以及抛物线 𝐶 ∶ 𝑦2 = 2𝑝𝑥 上所有点与它们的焦点
1 4 3 2
构成的集合 𝑆，其中 𝑝 > 0. 已知 𝐶 ,𝐶 都是绝对完美的. 证明：𝑆 是完美的. 进一步地，如果
1 2
𝑆 只能被拆分为至多 4 个绝对完美的集合的并集，求 𝑝.
YG 数学试卷 第 4 页（共 4 页）
